Введение

Метод адаптивного Симпсона, также называемый правилом адаптивного Симпсона, - это метод численной интеграции, предложенный Г. Ф. Кунциром в 1962 году. Это, вероятно, первый рекурсивный адаптивный алгоритм для численной интеграции, появившийся в печати, хотя более современные адаптивные методы, основанные на квадратуре Гаусса-Кронрода и квадратуре Кленшоу-Куртиса, теперь обычно предпочтительнее. Метод адаптивного Симпсона использует оценку ошибки, которую мы получаем от расчета определенного интеграла с использованием правила Симпсона. Если ошибка превышает толерантность, указанную пользователем, алгоритм требует разделения интервала интеграции на два и применения адаптивного метода Симпсона к каждому подинтервалу рекурсивным образом. Этот метод обычно намного эффективнее, чем правило композитного Симпсона, поскольку он использует меньше оценок функций в местах, где функция хорошо приближена к кубической функции. Правило Симпсона - это правило интерполяторной квадратуры, которое является точным, когда интегранд является многочленом третьей степени или ниже. Используя экстраполяцию Ричардсона, более точная оценка Симпсона для шести значений функции сочетается с менее точной оценкой для трех значений функции путем применения коррекции. Таким образом, полученная оценка точна для многочленов пятой степени или меньше.

Определение терминов

Критерием для определения, когда прекратить подразделение интервала, предложенным J. N. Lyness, является где интервал с средней точкой , в то время как , , и данные правила Симпсона являются оценками , , и соответственно, и является желаемой максимальной допустимостью ошибок для интервала. Запись.

Процедура

Для выполнения адаптивного метода Симпсона выполните следующее: если , добавьте и к сумме правил Симпсона, которые используются для приближения интеграла, в противном случае выполните ту же операцию с и вместо .

Связанные алгоритмы

Хенриксон (1961) является нерекурсивным вариантом правила Симпсона. Он "адаптируется" путем интеграции слева направо и регулирования ширины интервала по мере необходимости. Алгоритм 1962 года, который оказался слишком осторожным, использует для завершения, поэтому вместо этого используется улучшение 1963 года. Линнесс (1969) - почти современный интегратор. Созданный как набор из четырех модификаций МакКимана 1962 года, он заменяет трисекцию бисекцией для снижения вычислительных затрат (Модификации 1 + 2, совпадающие с интегратором Кунцира) и улучшает оценки ошибок МакКимана 1962/63 года до пятого порядка (Модификация 3), таким образом, связанные с правилом Буля и методом Ромберга. Изменение 4, не реализованное здесь, содержит положения об ошибке окружения, которая позволяет поднять ε до минимального допустимого уровня точности и вернуть новую ошибку.