Введение

Область математической логики – математическая дисциплина.

В математической логике теория моделей изучает взаимосвязь между формальными теориями (совокупностью предложений на формальном языке, выражающих утверждения о математической структуре) и их моделями (структурами, в которых утверждения теории истинны). Исследуемые аспекты включают количество и размер моделей теории, отношения между различными моделями и их взаимодействие с самим формальным языком. В частности, теоретики моделей также изучают множества, которые могут быть определены в модели теории, и отношения между такими определяемыми множествами. Как самостоятельная дисциплина, теория моделей восходит к Альфреду Тарски, который впервые использовал термин «теория моделей» в публикации 1954 года. С 1970-х годов развитие этой области существенно определила теория стабильности Сахарона Шелаха. По сравнению с другими областями математической логики, такими как теория доказательств, теория моделей часто уделяет меньше внимания формальной строгости и ближе по духу к классической математике. Это привело к замечанию, что «если теория доказательств имеет дело с сакральным, то теория моделей – с профанным». Применение теории моделей к алгебраической и диофантовой геометрии отражает эту близость к классической математике, поскольку оно часто включает интеграцию алгебраических и теоретико-модельных результатов и методов. Следовательно, теория доказательств носит синтаксический характер, в отличие от теории моделей, которая носит семантический характер. Наиболее авторитетной научной организацией в области теории моделей является Ассоциация символической логики.

Логика первого порядка

Формула первого порядка строится из атомных формул, таких как или , с помощью булевых связок и добавления кванторов или . Предложение – это формула, в которой каждое вхождение переменной находится в области действия соответствующего квантора. Примерами формул являются (или , для обозначения свободной переменной в ) и (или), определяемые следующим образом: (Обратите внимание, что символ равенства имеет здесь двойное значение.) Интуитивно понятно, как перевести такие формулы в математический смысл. В σsmr-структуре натуральных чисел, например, элемент удовлетворяет формуле тогда и только тогда, когда является простым числом. Формула аналогично определяет неприводимость. Тарский дал строгое определение, иногда называемое «определением истины Тарского», для отношения удовлетворения , позволяющее легко доказать: является простым числом. неприводимо. Множество предложений называется (первопорядковой) теорией, принимающей предложения из этого множества в качестве аксиом. Теория называется выполнимой (удовлетворимой), если у неё есть модель , то есть структура (с соответствующей сигнатурой), удовлетворяющая всем предложениям из множества . Полная теория – это теория, содержащая каждое предложение или его отрицание. Полная теория всех предложений, удовлетворяемых структурой, также называется теорией этой структуры. Это следствие теоремы о полноте Гёделя (не путать с его теоремами о неполноте), что теория имеет модель тогда и только тогда, когда она непротиворечива, то есть в теории не выводится никакого противоречия. Поэтому теоретики моделей часто используют термин «непротиворечивость» как синоним «выполнимости» (удовлетворимости).

