Кіріспе
Статистикалық физикада қолданылатын математикалық лимит. Спиндрик шынылары және басқа да кездейсоқ бұзылыстары бар жүйелердің статистикалық физикасында реплика әдісі – бұл формуланың қолданылуына негізделген математикалық техника:
In the statistical physics of spin glasses and other systems with quenched disorder, the replica trick is a mathematical technique based on the application of the formula:
or:
where
is most commonly the partition function, or a similar thermodynamic function. It is typically used to simplify the calculation of , the expected value of , reducing the problem to calculating the disorder average where is assumed to be an integer. This is physically equivalent to averaging over copies or replicas of the system, hence the name. The crux of the replica trick is that while the disorder averaging is done assuming to be an integer, to recover the disorder averaged logarithm one must send continuously to zero. This apparent contradiction at the heart of the replica trick has never been formally resolved, however in all cases where the replica method can be compared with other exact solutions, the methods lead to the same results. (A natural sufficient rigorous proof that the replica trick works would be to check that the assumptions of Carlson's theorem hold, especially that the ratio is of exponential type less than .) It is occasionally necessary to require the additional property of replica symmetry breaking (RSB) in order to obtain physical results, which is associated with the breakdown of ergodicity.
немесе:
In the statistical physics of spin glasses and other systems with quenched disorder, the replica trick is a mathematical technique based on the application of the formula:
or:
where
is most commonly the partition function, or a similar thermodynamic function. It is typically used to simplify the calculation of , the expected value of , reducing the problem to calculating the disorder average where is assumed to be an integer. This is physically equivalent to averaging over copies or replicas of the system, hence the name. The crux of the replica trick is that while the disorder averaging is done assuming to be an integer, to recover the disorder averaged logarithm one must send continuously to zero. This apparent contradiction at the heart of the replica trick has never been formally resolved, however in all cases where the replica method can be compared with other exact solutions, the methods lead to the same results. (A natural sufficient rigorous proof that the replica trick works would be to check that the assumptions of Carlson's theorem hold, especially that the ratio is of exponential type less than .) It is occasionally necessary to require the additional property of replica symmetry breaking (RSB) in order to obtain physical results, which is associated with the breakdown of ergodicity.
мұндағы көбінесе бөліну функциясы немесе ұқсас термодинамикалық функция болып табылады. Ол әдетте есептеуді жеңілдету үшін қолданылады, яғни функциясының күтілетін мәнін есептеуді, мәселені көздейсоқ орташасын есептеуге келтіреді, мұнда бүтін сан деп есептеледі. Бұл физикалық тұрғыдан жүйенің көшірмесінің орташасын алумен тең, сондықтан осылай аталады. Реплика әдісінің мәні – тәртіпсіздікті орташалау бүтін сан деп есептеліп жасалса, тәртіпсіздікті орташалаған логарифмді қалпына келтіру үшін нөлге үздіріссіз жіберу қажет. Реплика әдісінің негізіндегі бұл көрінетін қайшылық ресми түрде шешілген емес, бірақ реплика әдісін басқа нақты шешімдермен салыстыруға болатын жағдайлардың барлығында, әдістер бірдей нәтижелерге әкеледі. (Реплика әдісінің жұмыс істейтіндігіне қатысты нақты дәлел беру үшін Карлсон теоремасының шарттарын тексеру қажет, әсіресе қатынасы экспоненциалды типтегі шамадан кем екенін.) Физикалық нәтижелер алу үшін кейде репликалық симметрияны бұзудың (RSB) қосымша қасиеті қажет болады, ол эргадикалықтың бұзылуымен байланысты.
In the statistical physics of spin glasses and other systems with quenched disorder, the replica trick is a mathematical technique based on the application of the formula:
or:
where
is most commonly the partition function, or a similar thermodynamic function. It is typically used to simplify the calculation of , the expected value of , reducing the problem to calculating the disorder average where is assumed to be an integer. This is physically equivalent to averaging over copies or replicas of the system, hence the name. The crux of the replica trick is that while the disorder averaging is done assuming to be an integer, to recover the disorder averaged logarithm one must send continuously to zero. This apparent contradiction at the heart of the replica trick has never been formally resolved, however in all cases where the replica method can be compared with other exact solutions, the methods lead to the same results. (A natural sufficient rigorous proof that the replica trick works would be to check that the assumptions of Carlson's theorem hold, especially that the ratio is of exponential type less than .) It is occasionally necessary to require the additional property of replica symmetry breaking (RSB) in order to obtain physical results, which is associated with the breakdown of ergodicity.
