Введение
Метод оценки новых данных на основе известных точек данных
В математической области численного анализа интерполяция – это тип оценки, метод построения (определения) новых точек данных на основе дискретного набора известных точек данных. В инженерной практике и науке часто имеется ряд точек данных, полученных в результате измерений или экспериментов, которые представляют значения функции для ограниченного числа значений независимой переменной. Часто возникает необходимость в интерполяции, то есть в оценке значения функции для промежуточного значения независимой переменной. Тесно связанной задачей является аппроксимация сложной функции более простой функцией. Предположим, формула для некоторой функции известна, но слишком сложна для эффективного вычисления. Несколько точек данных исходной функции можно интерполировать для получения более простой функции, которая всё ещё достаточно близка к исходной. Получаемый выигрыш в простоте может компенсировать погрешность интерполяции и обеспечить более высокую производительность в вычислительном процессе.
Постоянная интерполяция по частям
Самый простой метод интерполяции — найти ближайшее значение данных и присвоить ему то же значение. В простых задачах этот метод вряд ли будет применяться, поскольку линейная интерполяция (см. ниже) почти так же проста, но в многомерной интерполяции в пространствах высокой размерности он может оказаться предпочтительным благодаря своей скорости и простоте.
Интерполяция многочлена
Полиномиальная интерполяция является обобщением линейной интерполяции. Следует отметить, что линейный интерполянт представляет собой линейную функцию. Теперь мы заменим этот интерполянт полиномом более высокой степени. Рассмотрим еще раз задачу, представленную выше. Следующий полином шестой степени проходит через все семь точек:
Подставляя x = 2.5, мы находим, что f(2.5) = ~0.59678. В общем случае, если у нас есть n точек данных, существует ровно один полином степени не выше n−1, проходящий через все точки данных. Ошибка интерполяции пропорциональна расстоянию между точками данных, возведенному в степень n. Кроме того, интерполянт является полиномом и, следовательно, бесконечно дифференцируем. Таким образом, мы видим, что полиномиальная интерполяция преодолевает большинство проблем линейной интерполяции. Однако полиномиальная интерполяция также имеет некоторые недостатки. Вычисление интерполирующего полинома является вычислительно затратным (см. вычислительную сложность) по сравнению с линейной интерполяцией. Кроме того, полиномиальная интерполяция может проявлять колебательные артефакты, особенно в конечных точках (см. феномен Рунге). Полиномиальная интерполяция может оценивать локальные максимумы и минимумы, которые находятся за пределами диапазона исходных данных, в отличие от линейной интерполяции. Например, интерполянт, приведенный выше, имеет локальный максимум при x ≈ 1.566, f(x) ≈ 1.003, и локальный минимум при x ≈ 4.708, f(x) ≈ −1.003. Однако эти максимумы и минимумы могут выходить за теоретические пределы функции; например, функция, которая всегда положительна, может иметь интерполянт с отрицательными значениями, и, следовательно, ее обратная функция будет содержать ложные вертикальные асимптоты. В более общем плане, форма полученной кривой, особенно при очень высоких или низких значениях независимой переменной, может противоречить здравому смыслу, то есть тому, что известно об экспериментальной системе, которая сгенерировала точки данных. Эти недостатки можно уменьшить, используя сплайн-интерполяцию или ограничиваясь полиномами Чебышева.
Интерполяция шпаллы
Линейная интерполяция использует линейную функцию для каждого из интервалов [xk, xk+1]. Сплайн-интерполяция использует полиномы низкой степени на каждом из интервалов и выбирает кусочки полиномов таким образом, чтобы они плавно соединялись. Полученная функция называется сплайном. Например, естественный кубический сплайн является кусочно-кубическим и дважды непрерывно дифференцируемым. Кроме того, его вторая производная равна нулю в конечных точках. Естественный кубический сплайн, интерполирующий точки в таблице выше, задается следующим образом.
В этом случае мы получаем f(2.5) = 0.5972. Как и полиномиальная интерполяция, сплайн-интерполяция дает меньшую ошибку, чем линейная интерполяция, при этом интерполянт более гладкий и проще в вычислении, чем полиномы высокой степени, используемые в полиномиальной интерполяции. Однако глобальный характер базисных функций приводит к плохой обусловленности. Это полностью устраняется использованием сплайнов с компактным носителем, таких как реализовано в Boost.Math и обсуждается в работе Кресса.