Основные концепции теории моделирования

Подпись или язык — это набор нелогических символов, причем каждый символ является либо символом константы, либо символом функции или отношения с определенной аритетностью. Следует отметить, что в некоторых источниках константные символы рассматриваются как функциональные символы с нулевой аритетностью и, следовательно, опускаются. Структура — это множество вместе с интерпретациями каждого из символов подписи как отношений и функций на этом множестве (не следует путать с формальным понятием «интерпретации» одной структуры в другой). Пример: Общая подпись для упорядоченных колец — это , где и — символы функций нулевой аритетности (также известные как константные символы), и — символы бинарных (= 2-арных) функций, — символ унарной (= 1-арной) функции, а — символ бинарного отношения. Затем, когда эти символы интерпретируются в соответствии с их обычным значением на (так, что, например, является функцией из в , а является подмножеством ), получается структура . Структура называется моделью для множества предложений первого порядка в данном языке, если каждое предложение из истинно в относительно интерпретации подписи, ранее заданной для (Опять же, не следует путать с формальным понятием «интерпретации» одной структуры в другой). Моделью для является структура, которая моделирует . Подструктура σ-структуры является подмножеством ее области, замкнутым относительно всех функций в ее подписи σ, которая рассматривается как σ-структура путем ограничения всех функций и отношений в σ до этого подмножества. Это обобщает аналогичные понятия из алгебры; например, подгруппа является подструктурой в подписи с операцией умножения и обратным элементом. Подструктура называется элементарной, если для любой формулы первого порядка φ и любых элементов a1, …, an из , φ истинно в тогда и только тогда, когда φ истинно в . В частности, если φ является предложением и является элементарной подструктурой , то если и только если . Таким образом, элементарная подструктура является моделью теории тогда и только тогда, когда надстройка является моделью. Пример: в то время как поле алгебраических чисел является элементарной подструктурой поля комплексных чисел , рациональное поле не является таковым, поскольку мы можем выразить утверждение «Существует квадратный корень из 2» в виде предложения первого порядка, которое выполняется в , но не выполняется в . Вложение σ-структуры в другую σ-структуру — это отображение f: A → B между областями, которое можно представить как изоморфизм с подструктурой . Если его можно представить как изоморфизм с элементарной подструктурой, то оно называется элементарным вложением. Каждое вложение является инъективным гомоморфизмом, но обратное верно только в том случае, если подпись не содержит символов отношений, например, в группах или полях. Поле или векторное пространство можно рассматривать как (коммутативную) группу, просто игнорируя часть его структуры. Соответствующее понятие в теории моделей — это редукция структуры к подмножеству исходной подписи. Обратное отношение называется расширением. Например, (аддитивная) группа рациональных чисел, рассматриваемая как структура в подписи {+, 0}, может быть расширена до поля с подписью {×, +, 1, 0} или до упорядоченной группы с подписью {+, 0, <}. Аналогично, если σ' является подписью, которая расширяет другую подпись σ, то полная σ'-теория может быть ограничена σ путем пересечения множества ее предложений с множеством формул σ. И наоборот, полную σ-теорию можно рассматривать как σ'-теорию, и ее можно расширить (более чем одним способом) до полной σ'-теории. Термины «редукция» и «расширение» иногда применяются и к этому отношению.

Компактность и теорема Лёвенхайма-Сколема

Теорема компактности утверждает, что множество предложений S выполнимо, если выполнимо каждое конечное подмножество S. Аналогичное утверждение с использованием понятия "последовательное" вместо "выполнимое" тривиально, поскольку каждое доказательство может использовать лишь конечное число посылок. Теорема полноты позволяет нам перевести это на выполнимость. Однако существуют также несколько прямых (семантических) доказательств теоремы компактности. Как следствие (то есть, её эквивалентное утверждение, полученное взятием отрицания и перестановкой), теорема компактности утверждает, что любая невыполнимая теория первого порядка имеет конечное невыполнимое подмножество. Эта теорема имеет центральное значение в теории моделей, где выражение "по компактности" встречается повсеместно. Еще одним краеугольным камнем теории моделей первого порядка является теорема Лёвенхайма — Сколема. Согласно теореме Лёвенхайма — Сколема, каждая бесконечная структура в счетной сигнатуре имеет счетную элементарную подструктуру. Обратно, для любого бесконечного кардинала κ каждая бесконечная структура в счетной сигнатуре, имеющая кардинальность меньше κ, может быть элементарно вложена в другую структуру кардинальности κ (существует прямое обобщение на несчетные сигнатуры). В частности, теорема Лёвенхайма — Сколема подразумевает, что любая теория в счетной сигнатуре с бесконечными моделями имеет счетную модель, а также модели произвольной кардинальности. В определенном смысле, уточненном теоремой Линдстрема, логика первого порядка является наиболее выразительной логикой, для которой выполняются как теорема Лёвенхайма — Сколема, так и теорема компактности.

Определяемые и интерпретируемые структуры

Особенно важны те определяемые множества, которые также являются подструктурами, то есть содержат все константы и замкнуты относительно применения функций. Например, можно изучать определяемые подгруппы данной группы. Однако нет необходимости ограничиваться подструктурами с той же сигнатурой. Поскольку формулы с n свободными переменными определяют подмножества , n-арные отношения также могут быть определяемыми. Функции считаются определяемыми, если их график является определяемым отношением, а константы – определяемыми, если существует формула, для которой a является единственным элементом, удовлетворяющим этой формуле. Таким образом, можно изучать определяемые группы и поля в общих структурах, что, например, имело важное значение в теории геометрической стабильности. Можно даже пойти дальше и выйти за пределы непосредственных подструктур. Для данной математической структуры часто существуют связанные структуры, которые можно построить как фактор части исходной структуры по отношению эквивалентности. Важным примером является факторгруппа группы. Можно сказать, что для понимания полной структуры необходимо понимать эти факторы. Когда отношение эквивалентности является определяемым, мы можем придать предыдущему утверждению точный смысл. Мы говорим, что такие структуры интерпретируемы. Ключевым фактом является то, что можно переводить предложения с языка интерпретируемых структур на язык исходной структуры. Таким образом, можно показать, что если структура интерпретирует другую структуру, теория которой неразрешима, то сама она также неразрешима.