Физикалық қолдану
Реплика жасау әдісі статистикалық механикалық жүйелердің негізгі күйлерін анықтау үшін орташа өріс жуықтауында қолданылады. Әдетте, негізгі күйін анықтау оңай болатын жүйелер үшін негізгі күйге жақын флуктуацияларды талдауға болады. Әйтпесе, реплика әдісі қолданылады. Мысалы, спиндер арасындағы магниттік байланыстардың әртүрлі түрлері бар спин шынысы сияқты жүйедегі сөндірілген тәртіпсіздік жағдайы, спиндердің бірдей энергияға ие болатын көптеген түрлі конфигурацияларына әкеледі. Сөндірілген тәртіпсіздікке ие жүйелердің статистикалық физикасында, тәртіпсіздіктің бірдей іске асырылуы бар кез келген екі күй (немесе спин шынысы жағдайында, ферромагниттік және антиферромагниттік байланыстардың бірдей таралуымен) бір-бірінің репликалары деп аталады. Сөндірілген тәртіпсіздікке ие жүйелер үшін макроскопиялық шамалардың өзін-өзі орташалайтыны күтіледі, яғни тәртіпсіздіктің нақты іске асырылуы үшін кез келген макроскопиялық шама, тәртіпсіздіктің барлық мүмкін іске асырылуы бойынша орташа есептелген сол шамадан ажыратылмайды. Репликаларды енгізу, тәртіпсіздіктің әртүрлі іске асырылуы бойынша осы орташаны есептеуге мүмкіндік береді. Спин шынысы жағдайында, термодинамикалық лимитте спинге шаққандағы еркін энергия (немесе кез келген өзін-өзі орташалайтын шама) тордың жеке түйіндері арасындағы ферромагниттік және антиферромагниттік байланыстардың нақты мәндеріне тәуелсіз болады деп күтіледі. Сондықтан, біз еркін энергияны тәртіпсіздік параметрінің функциясы ретінде анықтап табамыз (бұл жағдайда, ферромагниттік және антиферромагниттік байланыстардың таралу параметрлері) және еркін энергияны тәртіпсіздіктің барлық іске асырылуы бойынша орташалаймыз (түйіндер арасындағы байланыстардың барлық мәндері, әрқайсысы тиісті ықтималдықпен, таралу функциясымен берілген). Еркін энергия мынадай формаға ие:
мұнда тәртіпсіздікті сипаттайды (спин шынысы үшін, ол әрбір жеке түйін арасындағы магниттік өзара әрекеттесудің сипатын сипаттайды) және біз берілген тарату бойынша сипатталған байланыстардың барлық мәндері бойынша орташа есептейміз. Логарифм функциясы бойынша орташа есептеуді жүзеге асыру үшін реплика жасау әдісі қолданылады, ол логарифмді жоғарыда аталған оның лимиттік формасына алмастыруға мүмкіндік береді. Бұл жағдайда саны бірдей жүйелердің бірлескен бөлу функциясын білдіреді.
REM: ең оңай реплика проблемасы
Кездейсоқ энергия моделі (REM) – тәртіпсіз жүйелердің статистикалық механикасының ең қарапайым модельдерінің бірі және репликалық симметрияны бұзудың 1-деңгейіне репликалық әдістің мағынасы мен күшін көрсетуге қабілетті ең қарапайым модель. Бұл модель осы тақырыпқа кіріспе ретінде өте ыңғайлы, себебі басқа тәсілмен алынған нақты нәтиже белгілі, ал репликалық әдістің нәтижелерді салыстыру арқылы дұрыс екенін растауға болады.
Баламалы әдістер
Қауыс әдісі – тәртіпсіз орталық өріс мәселелерін зерттеуге арналған, көбінесе реплика әдісінен қолдануға оңай балама әдіс. Ол жергілікті түрде ағаш тәрізді графтардағы модельдермен жұмыс істеу үшін жасалған. Тағы бір балама әдіс – суперсимметриялық әдіс. Суперсимметрия әдісін қолдану, реплика тәсіліне математикалық тұрғыдан қатаң балама ұсынады, бірақ бұл тек өзара әрекеттеспейтін жүйелерде ғана мүмкін. Мысалы, мына кітапты қараңыз:
Сонымен қатар, Келдиш формализмі реплика тәсіліне қолдануға болатын балама екені көрсетілді.