Введение

Чувствительность функции к изменению аргумента

В численном анализе число обусловленности функции измеряет, насколько может измениться выходное значение функции при небольшом изменении входного аргумента. Это используется для оценки чувствительности функции к изменениям или ошибкам во входных данных, а также для определения, насколько ошибка во входных данных повлияет на ошибку в выходных данных. Зачастую решается обратная задача: требуется найти x, и, следовательно, необходимо использовать число обусловленности (локальной) обратной задачи. Число обусловленности выводится из теории распространения неопределенностей и формально определяется как значение асимптотического наихудшего случая относительного изменения выходных данных при относительном изменении входных данных. Под "функцией" понимается решение задачи, а под "аргументами" – данные в задаче. Число обусловленности часто применяется к задачам линейной алгебры, где вычисление производной прямолинейно, но ошибка может иметь множество направлений, поэтому оно определяется на основе геометрии матрицы. В более общем случае числа обусловленности могут быть определены для нелинейных функций нескольких переменных. Задача с низким числом обусловленности считается хорошо обусловленной, а задача с высоким числом обусловленности – плохо обусловленной. Если говорить простым языком, плохо обусловленная задача – это задача, при которой небольшое изменение входных данных (независимых переменных) приводит к значительному изменению ответа (зависимой переменной). Это означает, что точное решение/ответ уравнения становится трудно найти. Число обусловленности является свойством самой задачи. Вместе с задачей используется множество алгоритмов для ее решения, то есть для вычисления решения. Некоторые алгоритмы обладают свойством, называемым обратной устойчивостью; как правило, от обратного устойчивого алгоритма можно ожидать точного решения хорошо обусловленных задач. Учебники по численному анализу приводят формулы для чисел обусловленности задач и идентифицируют известные обратные устойчивые алгоритмы. Как эмпирическое правило, если число обусловленности , то можно потерять до значащих цифр точности, помимо той, что теряется из-за численного метода в результате потери точности при арифметических операциях. Однако число обусловленности не дает точного значения максимальной возможной неточности в алгоритме. Оно обычно лишь ограничивает ее оценкой (значение которой зависит от выбора нормы для измерения неточности).

Нелинейный

Числа обусловленности также могут быть определены для нелинейных функций и вычислены с использованием математического анализа. Число обусловленности меняется в зависимости от точки; в некоторых случаях можно использовать максимальное (или супремум) число обусловленности по области определения функции или области рассматриваемой задачи в качестве общего числа обусловленности, а в других случаях число обусловленности в конкретной точке представляет больший интерес.