Основные понятия

Для последовательности элементов структуры и подмножества A можно рассматривать множество всех формул первого порядка с параметрами из A, которые выполняются для . Это называется полным (n)-типом, реализуемым в A. Если существует автоморфизм структуры , который постоянен на A и переводит в , то и реализуют один и тот же полный тип над A. В этом разделе в качестве рабочего примера будет использоваться множество действительных чисел , рассматриваемое как структура с единственным отношением порядка {<}. Каждый элемент удовлетворяет одному и тому же 1-типу над пустым множеством. Это очевидно, поскольку любые два действительных числа a и b связаны автоморфизмом порядка, который сдвигает все числа на b-a. Полный 2-тип над пустым множеством, реализуемый парой чисел , зависит от их порядка: либо , либо . Для подмножества целых чисел 1-тип вещественного числа a, не являющегося целым, зависит от его значения, округленного вниз до ближайшего целого числа. В более общем случае, если – структура и A – подмножество , то (частичный) n-тип над A – это множество формул p с не более чем n свободными переменными, которые реализуются в элементарном расширении структуры . Если p содержит каждую такую формулу или ее отрицание, то p является полным. Множество полных n-типов над A часто обозначается как . Если A – пустое множество, то типовое пространство зависит только от теории . Обозначение обычно используется для множества типов над пустым множеством, согласованных с . Если существует единственная формула , такая что теория влечет за собой для каждой формулы из p, то p называется изолированным. Поскольку действительные числа являются архимедовыми, не существует действительного числа, большего любого целого числа. Однако аргумент с использованием компактности показывает, что существует элементарное расширение множества действительных чисел, в котором существует элемент, больший любого целого числа. Следовательно, множество формул является 1-типом над , который не реализуется в множестве действительных чисел. Подмножество , которое можно выразить как множество именно тех элементов , реализующих определенный тип над A, называется типом, определяемым над A. В качестве алгебраического примера предположим, что – алгебраически замкнутое поле. Теория имеет устранение кванторов. Это позволяет нам показать, что тип определяется точно полиномиальными уравнениями, которые он содержит. Таким образом, множество полных типов над подполем соответствует множеству простых идеалов кольца многочленов , а множества, определяемые типом, являются точно аффинными многообразиями.

Структуры и типы

Хотя не каждый тип реализуется в каждой структуре, каждая структура реализует свои изолированные типы. Если единственные типы над пустым множеством, которые реализуются в структуре, являются изолированными типами, то структура называется атомной. С другой стороны, ни одна структура не реализует каждый тип над каждым набором параметров; если взять все как набор параметров, то каждый 1-тип над , реализованный в , изолируется формулой вида a = x для некоторого a. Однако, любое собственное элементарное расширение содержит элемент, которого нет в . Поэтому было введено более слабое понятие, которое отражает идею структуры, реализующей все типы, которые можно разумно ожидать реализовать. Структура называется насыщенной, если она реализует каждый тип над набором параметров, кардинальность которого меньше её собственной. В то время как автоморфизм, постоянный на A, всегда сохраняет типы над A, обычно неверно, что любые две последовательности, удовлетворяющие одному и тому же типу над A, могут быть сопоставлены друг другу таким автоморфизмом. Структура, в которой это обратное верно для всех A кардинальности, меньшей её собственной, называется однородной. Реальная числовая прямая является атомной в языке, содержащем только отношение порядка, поскольку все n-типы над пустым множеством, реализованные в , изолируются отношениями порядка между элементами . Однако она не насыщена, поскольку не реализует ни один 1-тип над счетным множеством, который бы подразумевал, что x больше любого целого числа. В отличие от неё, рациональная числовая прямая насыщена, поскольку она сама счетна и, следовательно, для насыщения ей достаточно реализовывать типы только над конечными подмножествами.

