Введение
В статистике, особенно в анализе дисперсии и линейной регрессии, контраст - это линейная комбинация переменных (параметров или статистики), коэффициенты которых складываются до нуля, что позволяет сравнивать различные методы лечения.
Определения
Пусть будет множеством переменных, параметров или статистики, и будет известными константами. Количество - это линейная комбинация. Он называется контрастом, если Кроме того, два контраста, и , являются ортогональными, если .
Контрастные набор
Ортогональные контрасты - это набор контрастов, в которых для любой отдельной пары сумма кратных произведений коэффициентов равна нулю (предположим, что размеры выборки равны). Хотя существует потенциально бесконечное множество ортогональных контрастов, в пределах любого данного множества всегда будет максимум точно k 1 возможных ортогональных контрастов (где k - количество доступных сред группы). Ортонормальные контрасты - это ортогональные контрасты, которые удовлетворяют дополнительному условию, что для каждого контраста сумма квадратов коэффициентов составляет один. В форме уравнения , где L - взвешенная сумма сред группы, коэффициенты cj представляют собой присвоенные веса сред (эти должны быть равны 0 для ортогональных контрастов), а j представляет собой среднюю группу. Коэффициенты могут быть положительными или отрицательными, а также дробными или целыми числами, в зависимости от сравнения интереса. Линейные контрасты очень полезны и могут быть использованы для проверки сложных гипотез при использовании в сочетании с ANOVA или множественной регрессией. По сути, каждый контраст определяет и проверяет определенную модель различий между средствами. Простой (не обязательно ортогональный) контраст - это разница между двумя средними значениями. Более сложный контраст может проверять различия между несколькими средствами (например, с четырьмя средними значениями, присваивая коэффициенты 3, 1, +1 и +3), или проверять разницу между одной средней и комбинированной средней нескольких групп (например, если у вас есть четыре средних значения, присваивать коэффициенты 3, +1, +1 и +1) или проверять разницу между комбинированным средним значением нескольких групп и комбинированным средним значением нескольких других групп (т.е. с четырьмя средними значениями, присваивать коэффициенты 1, 1, +1 и +1). Если два контраста ортогональны, оценки, созданные с использованием таких контрастов, будут некорелированными. Если имеются ортогональные контрасты, можно обобщить результаты статистического анализа в виде простой таблицы анализа дисперсии, которая содержит результаты различных статистических данных о испытаниях, относящихся к различным контрастам, каждый из которых является статистически независимым. Линейные контрасты можно легко преобразовать в суммы квадратов. SScontrast = , с 1 степенью свободы, где n представляет собой количество наблюдений в группе. Если контрасты ортогональны, то сумма контрастов SS = SStreatment. Для проверки значимости контраста требуется вычисление SScontrast.
, where L is the weighted sum of group means, the cj coefficients represent the assigned weights of the means (these must sum to 0 for orthogonal contrasts), and j represents the group means. Coefficients can be positive or negative, and fractions or whole numbers, depending on the comparison of interest. Linear contrasts are very useful and can be used to test complex hypotheses when used in conjunction with ANOVA or multiple regression. In essence, each contrast defines and tests for a particular pattern of differences among the means. A simple (not necessarily orthogonal) contrast is the difference between two means. A more complex contrast can test differences among several means (ex. with four means, assigning coefficients of –3, –1, +1, and +3), or test the difference between a single mean and the combined mean of several groups (e. g., if you have four means assign coefficients of –3, +1, +1, and +1) or test the difference between the combined mean of several groups and the combined mean of several other groups (i. e., with four means, assign coefficients of –1, –1, +1, and +1). If two contrasts are orthogonal, estimates created by using such contrasts will be uncorrelated. If orthogonal contrasts are available, it is possible to summarize the results of a statistical analysis in the form of a simple analysis of variance table, in such a way that it contains the results for different test statistics relating to different contrasts, each of which are statistically independent. Linear contrasts can be easily converted into sums of squares. SScontrast = , with 1 degree of freedom, where n represents the number of observations per group. If the contrasts are orthogonal, the sum of the SScontrasts = SStreatment. Testing the significance of a contrast requires the computation of SScontrast.
Значение испытаний
SScontrast также является средним квадратом, потому что все контрасты имеют 1 степень свободы. Разделение на дает статистику F с 1 и степенями свободы, статистическую значимость Fcontrast можно определить путем сравнения полученной статистики F с критическим значением F с теми же степенями свободы.