Введение

Тип статистической модели

Модели одновременных уравнений – это тип статистической модели, в которой зависимые переменные являются функциями других зависимых переменных, а не только независимых переменных. Это означает, что некоторые из объясняющих переменных определяются совместно с зависимой переменной, что в экономике обычно является следствием некоторого базового механизма равновесия. В качестве примера можно привести типичную модель спроса и предложения: хотя обычно количество, предлагаемое и требуемое, определяется как функция цены, установленной рынком, возможно и обратное – производители наблюдают за объемом спроса со стороны потребителей и затем устанавливают цену. Одновременность создает трудности при оценке статистических параметров, поскольку нарушается предположение Гаусса-Маркова о строгой экзогенности регрессоров. И хотя естественно было бы оценивать все одновременные уравнения одновременно, это часто приводит к вычислительно сложной задаче нелинейной оптимизации даже для простейшей системы линейных уравнений. Эта ситуация стимулировала разработку, возглавленную Комиссией Коулса в 1940-х и 1950-х годах, различных методов, оценивающих каждое уравнение в модели последовательно, в частности, метод максимального правдоподобия с ограниченной информацией и метод наименьших квадратов в два этапа.

Предположения

Во-первых, ранг матрицы X экзогенных регрессоров должен быть равен k, как в конечных выборках, так и в пределе при T → ∞ (это последнее требование означает, что в пределе выражение должно сходиться к недегенерированной матрице k × k). Матрица Γ также предполагается недегенерированной. Во-вторых, ошибки предполагаются последовательно независимыми и одинаково распределенными. То есть, если t-я строка матрицы U обозначена как u(t), то последовательность векторов {u(t)} должна быть i.i.d., с нулевым средним и некоторой ковариационной матрицей Σ (которая неизвестна). В частности, это подразумевает, что , и . Наконец, для идентификации необходимы дополнительные предположения.

Идентификация

Условия идентификации требуют, чтобы система линейных уравнений имела решение для неизвестных параметров. В частности, условие порядка, являющееся необходимым условием идентификации, заключается в том, что для каждого уравнения ki + ni ≤ k, что можно сформулировать как "количество исключенных экзогенных переменных больше или равно количеству включенных эндогенных переменных". Условие ранга, более строгое условие, необходимое и достаточное, состоит в том, что ранг матрицы Πi0 равен ni, где Πi0 – это матрица размера (k − ki) × ni, полученная из матрицы Π путем исключения столбцов, соответствующих исключенным эндогенным переменным, и строк, соответствующих включенным экзогенным переменным.

Использование перекрестных уравнений для достижения идентификации

В моделях одновременных уравнений наиболее распространенным методом достижения идентификации является наложение ограничений на параметры внутри уравнений. Однако идентификация также возможна с использованием меж-уравненческих ограничений. Чтобы проиллюстрировать, как меж-уравненческие ограничения могут быть использованы для идентификации, рассмотрим следующий пример из учебника Вульдриджа, разработанный независимо. Это техника, применяемая к каждому уравнению в отдельности, где эндогенные регрессоры в правой части каждого уравнения инструментируются регрессорами X из всех остальных уравнений. Метод называется "двухступенчатым", поскольку оценка проводится в два этапа: для этого сначала структурная система уравнений преобразуется в свернутую (reduced form) форму. После оценки коэффициентов модель возвращается в структурную форму.

Применение в социальных науках

В различных областях и дисциплинах модели одновременных уравнений применяются для анализа разнообразных наблюдаемых явлений. Эти уравнения используются, когда предполагается, что явления оказывают взаимное причинное влияние друг на друга. Классическим примером является спрос и предложение в экономике. В других дисциплинах можно привести примеры, такие как оценка кандидатов и партийная идентификация, или общественное мнение и социальная политика в политологии; инвестиции в дорожную инфраструктуру и спрос на поездки в географии; уровень образования и начало родительства в социологии или демографии. Модель одновременных уравнений требует теории взаимной причинности, включающей специальные особенности, если необходимо оценить причинные эффекты как одновременную обратную связь, а не как односторонние "блоки" уравнения, в которых исследователь заинтересован в причинном эффекте X на Y, удерживая при этом причинное влияние Y на X постоянным, или когда исследователь точно знает время, необходимое для проявления каждого причинного эффекта, то есть длину временных лагов. Вместо запаздывающих эффектов, одновременная обратная связь подразумевает оценку одновременного и непрерывного воздействия X и Y друг на друга. Это требует теории, согласно которой причинные эффекты происходят одновременно во времени или настолько сложны, что кажутся одновременными; типичным примером являются настроения соседей по комнате. Для оценки моделей одновременной обратной связи также необходима теория равновесия – предположение о том, что X и Y находятся в относительно устойчивом состоянии или являются частью системы (общества, рынка, учебного класса), которая находится в относительно стабильном состоянии.