Каменные пространства

Набор определяемых подмножеств над некоторыми параметрами является булевой алгеброй. По теореме представления Стоуна для булевых алгебр существует естественное двойственное топологическое пространство, состоящее ровно из полных типов над . Топология, порожденная множествами вида для одиночных формул, называется пространством Стоуна n-типов над A. Эта топология объясняет некоторую терминологию, используемую в теории моделей: теорема о компактности утверждает, что пространство Стоуна является компактным топологическим пространством, и тип p изолирован тогда и только тогда, когда p является изолированной точкой в топологии Стоуна. В то время как типы в алгебраически замкнутых полях соответствуют спектру кольца многочленов, топология на пространстве типов является конструируемой топологией: множество типов является базисным открытым, если оно имеет вид или вид . Она тоньше, чем топология Зариски.

Категоричность

Теория изначально называлась категорической, если она однозначно определяет структуру с точностью до изоморфизма. Однако оказывается, что это определение неэффективно из-за серьезных ограничений в выразительности логики первого порядка. Теорема Лёвенхайма-Сколема влечет за собой, что если теория T имеет бесконечную модель для некоторого бесконечного кардинального числа, то она имеет модель мощности κ для любого достаточно большого кардинального числа κ. Поскольку две модели различной мощности не могут быть изоморфными, только конечные структуры могут быть описаны категорической теорией. Тем не менее, более слабое понятие κ-категоричности для кардинала κ стало ключевым понятием в теории моделей. Теория T называется κ-категорической, если любые две модели T мощности κ изоморфны. Оказывается, что вопрос о κ-категоричности критически зависит от того, больше ли κ кардинальности языка (т.е. +|σ|, где |σ| – кардинальность сигнатуры). Для конечных или счетных сигнатур это означает, что существует принципиальная разница между кардинальностью и κ-кардинальностью для несчетных κ.

Теория стабильности

Ключевым фактором в структуре класса моделей теории первого порядка является ее место в иерархии стабильности. Полная теория T называется стабильной для кардинала κ, если для любой модели M теории T и любого набора параметров A кардинальности, не превышающей κ, существует не более κ полных типов над A. Теория называется стабильной, если она стабильна для некоторого бесконечного кардинала. Традиционно, теории, которые являются стабильными, называют стабильными.

Теория геометрической стабильности

Иерархия стабильности также имеет решающее значение для анализа геометрии определяемых множеств в модели теории. В стабильных теориях ранг Морли является важным понятием размерности для определяемых множеств S в модели. Он определяется трансфинитной индукцией:

Ранг Морли не меньше 0, если S не пусто. Для α – последовательного порядкового числа, ранг Морли не меньше α, если в некотором элементарном расширении N модели M множество S имеет бесконечно много непересекающихся определяемых подмножеств, каждое из которых имеет ранг не меньше α − 1. Для α – ненулевого предельного порядкового числа, ранг Морли не меньше α, если он не меньше β для всех β, меньших α. Теория T, в которой для каждого определяемого множества определен ранг Морли, называется полностью трансцендентной; если T счетна, то T является полностью трансцендентной тогда и только тогда, когда T стабильна. Ранг Морли можно расширить на типы, определив ранг Морли типа как минимум рангов Морли формул в этом типе. Таким образом, можно также говорить о ранге Морли элемента a над параметрическим множеством A, определяемом как ранг Морли типа a над A. Существуют также аналоги ранга Морли, которые хорошо определены тогда и только тогда, когда теория сверхстабильна (U-ранг) или просто стабильна (ранг Шелаха). Эти понятия размерности могут быть использованы для определения понятий независимости и общих расширений. В последнее время стабильность была разложена на простоту и свойство “не независимости” (NIP). Простые теории – это те теории, в которых можно определить хорошо определённое понятие независимости, в то время как теории NIP обобщают o-минимальные структуры. Они связаны со стабильностью, поскольку теория стабильна, если и только если она является NIP и простой, и различные аспекты теории стабильности были обобщены на теории, принадлежащие к одному из этих классов.

