Введение
Модель временных рядов. В эконометрике модель авторегрессивной условной гетероскедастичности (ARCH) – это статистическая модель для данных временных рядов, описывающая дисперсию текущего члена ошибки или инновации как функцию абсолютных значений членов ошибки предыдущих периодов; часто дисперсия связана с квадратами предыдущих инноваций. Модель ARCH целесообразна, когда дисперсия ошибки во временном ряду подчиняется авторегрессионной (AR) модели; если для дисперсии ошибки предполагается модель авторегрессии скользящего среднего (ARMA), то модель является обобщенной моделью авторегрессивной условной гетероскедастичности (GARCH). Модели ARCH широко используются для моделирования финансовых временных рядов, демонстрирующих изменяющуюся во времени волатильность и кластеризацию волатильности, то есть периоды резких колебаний, чередующиеся с периодами относительного спокойствия. Модели типа ARCH иногда относят к семейству стохастических моделей волатильности, хотя это строго неверно, поскольку в момент времени t волатильность полностью предопределена (детерминирована) на основе предыдущих значений.
In econometrics, the autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model is a statistical model for time series data that describes the variance of the current error term or innovation as a function of the actual sizes of the previous time periods' error terms; often the variance is related to the squares of the previous innovations. The ARCH model is appropriate when the error variance in a time series follows an autoregressive (AR) model; if an autoregressive moving average (ARMA) model is assumed for the error variance, the model is a generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model. ARCH models are commonly employed in modeling financial time series that exhibit time varying volatility and volatility clustering, i. e. periods of swings interspersed with periods of relative calm. ARCH type models are sometimes considered to be in the family of stochastic volatility models, although this is strictly incorrect since at time t the volatility is completely pre determined (deterministic) given previous values.
Гарч
Если для дисперсии ошибок предполагается модель авторегрессии и скользящего среднего (ARMA), то модель является обобщенной моделью авторегрессивной условной гетероскедастичности (GARCH).|date=Октябрь 2017
ИГАРХ
Интегрированная обобщенная авторегрессивная условная гетероскедастичность (IGARCH) — это ограниченная версия модели GARCH, в которой сумма параметров, определяющих инерционность, равна единице, что приводит к наличию единичного корня в процессе GARCH. Условие для этого следующее:
.
ЭГАРХ
Экспоненциально обобщенная авторегрессивная условная гетероскедастическая (EGARCH) модель Нельсона и Цао (1991) является еще одной формой модели GARCH. Формально, EGARCH(p,q):
где – условная дисперсия, , , и – коэффициенты. может быть стандартной нормальной случайной величиной или следовать обобщенному распределению ошибок. Формулировка для позволяет знаку и величине оказывать раздельное влияние на волатильность. Это особенно полезно в контексте оценки стоимости активов. Поскольку может быть отрицательным, на параметры не накладываются ограничения по знаку.
GJR-GARCH
Подобно QGARCH, модель Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR GARCH), предложенная Глостеном, Джаганнатаном и Ранклом (1993), также моделирует асимметрию в процессе ARCH. Предполагается, что модель имеет вид, где – независимые и одинаково распределенные случайные величины, и
где если , и если .
Модель TGARCH
Модель порогового GARCH (TGARCH) Закояна (1994) аналогична модели GJR GARCH. Спецификация задается для условного стандартного отклонения, а не условной дисперсии:
где если , а если . Аналогично, если , а если .
ФАРЧ
Модель fGARCH Хентшеля, также известная как Family GARCH, является всеобъемлющей моделью, объединяющей различные популярные симметричные и асимметричные модели GARCH, такие как APARCH, GJR, AVGARCH, NGARCH и другие.
ZD-GARCH
В отличие от модели GARCH, модель Zero Drift GARCH (ZD GARCH) Ли, Чжан, Чжу и Лин (2018) допускает наличие дрейфа в модели GARCH первого порядка. Модель ZD GARCH предназначена для моделирования , где – независимые и одинаково распределенные случайные величины, и
Модель ZD GARCH не требует , и, следовательно, включает в себя модель экспоненциально взвешенного скользящего среднего (EWMA) из "RiskMetrics". Поскольку дрейф-термин , модель ZD GARCH всегда нестационарна, и методы ее статистического вывода существенно отличаются от методов классической модели GARCH. На основе исторических данных параметры и можно оценить обобщенным методом QMLE.
Пространственный GARCH
Пространственные процессы GARCH, предложенные Отто, Шмидом и Гартоффом (2018), рассматриваются как пространственный эквивалент временных моделей обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH). В отличие от временной модели ARCH, в которой распределение известно при наличии полной информации о предыдущих периодах, в пространственной и пространственно-временной постановке распределение определить непросто из-за взаимозависимости между соседними пространственными точками. Пространственная модель задается выражениями и где обозначает -ю пространственную точку, а – -й элемент пространственной матрицы весов, при этом для матрицы пространственных весов определяются соседние точки.
where denotes the th spatial location and refers to the th entry of a spatial weight matrix and for The spatial weight matrix defines which locations are considered to be adjacent.
Гауссовский процесс GARCH
В другом ключе, сообщество машинного обучения предложило использовать модели регрессии гауссовских процессов для получения GARCH-модели. Это приводит к непараметрической схеме моделирования, которая обеспечивает: (i) повышенную устойчивость к переобучению, поскольку модель усредняет свои параметры при выполнении вывода, опираясь на принципы байесовского вывода; и (ii) возможность выявления сильно нелинейных зависимостей без увеличения сложности модели.