Введение
В математике, гипотеза Герцога — Шёнгейма — это комбинаторная задача в области теории групп, сформулированная Марселем Герцогом и Йохананом Шёнгеймом в 1974 году. Пусть G — группа, и пусть
be a finite system of left cosets of subgroups
of
Herzog and Schönheim conjectured
that if forms a partition of
with ,
then the (finite) indices cannot be distinct. In contrast, if repeated indices are allowed, then partitioning a group into cosets is easy: if is any subgroup of
with index then can be partitioned into left cosets of .
S — конечная система левых классов по подгруппам
H_i группы G.
be a finite system of left cosets of subgroups
of
Herzog and Schönheim conjectured
that if forms a partition of
with ,
then the (finite) indices cannot be distinct. In contrast, if repeated indices are allowed, then partitioning a group into cosets is easy: if is any subgroup of
with index then can be partitioned into left cosets of .
Герцог и Шёнгейм предположили, что если S образует разбиение G, где |G/H_i| = n_i, то (конечные) индексы n_i не могут быть все различными. В отличие от этого, если допускаются повторяющиеся индексы, то разбить группу на классы легко: если H — любая подгруппа G с индексом n, то G можно разбить на n левых класса по H.
be a finite system of left cosets of subgroups
of
Herzog and Schönheim conjectured
that if forms a partition of
with ,
then the (finite) indices cannot be distinct. In contrast, if repeated indices are allowed, then partitioning a group into cosets is easy: if is any subgroup of
with index then can be partitioned into left cosets of .
Теорема Мирского и Ньюмана
Когда базовой является аддитивная группа целых чисел, то косеты являются арифметическими прогрессиями. В этом случае гипотеза Герцога — Шёнгейма утверждает, что любая покрывающая система, то есть семейство арифметических прогрессий, вместе покрывающих все целые числа, должна либо покрывать некоторые целые числа более одного раза, либо включать хотя бы одну пару прогрессий с одинаковой разностью. Этот результат был сформулирован в 1950 году Полом Эрдошем и вскоре после этого доказан Леоном Мирским и Дональдом Ньюманом. Однако Мирский и Ньюман так и не опубликовали своё доказательство. То же самое доказательство было независимо получено Гарольдом Давенпортом и Ричардом Радо. В 1970 году в советской математической олимпиаде была предложена геометрическая задача на раскраску, эквивалентная теореме Мирского — Ньюмана: предположим, что вершины правильного многоугольника раскрашены таким образом, что каждый класс цветов сам образует вершины правильного многоугольника. Тогда существуют два класса цветов, образующие конгруэнтные многоугольники.