Миметическая интерполяция
В зависимости от базовой дискретизации полей могут потребоваться различные интерполянты. В отличие от других методов интерполяции, которые оценивают значения функций в целевых точках, миметическая интерполяция вычисляет интеграл поля на целевых линиях, площадях или объемах, в зависимости от типа поля (скалярное, векторное, псевдовекторное или псевдоскалярное). Ключевой особенностью миметической интерполяции является то, что выполняются тождества векторного анализа, включая теорему Стокса и теорему о расходимости. В результате миметическая интерполяция обеспечивает сохранение линейных, поверхностных и объемных интегралов. Сохранение линейных интегралов может быть полезно, например, при интерполяции электрического поля, поскольку линейный интеграл определяет разность электрических потенциалов в конечных точках пути интегрирования. Миметическая интерполяция гарантирует, что ошибка вычисления линейного интеграла электрического поля будет равна ошибке, полученной при интерполяции потенциала в конечных точках пути интегрирования, независимо от длины этого пути. Линейная, билинейная и трилинейная интерполяция также рассматриваются как миметические, даже если сохраняются значения поля, а не сам интеграл поля. Наряду с линейной интерполяцией, интерполяция с весовыми коэффициентами, зависящими от площади, может считаться одним из первых разработанных методов миметической интерполяции.
Приближение функции
Интерполяция — распространенный способ аппроксимации функций. Задана функция с набором точек, можно построить функцию, такую что для (то есть, функция интерполирует в этих точках). В общем случае, интерполянт не обязательно является хорошей аппроксимацией, но существуют известные и часто разумные условия, при которых это происходит. Например, если (четырежды непрерывно дифференцируема), то кубическая сплайн-интерполяция имеет погрешность, ограниченную выражением, где и — константа.
Процессы Гаусса
Гауссов процесс — мощный нелинейный инструмент интерполяции. Многие популярные инструменты интерполяции фактически эквивалентны определенным гауссовским процессам. Гауссовские процессы могут использоваться не только для построения интерполянта, точно проходящего через заданные точки данных, но и для регрессии, то есть для подгонки кривой к зашумленным данным. В сообществе геостатистиков регрессия гауссовского процесса также известна как кригинг.
Другие формы
Другие формы интерполяции могут быть построены путем выбора иного класса интерполянтов. Например, рациональная интерполяция – это интерполяция рациональными функциями с использованием аппроксимантов Паде, а тригонометрическая интерполяция – интерполяция тригонометрическими полиномами с использованием рядов Фурье. Другой вариант – использование вейвлетов. Формула интерполяции Уиттакера — Шеннона применима, если число точек данных бесконечно или если функция, которую необходимо интерполировать, обладает компактным носителем. Иногда нам известны не только значения функции, которую мы хотим интерполировать, в определенных точках, но и её производная. Это приводит к задачам интерполяции Гермита. Если каждая точка данных сама является функцией, то полезно рассматривать задачу интерполяции как задачу частичной адвекции между каждой парой точек данных. Эта идея приводит к задаче интерполяции смещением, используемой в транспортной теории.
В более высоких измерениях
Многомерная интерполяция — это интерполяция функций более чем от одной переменной. Методы включают билинейную интерполяцию и бикубическую интерполяцию в двух измерениях, а также трилинейную интерполяцию в трех измерениях. Они могут применяться к данным, представленным на сетке, или к несетчатым данным. Миметическая интерполяция обобщается для -мерных пространств, где .
В цифровой обработке сигналов
В области цифровой обработки сигналов термин "интерполяция" обозначает процесс преобразования дискретизированного цифрового сигнала (например, дискретизированного аудиосигнала) в сигнал с более высокой частотой дискретизации (Upsampling) с использованием различных методов цифровой фильтрации (например, свертки с импульсным сигналом, ограниченным по частоте). В данном применении существует особое требование к сохранению гармонического состава исходного сигнала без возникновения ложных гармоник выше исходного предела Найквиста (то есть выше fs/2 исходной частоты дискретизации). Раннее и достаточно элементарное обсуждение этой темы можно найти в книге Рабинера и Крохиера "Многоскоростная цифровая обработка сигналов".
Связанные понятия
Термин экстраполяция используется для определения значений за пределами диапазона известных данных. В задачах аппроксимации кривой снимается требование, чтобы интерполянт точно проходил через известные точки данных. Вместо этого требуется лишь максимально близко подойти к этим точкам (с учетом других ограничений). Для этого необходимо параметризовать возможные интерполянты и иметь способ измерения ошибки. В простейшем случае это приводит к методу наименьших квадратов. Теория аппроксимации изучает, как найти наилучшую аппроксимацию заданной функции другой функцией из заранее определенного класса, и оценить качество этой аппроксимации. Это позволяет определить границы точности, с которой интерполянт может аппроксимировать неизвестную функцию.
Обобщение
Если рассматривать как переменную в топологическом пространстве, а функцию, отображающую в пространство Банаха, то задача рассматривается как "интерполяция операторов". Классическими результатами в области интерполяции операторов являются теорема Риеша — Торина и теорема Марцинкевича. Существует также множество других последующих результатов.