Введение
Граф с обозначенными краями группы Граф с усилением - это график, чьи края обозначены "инвертируемо" или "ориентально" элементами группы G. Это означает, что если краю e в одном направлении нанесена обозначение g (элемент группы), то в другом направлении нанесена обозначение g −1. Таким образом, функция φ имеет свойство, что она определяется по-разному, но не независимо, на двух различных ориентациях или направлениях края e. Группа G называется группой усиления, φ - это функция усиления, а значение φ (e) - это усиление e (в некотором указанном направлении). График с нажимом является обобщением графа с подписью, где группа с нажимом G имеет только два элемента. См. Заславский (1989, 1991). Повышение не следует путать с весом на краю, значение которого не зависит от ориентации края.
A gain graph is a graph whose edges are labelled "invertibly", or "orientably", by elements of a group G. This means that, if an edge e in one direction has label g (a group element), then in the other direction it has label g −1. The label function φ therefore has the property that it is defined differently, but not independently, on the two different orientations, or directions, of an edge e. The group G is called the gain group, φ is the gain function, and the value φ(e) is the gain of e (in some indicated direction). A gain graph is a generalization of a signed graph, where the gain group G has only two elements. See Zaslavsky (1989, 1991). A gain should not be confused with a weight on an edge, whose value is independent of the orientation of the edge.
Приложения
Некоторые причины, по которым следует интересоваться графами усиления, - это их связь с теорией сетевого потока в комбинаторной оптимизации, геометрией и физикой. Математика сети с приростом, или обобщенной сети, связана с матроидом рамы графа прироста. Предположим, что у нас есть некоторые гиперплоски в R n, данные уравнениями формы xj = g xi Геометрия гиперплоскостей может быть обработана с помощью следующего графика набора: Множество вершин {1,2, ,n}. Для каждой гиперплоскости существует край ij с усилением g (в направлении от i до j) с уравнением xj = g xi Эти гиперплоскости обрабатываются через матроид каркаса графа усиления (Zaslavsky 2003). Или, предположим, у нас есть гиперплоски, данные уравнениями формы xj = xi + g. Геометрия этих гиперплосков может быть обработана с помощью графа сбора с той же вершиной и края ij с сбором g (в направлении от i до j) для каждой гиперплоски с уравнением xj = xi + g. Эти гиперплоски изучаются через матроид подъема графа сборов (Zaslavsky 2003). Предположим, что группа прибыли имеет действие на множестве Q. Присвоение элемента si Q каждой вершине дает состояние графика прибыли. Край удовлетворен, если для каждого края ij с усилением g (в направлении от i до j) уравнение sj = si g удовлетворено; в противном случае оно не выполнено. Состояние удовлетворено, если удовлетворены все края. В физике это соответствует основному состоянию (состоянию наименьшей энергии), если такое состояние существует. Важной проблемой в физике, особенно в теории спиновых очков, является определение состояния с наименьшим количеством раздраженных краев.
Связанные понятия
Графы набора, используемые в теории топологических графов как средство для построения графов в поверхностях, известны как "графы напряжения" (Gross 1974; Gross and Tucker 1977). Термин "граф с увеличением" более распространен в других контекстах, например, в теории предвзятых графов и теории матроидов. Также используется термин "групповой граф", но он неоднозначен, поскольку "групповые ярлыки" могут быть и были рассматриваться как веса. Поскольку большая часть теории графов с ускорением является особым случаем ускоренного графа (а большая часть теории ускоренного графа является обобщением ускоренного графа), читатель должен обратиться к статье о ускоренном графе для получения дополнительной информации и примеров.