Теория неэлементарных моделей

Теоретические результаты в теории моделей были обобщены за пределы элементарных классов, то есть классов, аксиоматизируемых теорией первого порядка. Теория моделей в логиках высшего порядка или бесконечных логиках затруднена тем, что полнота и компактность, как правило, не выполняются для этих логик. Это подтверждается теоремой Линдстрема, которая, грубо говоря, утверждает, что логика первого порядка является, по сути, самой сильной логикой, в которой одновременно выполняются теоремы Лёвенхайма-Сколема и компактность. Однако методы теории моделей были широко разработаны и для этих логик. При этом оказывается, что значительная часть теории моделей более выразительных логических языков не зависит от теории множеств Зермело-Френкеля. В последнее время, наряду с переходом к полным стабильным и категорическим теориям, ведутся работы над классами моделей, определяемыми семантически, а не аксиоматизируемыми логической теорией. Одним из примеров является однородная теория моделей, которая изучает класс подструктур произвольно больших однородных моделей. Фундаментальные результаты теории стабильности и геометрической теории стабильности обобщаются на эту область. Как обобщение сильно минимальных теорий, квазиминимально отличные классы – это те, в которых каждое определяемое множество либо счетно, либо дополняемо до счетного. Они играют ключевую роль в теории моделей комплексной экспоненциальной функции. Наиболее общая семантическая основа для изучения стабильности – это абстрактные элементарные классы, которые определяются сильным отношением подструктуры, обобщающим отношение элементарной подструктуры. Несмотря на то, что их определение чисто семантическое, каждый абстрактный элементарный класс может быть представлен как модели теории первого порядка, отбрасывающей определенные типы. Обобщение понятий теории стабильности на абстрактные элементарные классы является текущей исследовательской программой.

Выбранные приложения

Среди ранних успехов теории моделей — доказательства Тарского устранения кванторов для различных алгебраически интересных классов, таких как вещественно замкнутые поля, булевы алгебры и алгебраически замкнутые поля заданной характеристики. Устранение кванторов позволило Тарскому показать, что теории первого порядка вещественно замкнутых и алгебраически замкнутых полей, а также теория первого порядка булевых алгебр являются разрешимыми, классифицировать булевы алгебры с точностью до элементарной эквивалентности и доказать, что теории вещественно замкнутых полей и алгебраически замкнутых полей заданной характеристики единственны. Кроме того, устранение кванторов обеспечило точное описание определяемых отношений в алгебраически замкнутых полях как алгебраических многообразий и определяемых отношений в вещественно замкнутых полях как полуалгебраических множеств. В 1960-х годах введение ультрапроизведения привело к новым приложениям в алгебре. Это включает работу Акса над псевдоконечными полями, доказывающую разрешимость теории конечных полей, и доказательство Акса и Кохена частного случая гипотезы Артина о диофантовых уравнениях — теоремы Акса — Кохена. Ультрапроизведение также послужило основой для разработки Абрахамом Робинсоном нестандартного анализа, целью которого является создание строгого исчисления бесконечно малых величин. В последнее время связь между стабильностью и геометрией определяемых множеств привела к ряду приложений в алгебраической и диофантовой геометрии, включая доказательство Эхуда Хрушовского в 1996 году геометрической гипотезы Морделла — Ланга для всех характеристик. В 2001 году аналогичные методы были использованы для доказательства обобщения гипотезы Манина — Мамфорда. В 2011 году Джонатан Пила применил методы, связанные с o-минимальностью, для доказательства гипотезы Андре Оорта для произведений модульных кривых. В отдельном направлении исследований, также развивавшемся вокруг стабильных теорий, Ласковски показал в 1992 году, что теории NIP описывают именно те определяемые классы, которые поддаются PAC-обучению в теории машинного обучения. Это привело к взаимодействию между этими различными областями. В 2018 году эта взаимосвязь была расширена, поскольку Хантер и Чейз показали, что стабильные теории соответствуют классам, обучаемым в режиме онлайн.

