Введение

Математический предел, применяемый в статистической физике

В статистической физике спиновых стекол и других систем с закаленным беспорядком, метод реплик – это математический прием, основанный на применении формулы:

или:

где чаще всего является функцией разделения или аналогичной термодинамической функцией. Обычно он используется для упрощения вычисления , среднего значения , сводя задачу к вычислению среднего по беспорядку , где предполагается, что – целое число. Это физически эквивалентно усреднению по копиям или репликам системы, отсюда и название. Суть метода реплик заключается в том, что, хотя усреднение по беспорядку выполняется при условии, что – целое число, для восстановления логарифма, усредненного по беспорядку, необходимо непрерывно стремить к нулю. Это кажущееся противоречие, лежащее в основе метода реплик, до сих пор не было формально разрешено, однако во всех случаях, когда метод реплик можно сравнить с другими точными решениями, оба метода приводят к одинаковым результатам. (Естественным и достаточно строгим доказательством работоспособности метода реплик было бы проверить выполнение условий теоремы Карлсона, в частности, чтобы отношение было экспоненциального типа и меньше единицы.) Иногда для получения физически осмысленных результатов необходимо дополнительное условие нарушения симметрии реплик (RSB), которое связано с нарушением эргодичности.

Физические применения

Трик репликации используется для определения основного состояния статистических механических систем в приближении среднего поля. Как правило, для систем, в которых определение основного состояния не представляет сложности, можно анализировать флуктуации вблизи основного состояния. В противном случае применяется метод реплик. Примером служит случай закаленного беспорядка в системе, такой как спиновое стекло, с различными типами магнитных связей между спинами, приводящими к множеству различных конфигураций спинов с одинаковой энергией. В статистической физике систем с закаленным беспорядком любые два состояния с одной и той же реализацией беспорядка (или, в случае спиновых стекол, с одним и тем же распределением ферромагнитных и антиферромагнитных связей) называются репликами друг друга. Для систем с закаленным беспорядком обычно предполагается, что макроскопические величины самоусредняются, то есть любое макроскопическое свойство для конкретной реализации беспорядка будет неотличимо от того же свойства, рассчитанного усреднением по всем возможным реализациям беспорядка. Введение реплик позволяет выполнить такое усреднение по различным реализациям беспорядка. В случае спинового стекла мы ожидаем, что свободная энергия на спин (или любое самоусредняющееся свойство) в термодинамическом пределе будет независима от конкретных значений ферромагнитных и антиферромагнитных связей между отдельными узлами решетки. Таким образом, мы явно находим свободную энергию как функцию параметра беспорядка (в данном случае, параметров распределения ферромагнитных и антиферромагнитных связей) и усредняем свободную энергию по всем реализациям беспорядка (по всем значениям связей между узлами, каждое из которых имеет соответствующую вероятность, заданную функцией распределения). Поскольку свободная энергия имеет вид:

где описывает беспорядок (для спиновых стекол – характер магнитного взаимодействия между каждым из отдельных узлов и ) и мы усредняем по всем значениям связей, описанных в , с весом, задаваемым соответствующим распределением. Для выполнения усреднения по логарифмической функции трюк репликации оказывается полезным, заменяя логарифм его предельным выражением, указанным выше. В этом случае величина представляет собой совместную функцию разделения одинаковых систем.

REM: самая простая задача репликации

Модель случайной энергии (REM) — одна из самых простых моделей статистической механики неупорядоченных систем и, вероятно, самая простая модель, демонстрирующая смысл и мощь метода реплик на первом уровне нарушения репликационной симметрии. Эта модель особенно подходит для данного введения, поскольку для неё известно точное решение, полученное другим методом, и работоспособность метода реплик может быть подтверждена путем сопоставления результатов.

Альтернативные методы

Метод полости — альтернативный метод, часто более простой в использовании, чем метод реплик, для изучения задач среднего поля в неупорядоченных системах. Он был разработан для работы с моделями на локально древовидных графах. Другой альтернативный метод — суперсимметричный метод. Использование метода суперсимметрии предоставляет математически строгую альтернативу приему реплик, но только для не взаимодействующих систем. См., например, книгу:

Также было показано, что формализм Келдыша является жизнеспособной альтернативой подходу реплик.