Введение

В эконометрике модель кажущихсяся не связанными регрессиями (SUR) или система кажущихсяся не связанными регрессионными уравнений (SURE), предложенная Арнольдом Зеллнером в 1962 году, является обобщением модели линейной регрессии, состоящей из нескольких регрессионных уравнений, каждое из которых имеет свою зависимую переменную и потенциально различные наборы экзогенных объясняющих переменных. Каждое уравнение само по себе является корректной линейной регрессией и может быть оценено отдельно, что и обуславливает название системы – кажущиесяся не связанными. Методы оценки включают: метод максимального правдоподобия (ML) при предположении о нормальном распределении ошибок; итеративные обобщенные наименьшие квадраты (IGLS), где остатки от второго шага FGLS используются для пересчета матрицы, после чего оценка повторяется с использованием GLS до достижения сходимости; и итеративную схему обычных наименьших квадратов (IOLS), при которой оценка проводится последовательно для каждого уравнения, но каждое уравнение включает в качестве дополнительных регрессоров остатки из ранее оцененных уравнений для учета меж уравненийной корреляции, а оценка выполняется итеративно до достижения сходимости. Кмента и Гилберт (1968) провели исследование методом Монте-Карло и установили, что все три метода – IGLS, IOLS и ML – дают численно эквивалентные результаты. Они также обнаружили, что асимптотическое распределение этих оценок совпадает с распределением оценщика FGLS, в то время как в малых выборках ни один из оценок не превосходит другие. Зеллнер и Андо (2010) разработали прямой метод Монте-Карло для байесовского анализа модели SUR.

Эквивалентность OLS

Существует два важных случая, когда оценки SUR оказываются эквивалентными оценкам OLS, полученным методом наименьших квадратов для каждого уравнения в отдельности. Эти случаи:
Когда матрица Σ известна как диагональная, то есть отсутствуют меж-уравненные корреляции между ошибками. В этом случае система становится не просто кажущейся, а действительно несвязанной. Когда каждое уравнение содержит один и тот же набор регрессоров, то есть X1 = X2 = … = Xm. Тот факт, что оценки оказываются численно идентичными оценкам OLS, следует из теоремы о дереве Крускала.