Введение

В оптике и в распространении волн в целом дисперсия – это явление, при котором фазовая скорость волны зависит от её частоты; иногда термин хроматическая дисперсия используется для конкретизации, особенно в оптике. Среда, обладающая этим свойством, называется дисперсионной средой (множественное число – дисперсионные среды). Хотя этот термин чаще всего используется в оптике для описания света и других электромагнитных волн, дисперсия в том же смысле применима к любому виду волнового движения, например, к акустической дисперсии в случае звуковых и сейсмических волн, а также к гравитационным волнам (океанским волнам). В оптике дисперсия является характеристикой телекоммуникационных сигналов, распространяющихся по линиям передачи (например, микроволн в коаксиальном кабеле), или световых импульсов в оптических волокнах. Важным и хорошо известным следствием дисперсии в оптике является изменение угла преломления различных цветов света, наблюдаемое в спектре, создаваемом дисперсионной призмой, и в хроматической аберрации линз. При проектировании сложных ахроматических линз, в которых хроматическая аберрация существенно уменьшена, используется количественная оценка дисперсии стекла, определяемая числом Аббе V, при этом более низкие значения числа Аббе соответствуют большей дисперсии в видимом спектре. В некоторых областях применения, таких как телекоммуникации, абсолютная фаза волны часто не имеет значения, а важна лишь скорость распространения волновых пакетов или "импульсов"; в этом случае интересуют только изменения групповой скорости в зависимости от частоты, так называемая дисперсия групповой скорости. Все распространенные среды передачи также различаются по затуханию (нормализованному к длине передачи) в зависимости от частоты, что приводит к искажениям, вызванным затуханием; это не дисперсия, хотя иногда отражения от близко расположенных границ импеданса (например, от пережатых участков кабеля) могут вызывать искажение сигнала, которое дополнительно усугубляет неравномерность времени прохождения сигнала в полосе частот.

Примеры

Наиболее известный пример дисперсии — это, пожалуй, радуга, в которой дисперсия приводит к пространственному разделению белого света на компоненты с разными длинами волн (разными цветами). Однако дисперсия оказывает влияние и во многих других ситуациях: например, дисперсия групповой скорости вызывает расширение импульсов в оптических волокнах, ухудшая качество сигнала на больших расстояниях; также взаимная компенсация дисперсии групповой скорости и нелинейных эффектов приводит к возникновению солитонных волн.

Рассеивание материала и волновода

Чаще всего под хроматической дисперсией понимают дисперсию материала, то есть изменение показателя преломления в зависимости от оптической частоты. Однако в волноводе также возникает дисперсия волновода, при которой фазовая скорость волны в структуре зависит от её частоты исключительно из-за геометрии структуры. В более общем смысле, "волноводная" дисперсия может возникать для волн, распространяющихся через любую неоднородную структуру (например, фотонный кристалл), независимо от того, локализованы ли волны в какой-либо области. В волноводе обычно присутствуют оба типа дисперсии, хотя они не складываются напрямую. Например, в волоконной оптике дисперсия материала и дисперсия волновода могут эффективно компенсировать друг друга, приводя к нулевой дисперсионной длине волны, что важно для высокоскоростной волоконно-оптической связи.

Дисперсия по группе скоростей

Помимо простого описания изменения фазовой скорости в зависимости от длины волны, более серьезным следствием дисперсии во многих приложениях является групповая дисперсия скорости (GVD). В то время как фазовая скорость v определяется как v = c/n, это описывает лишь одну частотную компоненту. Когда различные частотные компоненты объединяются, например, при рассмотрении сигнала или импульса, часто больший интерес представляет групповая скорость, которая описывает скорость распространения импульса или информации, наложенной на волну (модуляции). В сопровождающей анимации видно, что сама волна (оранжево-коричневая) движется с фазовой скоростью, значительно превышающей скорость огибающей (черная), которая соответствует групповой скорости. Этот импульс может быть, например, сигналом связи, и его информация распространяется только со скоростью групповой скорости, даже если он состоит из волновых фронтов, движущихся с большей скоростью (фазовая скорость). Групповую скорость можно вычислить по кривой показателя преломления n(ω) или более непосредственно по волновому числу k = ωn/c, где ω – радиальная частота, ω = 2πf. В то время как одно из выражений для фазовой скорости – vp = ω/k, групповую скорость можно выразить с помощью производной: vg = dω/dk. Или, в терминах фазовой скорости vp,

