Введение
Статистическая модель
В статистике модель с фиксированными эффектами — это статистическая модель, в которой параметры модели являются фиксированными или недетерминированными величинами. Это противопоставляется моделям случайных эффектов и смешанным моделям, в которых все или некоторые из параметров модели являются случайными переменными. Во многих областях применения, включая эконометрику и биостатистику, модель фиксированных эффектов обычно подразумевает регрессионную модель, в которой групповые средние значения фиксированы (недетерминированы), в отличие от модели случайных эффектов, где групповые средние значения представляют собой случайную выборку из генеральной совокупности.
Оценка фиксированных эффектов
Поскольку он не наблюдаем, его нельзя непосредственно контролировать. Модель FE устраняет переменные, применяя внутригрупповую трансформацию: где , , и . Поскольку является постоянной, и, следовательно, эффект устраняется. Затем оценщик FE получается путем регрессии МНК на . Существует как минимум три альтернативы внутригрупповой трансформации с различными подходами. Одна из них – добавление фиктивной переменной для каждого индивидуума (исключая первого индивидуума из-за мультиколлинеарности). Этот метод численно, но не вычислительно, эквивалентен модели с фиксированными эффектами и работает только в том случае, если сумма количества рядов и количества глобальных параметров меньше количества наблюдений. Подход с использованием фиктивных переменных особенно требователен к объему используемой памяти компьютера и не рекомендуется для задач, превышающих доступный объем оперативной памяти и возможности компиляции используемой программы. Вторая альтернатива – использование подхода последовательных итераций для локальных и глобальных оценок. Этот подход очень подходит для систем с ограниченной памятью, где он гораздо более вычислительно эффективен, чем подход с фиктивными переменными. Третий подход – вложенная оценка, при которой локальная оценка для отдельных рядов программируется как часть определения модели. Этот подход наиболее эффективен с точки зрения вычислительных ресурсов и использования памяти, но требует продвинутых навыков программирования и доступа к коду модели; однако его можно запрограммировать, в том числе в SAS. Наконец, каждая из вышеперечисленных альтернатив может быть улучшена, если оценка для конкретного ряда является линейной (в рамках нелинейной модели), в этом случае прямое линейное решение для отдельных рядов можно запрограммировать как часть определения нелинейной модели.
where , , and
Since is constant, and hence the effect is eliminated. The FE estimator is then obtained by an OLS regression of on
At least three alternatives to the within transformation exist with variations. One is to add a dummy variable for each individual (omitting the first individual because of multicollinearity). This is numerically, but not computationally, equivalent to the fixed effect model and only works if the sum of the number of series and the number of global parameters is smaller than the number of observations. The dummy variable approach is particularly demanding with respect to computer memory usage and it is not recommended for problems larger than the available RAM, and the applied program compilation, can accommodate. Second alternative is to use consecutive reiterations approach to local and global estimations. This approach is very suitable for low memory systems on which it is much more computationally efficient than the dummy variable approach. The third approach is a nested estimation whereby the local estimation for individual series is programmed in as a part of the model definition. This approach is the most computationally and memory efficient, but it requires proficient programming skills and access to the model programming code; although, it can be programmed including in SAS. Finally, each of the above alternatives can be improved if the series specific estimation is linear (within a nonlinear model), in which case the direct linear solution for individual series can be programmed in as part of the nonlinear model definition.
Оценка первой разницы
Альтернативой описанному преобразованию является преобразование первых разностей, которое приводит к другому оценщику. Для этого:
Оценщик FD получается путем регрессии методом наименьших квадратов (OLS) на. Когда , оценщики первых разностей и фиксированных эффектов численно эквивалентны. При , они не эквивалентны. Если ошибки имеют постоянную дисперсию и не имеют автокорреляции, оценщик фиксированных эффектов более эффективен, чем оценщик первых разностей. Однако, если следовать случайному блужданию, оценщик первых разностей более эффективен.
When , the first difference and fixed effects estimators are numerically equivalent. For , they are not. If the error terms are homoskedastic with no serial correlation, the fixed effects estimator is more efficient than the first difference estimator. If follows a random walk, however, the first difference estimator is more efficient.
Использование для проверки на консистенцию
Оценки случайных эффектов могут быть несостоятельными в пределе длинных временных рядов, если случайные эффекты заданы неверно (то есть, выбранная модель для случайных эффектов некорректна). Однако модель фиксированных эффектов может оставаться состоятельной в некоторых ситуациях. Например, если моделируемый временной ряд нестационарен, модели случайных эффектов, предполагающие стационарность, могут быть несостоятельными в пределе длинных рядов. Один из примеров – наличие у временного ряда восходящего тренда. В этом случае, по мере удлинения ряда, модель пересматривает оценки среднего значения для более ранних периодов в сторону увеличения, что приводит к все более смещенным прогнозам коэффициентов. Однако модель с фиксированными временными эффектами не объединяет информацию во времени, и, следовательно, более ранние оценки не изменяются. В таких ситуациях, когда состоятельность модели фиксированных эффектов известна, тест Дурбина-Ву-Хаусмана можно использовать для проверки состоятельности выбранной модели случайных эффектов. Если истинно, то и и состоятельны, но только эффективна. Если истинно, состоятельность не может быть гарантирована.