Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Вспомогательное поле Монте-Карло - это метод, который позволяет рассчитать, с помощью методов Монте-Карло, средние значения операторов во многих квантово-механических задачах (Blankenbecler 1981, Ceperley 1977) или классических задачах (Baeurle 2004, Baeurle 2003, Baeurle 2002a).
Auxiliary field Monte Carlo is a method that allows the calculation, by use of Monte Carlo techniques, of averages of operators in many body quantum mechanical (Blankenbecler 1981, Ceperley 1977) or classical problems (Baeurle 2004, Baeurle 2003, Baeurle 2002a).
Процедура перевеса и проблема с числовым знаком
Отличительным компонентом "помощного поля Монте-Карло" является тот факт, что взаимодействия декоплируются с помощью применения преобразования Хаббарда-Стратоновича, которое позволяет переформулировать многие теории тел с точки зрения скалярного представления вспомогательного поля. Это сводит проблему множества тел к вычислению суммы или интеграла по всем возможным конфигурациям вспомогательного поля. В этом смысле есть компромисс: вместо того, чтобы иметь дело с одной очень сложной проблемой многих тел, человек сталкивается с вычислением бесконечного числа простых проблем внешнего поля. Именно здесь, как и в других связанных методах, Монте-Карло вступает в игру под видом выборки важности: большая сумма над вспомогательными конфигурациями поля выполняется путем выборки над наиболее важными, с определенной вероятностью. В классической статистической физике эта вероятность обычно дается (положительным полуопределенным) фактором Болцмана. Подобные факторы возникают также в квантовых теориях поля; однако они могут иметь неопределенный знак (особенно в случае с фермионами) или даже быть сложными по оценке, что исключает их прямую интерпретацию как вероятности. В этих случаях необходимо прибегнуть к процедуре перевеса (т.е. интерпретировать абсолютное значение как вероятность и умножить знак или фазу на наблюдаемый) для получения строго положительного референтного распределения, подходящего для выборки Монте-Карло. Однако хорошо известно, что в определенных диапазонах параметров рассматриваемой модели осцилляционный характер функции веса может привести к плохой статистической конвергенции процедуры численной интеграции. Эта проблема известна как проблема числовых знаков и может быть уменьшена с помощью аналитических и числовых процедур ускорения конвергенции (Baeurle 2002, Baeurle 2003a).
The distinctive ingredient of "auxiliary field Monte Carlo" is the fact that the interactions are decoupled by means of the application of the Hubbard–Stratonovich transformation, which permits the reformulation of many body theory in terms of a scalar auxiliary field representation. This reduces the many body problem to the calculation of a sum or integral over all possible auxiliary field configurations. In this sense, there is a trade off: instead of dealing with one very complicated many body problem, one faces the calculation of an infinite number of simple external field problems. It is here, as in other related methods, that Monte Carlo enters the game in the guise of importance sampling: the large sum over auxiliary field configurations is performed by sampling over the most important ones, with a certain probability. In classical statistical physics, this probability is usually given by the (positive semi definite) Boltzmann factor. Similar factors arise also in quantum field theories; however, these can have indefinite sign (especially in the case of Fermions) or even be complex valued, which precludes their direct interpretation as probabilities. In these cases, one has to resort to a reweighting procedure (i. e., interpret the absolute value as probability and multiply the sign or phase to the observable) to get a strictly positive reference distribution suitable for Monte Carlo sampling. However, it is well known that, in specific parameter ranges of the model under consideration, the oscillatory nature of the weight function can lead to a bad statistical convergence of the numerical integration procedure. The problem is known as the numerical sign problem and can be alleviated with analytical and numerical convergence acceleration procedures (Baeurle 2002, Baeurle 2003a).