Введение
Статистическая модель, используемая в анализе временных рядов. В статистике и эконометрике, и в частности в анализе временных рядов, модель авторегрессии, интегрирования и скользящего среднего (ARIMA) является обобщением модели авторегрессии и скользящего среднего (ARMA). Обе эти модели подгоняются к данным временных рядов для лучшего понимания данных или прогнозирования будущих значений ряда. Модели ARIMA применяются в тех случаях, когда данные демонстрируют нестационарность по отношению к среднему значению (но не к дисперсии/автоковариации), и начальный шаг дифференцирования (соответствующий "интегрированной" части модели) может быть применен один или несколько раз для устранения нестационарности среднего значения (т.е. тренда). Если в данных временного ряда проявляется сезонность, то сезонное дифференцирование теоретически достаточно для описания регулярного (также известного как чисто недетерминированного) процесса. Следует отметить, что если временной ряд содержит предсказуемый подпроцесс (например, чистую синусоиду или комплексную экспоненциальную функцию), то обозначение "(интегрированная)" указывает на то, что значения данных были заменены разностью между их текущими и предыдущими значениями (и этот процесс дифференцирования может быть выполнен несколько раз). Цель каждой из этих характеристик – обеспечить наилучшее соответствие модели данным. Несезонные модели ARIMA обычно обозначаются как ARIMA(p, d, q), где параметры p, d и q – неотрицательные целые числа: p – порядок (количество лагов времени) авторегрессионной модели, d – степень дифференцирования (количество раз, когда от данных вычитались предыдущие значения), а q – порядок модели скользящего среднего. Сезонные модели ARIMA обычно обозначаются как ARIMA(p, d, q)(P, D, Q)m, где m – количество периодов в каждом сезоне, а заглавные буквы P, D и Q – параметры авторегрессии, дифференцирования и скользящего среднего для сезонной части модели ARIMA. Если два из трех параметров равны нулю, модель может быть названа по оставшемуся ненулевому параметру, опуская обозначения "AR", "I" или "MA" из аббревиатуры, описывающей модель. Например, ARIMA(1, 0, 0) – это AR(1), ARIMA(0, 1, 0) – это I(1), а ARIMA(0, 0, 1) – это MA(1). Оценку моделей ARIMA можно проводить с использованием подхода Бокса-Дженкинса.
In statistics and econometrics, and in particular in time series analysis, an autoregressive integrated moving average (ARIMA) model is a generalization of an autoregressive moving average (ARMA) model. To better comprehend the data or to forecast upcoming series points, both of these models are fitted to time series data. ARIMA models are applied in some cases where data show evidence of non stationarity in the sense of mean (but not variance/autocovariance), where an initial differencing step (corresponding to the "integrated" part of the model) can be applied one or more times to eliminate the non stationarity of the mean function (i. e., the trend). When the seasonality shows in a time series, the seasonal differencing is theoretically sufficient to describe a regular (a. k. a. purely nondeterministic Note that if the time series contains a predictable sub process (a. k. a. pure sine or complex valued exponential process The (for "integrated") indicates that the data values have been replaced with the difference between their values and the previous values (and this differencing process may have been performed more than once). The purpose of each of these features is to make the model fit the data as well as possible. Non seasonal ARIMA models are generally denoted ARIMA(p,d,q) where parameters p, d, and q are non negative integers, p is the order (number of time lags) of the autoregressive model, d is the degree of differencing (the number of times the data have had past values subtracted), and q is the order of the moving average model. Seasonal ARIMA models are usually denoted ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)m, where m refers to the number of periods in each season, and the uppercase P,D,Q refer to the autoregressive, differencing, and moving average terms for the seasonal part of the ARIMA model. When two out of the three terms are zeros, the model may be referred to based on the non zero parameter, dropping "", "" or "" from the acronym describing the model. For example, \text{ARIMA} (1,0,0) is AR(1), \text{ARIMA}(0,1,0) is I(1), and \text{ARIMA}(0,0,1) is MA(1). ARIMA models can be estimated following the Box–Jenkins approach.
Другие специальные формы
Явное определение факторизации авторегрессионного многочлена на множители, как описано выше, может быть расширено и на другие случаи: во-первых, для применения к многочлену скользящего среднего, а во-вторых, для включения других специальных множителей. Например, наличие множителя в модели – один из способов включения в модель нестационарной сезонности с периодом s; этот множитель преобразует данные, представляя их как изменения относительно значений s периодов назад. Другой пример – множитель , который включает (нестационарную) сезонность с периодом 2. Эффект множителей первого типа заключается в том, что значения для каждого сезона могут изменяться независимо во времени, в то время как при использовании множителей второго типа значения для соседних сезонов изменяются согласованно. Идентификация и спецификация подходящих множителей в модели ARIMA может быть важным этапом моделирования, поскольку это позволяет уменьшить общее количество оцениваемых параметров и наложить на модель типы поведения, которые логика и опыт подсказывают, что должны присутствовать.
Различия
Свойства стационарного временного ряда не зависят от момента времени, в который ряд наблюдается. В частности, для временного ряда, стационарного в широком смысле, среднее значение и дисперсия/автоковариация остаются постоянными во времени. Дифференцирование в статистике – это преобразование, применяемое к нестационарному временному ряду для приведения его к стационарности по среднему (то есть для устранения нестационарного тренда), но не влияющее на нестационарность дисперсии или автоковариации. Аналогично, сезонное дифференцирование применяется к сезонным временным рядам для удаления сезонной составляющей. С точки зрения обработки сигналов, особенно теории спектрального анализа Фурье, тренд представляет собой низкочастотную составляющую спектра нестационарного временного ряда, а сезонность – периодическую частотную составляющую спектра. Следовательно, дифференцирование работает как фильтр высоких частот (то есть подавляющий низкие частоты), а сезонное дифференцирование – как гребенчатый фильтр, подавляющий, соответственно, низкочастотный тренд и периодическую сезонность в спектральной области (а не непосредственно во временной области). Модель ARIMA(0, 2, 2) задается — что эквивалентно линейному методу Хольта с аддитивными ошибками, или двойному экспоненциальному сглаживанию. Другие альтернативные методы включают AIC, BIC и т.д. Если предполагается, что временной ряд демонстрирует долгосрочную зависимость, то параметр d может принимать нецелые значения в авторегрессионной модели дробного интегрирования и скользящего среднего, которая также называется дробной моделью ARIMA (FARIMA или ARFIMA).