Когда дисперсия присутствует, не только групповая скорость не равна фазовой скорости, но и сама она обычно изменяется в зависимости от длины волны. Это называется групповой дисперсией скорости и приводит к уширению короткого светового импульса, поскольку различные частотные компоненты в импульсе распространяются с разными скоростями. Дисперсия групповой скорости количественно определяется как вторая производная волнового числа по угловой частоте, что дает дисперсию групповой скорости = d²k/dω². Если световой импульс распространяется через материал с положительной групповой дисперсией скорости, то компоненты с более короткой длиной волны движутся медленнее, чем компоненты с большей длиной волны. Следовательно, импульс приобретает положительный чирп, или восходящий чирп, с увеличением частоты во времени. С другой стороны, если импульс проходит через материал с отрицательной групповой дисперсией скорости, компоненты с более короткой длиной волны движутся быстрее, чем компоненты с большей длиной волны, и импульс приобретает отрицательный чирп, или нисходящий чирп, с уменьшением частоты во времени. Примером отрицательного чирпа в акустической области может служить приближающийся поезд, наезжающий на неровности на сварном пути. Звук, создаваемый самим поездом, является импульсным и распространяется по металлическим рельсам гораздо быстрее, чем по воздуху, поэтому поезд можно услышать задолго до его прибытия. Однако издалека он не воспринимается как импульс, а создает характерный нисходящий чирп на фоне реверберации, вызванной сложностью вибрационных мод пути. Групповую дисперсию скорости можно услышать по тому, что громкость звука остается различимой на удивление долгое время – до нескольких секунд.

Контроль дисперсии

Результат GVD, будь то отрицательный или положительный, в конечном счете проявляется во временном расширении импульса. Это делает управление дисперсией чрезвычайно важным в оптических системах связи на основе оптических волокон, поскольку при слишком высокой дисперсии группа импульсов, представляющих поток битов, будет расширяться во времени и сливаться, делая поток битов неразличимым. Это ограничивает длину волокна, по которому сигнал может быть передан без регенерации. Одним из возможных решений этой проблемы является передача сигналов по оптическому волокну на длине волны, при которой GVD равна нулю (например, около 1,3–1,5 мкм в кремниевых волокнах), чтобы импульсы на этой длине волны испытывали минимальное расширение из-за дисперсии. Однако на практике этот подход вызывает больше проблем, чем решает, поскольку нулевая GVD недопустимо усиливает другие нелинейные эффекты (такие как смешивание четырех волн). Другой возможный вариант – использование солитонных импульсов в режиме отрицательной дисперсии, формы оптического импульса, использующей нелинейный оптический эффект для самоподдержания своей формы. Однако солитоны имеют практическую проблему, заключающуюся в том, что для достижения необходимой силы нелинейного эффекта требуется поддерживать определенный уровень мощности в импульсе. Вместо этого в настоящее время на практике используется компенсация дисперсии, обычно путем согласования волокна с другим волокном с дисперсией противоположного знака, чтобы эффекты дисперсии компенсировались; такая компенсация в конечном итоге ограничена нелинейными эффектами, такими как самофазовая модуляция, которые взаимодействуют с дисперсией, затрудняя ее обращение. Управление дисперсией также важно в лазерах, генерирующих короткие импульсы. Общая дисперсия оптического резонатора является основным фактором, определяющим длительность испускаемых лазером импульсов. Пара призм может быть расположена для создания чистой отрицательной дисперсии, которая может быть использована для компенсации обычно положительной дисперсии лазерной среды. Дифракционные решетки также могут использоваться для создания дисперсионных эффектов; они часто используются в системах лазерных усилителей высокой мощности. Недавно была разработана альтернатива призмам и решеткам – зеркала с переменным коэффициентом отражения (chirped mirrors). Эти диэлектрические зеркала имеют покрытие, при котором разные длины волн имеют разную глубину проникновения и, следовательно, разную групповую задержку. Слои покрытия могут быть настроены для достижения чистой отрицательной дисперсии.

Дисперсия высшего порядка на широких полосах

Когда в одном волновом пакете присутствует широкий диапазон частот (большая полоса пропускания), например, в ультракоротком импульсе, импульсе с частотной модуляцией или других формах широкополосной передачи, приближение дисперсии постоянной величиной на всей полосе пропускания может быть неточным, и для вычисления таких эффектов, как уширение импульса, требуются более сложные вычисления. В частности, параметр дисперсии D, определенный выше, вычисляется на основе только первой производной групповой скорости. Более высокие производные называются дисперсией высшего порядка. Эти члены представляют собой разложение в ряд Тейлора дисперсионной зависимости β(ω) среды или волновода вблизи некоторой конкретной частоты. Их влияние можно рассчитать путем численного вычисления преобразования Фурье формы сигнала, путем интегрирования приближений медленно меняющейся огибающей более высокого порядка, методом раздельных шагов (который может использовать точную дисперсионную зависимость вместо ряда Тейлора) или путем непосредственного моделирования полных уравнений Максвелла, а не приближенного уравнения огибающей.