История

Теория моделей как область знаний существует примерно с середины 20-го века, и название было предложено Альфредом Тарским, членом львовско-варшавской школы, в 1954 году. Однако некоторые более ранние исследования, особенно в математической логике, часто рассматриваются в ретроспективе как относящиеся к теории моделей. Первым значительным результатом в том, что сейчас является теорией моделей, стала частный случай теоремы о понижении Лёвенхайма — Сколема, опубликованная Леопольдом Лёвенхаймом в 1915 году. Теорема о компактности была неявно содержалась в работах Торальфа Сколема, но впервые была опубликована в 1930 году в качестве леммы в доказательстве теоремы о полноте Курта Гёделя. Теорема Лёвенхайма — Сколема и теорема о компактности приобрели свои общие формы в 1936 и 1941 годах благодаря работам Анатолия Мальцева. Развитие теории моделей как самостоятельной дисциплины было инициировано Альфредом Тарским в межвоенный период. Работы Тарского охватывали логические следствия, дедуктивные системы, алгебру логики, теорию определимости и семантическое определение истины, среди прочего. Его семантические методы достигли кульминации в теории моделей, которую он и ряд его студентов из Беркли разработали в 1950-х и 1960-х годах. В дальнейшей истории дисциплины начали формироваться различные направления, и фокус исследований сместился. В 1960-х годах методы, связанные с ультрапроизведениями, стали популярным инструментом в теории моделей. Одновременно исследователи, такие как Джеймс Акс, изучали теорию моделей первого порядка для различных алгебраических классов, а другие, такие как Х. Джером Кейслер, расширяли понятия и результаты теории моделей первого порядка на другие логические системы. Затем, вдохновленный проблемой Морли, Шейла разработал теорию стабильности. Его работы по стабильности изменили облик теории моделей, породив совершенно новый класс концепций. Это известно как парадигмальный сдвиг. В последующие десятилетия стало ясно, что полученная иерархия стабильности тесно связана с геометрией множеств, определяемых в этих моделях, что привело к возникновению поддисциплины, известной как теория геометрической стабильности. Примером влиятельного доказательства в геометрической теории моделей является доказательство Хрушовского гипотезы Морделла — Ланга для полей функций.

Теория конечных моделей

Теория конечных моделей, фокусирующаяся на конечных структурах, существенно отличается от изучения бесконечных структур как по рассматриваемым задачам, так и по применяемым методам. В частности, многие ключевые результаты классической теории моделей перестают выполняться при ограничении конечными структурами. К ним относятся теорема о компактности, теорема о полноте Гёделя и метод ультрапроизведений для логики первого порядка. На стыке теории конечных и бесконечных моделей находятся алгоритмическая (или вычислимая) теория моделей и изучение 0-1 законов, где бесконечные модели обобщенной теории класса структур дают информацию о распределении конечных моделей. Важнейшими областями применения теории конечных моделей являются теория описательной сложности, теория баз данных и теория формальных языков.

Теория множеств

Любая теория множеств (которая выражается на счетном языке), если она непротиворечива, имеет счетную модель; это известно как парадокс Сколема, поскольку в теории множеств существуют предложения, постулирующие существование несчетных множеств, и тем не менее эти предложения верны в нашей счетной модели. В частности, доказательство независимости гипотезы континуума требует рассмотрения множеств в моделях, которые кажутся несчетными при взгляде изнутри модели, но счетны для наблюдателя извне. Модельно-теоретический подход оказался полезным в теории множеств; например, в работе Курта Гёделя над конструктивной вселенной, которая, вместе с методом forcing, разработанным Полом Коэном, позволяет доказать (снова философски интересную) независимость аксиомы выбора и гипотезы континуума от остальных аксиом теории множеств. В противоположном направлении, сама теория моделей формализуется в теории множеств Цермело — Френкеля. Например, развитие основ теории моделей (таких как теорема о компактности) опирается на аксиому выбора и, фактически, эквивалентно теореме о булевых простых идеалах в теории множеств Цермело — Френкеля без аксиомы выбора. Другие результаты в теории моделей зависят от аксиом теории множеств, выходящих за рамки стандартной системы ZFC. Например, если гипотеза континуума верна, то каждая счетная модель имеет ультрастепень, которая насыщена (в своей собственной кардинальности). Аналогично, если обобщенная гипотеза континуума верна, то каждая модель имеет насыщенное элементарное расширение. Ни один из этих результатов не доказуем только в ZFC. Наконец, некоторые вопросы, возникающие в теории моделей (например, компактность для бесконечномерных логик), оказались эквивалентными аксиомам о больших кардиналах.

Бесплатные онлайн тексты

Ходжес, Уилфрид, Теория моделей. Стэнфордская энциклопедия философии, под ред. Э. Зальты. Ходжес, Уилфрид, Теория моделей первого порядка. Стэнфордская энциклопедия философии, под ред. Э. Зальты. Симмонс, Гарольд (2004), Введение в классическую теорию моделей. Заметки вводного курса для аспирантов (с упражнениями). J. Barwise и S. Feferman (ред.), Модельно-теоретическая логика, Перспективы математической логики, том 8, Нью-Йорк: Springer Verlag, 1985.