Введение

Метод изображений (или метод зеркальных изображений) — это математический инструмент для решения дифференциальных уравнений, в котором граничные условия выполняются путем комбинирования решения, не ограниченного этими условиями, с его, возможно, взвешенным зеркальным отражением. Как правило, исходные сингулярности находятся внутри рассматриваемой области, но функция приводится к выполнению граничных условий путем добавления дополнительных сингулярностей за пределами этой области. Обычно положение этих дополнительных сингулярностей определяется как отражение исходных сингулярностей в зеркале, расположенном на границе, где заданы граничные условия. Чаще всего это зеркало представляет собой гиперплоскость или гиперсферу. Метод изображений также может применяться для решения дискретных задач с граничными условиями, например, для подсчета числа ограниченных дискретных случайных блужданий.

Метод заряда изображения

Метод зеркальных зарядов используется в электростатике для упрощенного расчета или визуализации распределения электрического поля заряда вблизи проводящей поверхности. Он основан на том, что тангенциальная компонента электрического поля на поверхности проводника равна нулю, и что электрическое поле E в некоторой области однозначно определяется своей нормальной компонентой на поверхности, ограничивающей эту область (теорема единственности).

Магнитно-сверхпроводниковые системы

Метод изображений может также использоваться в магнитостатике для расчета магнитного поля магнита, расположенного вблизи сверхпроводящей поверхности. Сверхпроводник в так называемом состоянии Мейснера является идеальным диамагнетиком, в который магнитное поле не проникает. Следовательно, нормальная составляющая магнитного поля на его поверхности должна быть равна нулю. Тогда изображение магнита следует зеркально отразить. Сила между магнитом и сверхпроводящей поверхностью, таким образом, является отталкивающей. По сравнению со случаем диполя заряда над плоской проводящей поверхностью, отраженный вектор намагниченности можно рассматривать как результат дополнительного изменения знака осевого вектора. Для учета явления закрепления магнитного потока в сверхпроводниках второго рода можно использовать метод "замороженного" зеркального изображения.

Массовый транспорт в экологических потоках с не бесконечными областями

Инженеры-экологи часто интересуются отражением (и иногда поглощением) шлейфа загрязняющего вещества от непроницаемой (без потока) границы. Быстрый способ моделирования этого отражения – метод зеркальных изображений. Отражения, или зеркальные изображения, ориентированы в пространстве таким образом, чтобы они идеально заменяли любую массу (от реального шлейфа), проходящую через данную границу. Одна граница требует одного зеркального изображения. Две и более границ создают бесконечное число изображений. Однако, для целей моделирования массопереноса, например, распространения загрязнения в озере, может быть излишним включать бесконечный набор изображений при наличии нескольких значимых границ. Например, для представления отражения с определенной степенью физической точности, можно ограничиться первичными и вторичными изображениями. Самый простой случай – одна граница в одномерном пространстве. В этом случае возможно только одно зеркальное изображение. Если со временем масса приближается к границе, то изображение может адекватно описать отражение этой массы обратно через границу. Другой простой пример – одна граница в двумерном пространстве. Опять же, поскольку граница одна, достаточно одного зеркального изображения. Это описывает дымовую трубу, выбросы которой "отражаются" в атмосфере от непроницаемой поверхности земли и в остальном практически неограниченно распространяются. Наконец, рассмотрим выброс массы в одномерном пространстве, ограниченном слева и справа непроницаемыми границами. Существует два основных зеркальных изображения, каждое из которых заменяет массу исходного выброса, отражающегося от каждой границы. Есть два вторичных изображения, каждое из которых заменяет массу одного из первичных изображений, проходящую через противоположную границу. Также существуют два третичных изображения (заменяющие массу, потерянную вторичными изображениями), два четвертичных изображения (заменяющие массу, потерянную третичными изображениями) и так далее до бесконечности. Для данной системы, после тщательной ориентации всех изображений, концентрационное поле определяется суммированием выбросов массы (реальный шлейф плюс все зеркальные изображения) в пределах заданных границ. Это концентрационное поле физически точно только внутри границ; поле за пределами границ является нефизичным и не имеет значения для большинства инженерных задач.

Математика для непрерывных случаев

Этот метод является специфическим применением функций Грина. Метод образов эффективно работает, когда граница представляет собой плоскую поверхность, а распределение имеет геометрический центр. Это позволяет осуществлять простое зеркальное отражение распределения для удовлетворения различных граничных условий. Рассмотрим простой одномерный случай, иллюстрированный на графике, где задано распределение как функция от и имеется единственная граница, расположенная в точке , с областью определения, где , и областью образов. Рассмотрим решение, удовлетворяющее линейному дифференциальному уравнению для любого , но необязательно удовлетворяющее граничному условию. Следует отметить, что такие распределения типичны для моделей, предполагающих гауссовское распределение. Это особенно распространено в инженерной экологии, в частности, при моделировании атмосферных потоков с использованием моделей гауссовского шлейфа.