Пространственная дисперсия

В электромагнетизме и оптике термин "дисперсия" обычно относится к временной или частотной дисперсии. Пространственная дисперсия описывает нелокальный отклик среды на пространственные изменения; это также можно сформулировать как зависимость диэлектрической проницаемости от волнового вектора. Для типичной анизотропной среды пространственная связь между электрическим полем и полем электрического смещения может быть выражена в виде свертки, что также применимо к теории метаматериалов.

В геммологии

+ Значения дисперсии минералов Название минерала Гематит 0,500 Циннабар (HgS) 0,40 синтез. Рутил 0,330 0,190 Рутил (TiO2) 0,280 0,120–0,180 Анатаз (TiO2) 0,213–0,259 Вульфенит 0,203 0,133 Ванадинит 0,202 Фабулит 0,190 0,109 Сфалерит (ZnS) 0,156 0,088 Сера (S) 0,155 Стибиотанталит 0,146 Гоетит (FeO(OH)) 0,14 Брукит (TiO2) 0,131 0,12–1,80 Линобат 0,13 0,075 Цинкит (ZnO) 0,127 синтетический Моиссанит (SiC) 0,104 Касситерит (SnO2) 0,071 0,035 Циркония (ZrO2) 0,060 0,035 Повеллит (CaMoO4) 0,058 Андрадит 0,057 Демантоид 0,057 0,034 Церуссит 0,055 0,033–0,050 Титанит 0,051 0,019–0,038 Бенитоит 0,046 0,026 Ангельсит 0,044 0,025 Алмаз (C) 0,044 0,025 Синтез. Касситерит (SnO2) 0,041 Флинтовое стекло 0,041 Гьяцинт 0,039 Жаргон 0,039 Старлайт 0,039 Шейлит 0,038 0,026 Циркон (ZrSiO4) 0,039 0,022 ГГГ 0,038 0,022 Диоптаз 0,036 0,021 Венаит 0,034 Гипс 0,033 0,008 Алабастр 0,033 Эпидот 0,03 0,012–0,027 Танзанит 0,030 0,011 Тюлит 0,03 0,011 Зоизит 0,03 YAG 0,028 0,015 Списартин 0,027 0,015 Уваровит 0,027 0,014–0,021 Алмандин 0,027 0,013–0,016 Гессонит 0,027 0,013–0,015 Виллемит 0,027 Плеонаст 0,026 Родолит 0,026 Борацит 0,024 0,012 Крилит 0,024 Ставролит 0,023 0,012–0,013 Пироп 0,022 0,013–0,016 Диаспор 0,02 0,012 Гроссуляр 0,020 0,012 Гемиморфит 0,020 0,013 Кианит 0,020 0,011 Перидот 0,020 0,012–0,013 Спинель 0,020 0,011 Везувианит 0,019–0,025 0,014 Ганит 0,019–0,021 Клинозоизит 0,019 0,011–0,014 Лабрадорит 0,019 0,010 Аксинит 0,018–0,020 0,011 Диопсид 0,018–0,020 0,01 Эканит 0,018 0,012 Корунд (Al2O3) 0,018 0,011 Синтез. Корунд 0,018 0,011 Рубин (Al2O3) 0,018 0,011 Сапфир (Al2O3) 0,018 0,011 Корнерупин 0,018 0,010 Синхалит 0,018 0,010 Содалит 0,018 0,009 Родизит 0,018 Хиденит 0,017 0,010 Кунзит 0,017 0,010 Сподумен 0,017 0,010 Турмалин 0,017 0,009–0,011 Кордиерит 0,017 0,009 Данбурит 0,017 0,009 Гердерит 0,017 0,008–0,009 Рубеллит 0,017 0,008–0,009 Акроит 0,017 Дравит 0,017 Эльбаит 0,017 Индиколит 0,017 Лидкоатит 0,017 Скаполит 0,017 Шорл 0,017 Верделит 0,017 Андолузит 0,016 0,009 Барит (BaSO4) 0,016 0,009 Эвклаз 0,016 0,009 Датолит 0,016 Александрит 0,015 0,011 Хризоберилл 0,015 0,011 Родохрозит 0,015 0,010–0,020 Силлиманит 0,015 0,009–0,012 Гамбергит 0,015 0,009–0,010 Пироксмангит 0,015 Синтез. Шейлит 0,015 Смитсонит 0,014–0,031 0,008–0,017 Амблигонит 0,014–0,015 0,008 Аквамарин 0,014 0,009–0,013 Берилл 0,014 0,009–0,013 Изумруд 0,014 0,009–0,013 Гелиодор 0,014 0,009–0,013 Морганит 0,014 0,009–0,013 Бразильский шейлит 0,014 0,008 Целестин 0,014 0,008 Топаз 0,014 0,008 Госхенит 0,014 Апатит 0,013 0,008–0,010 Авентурин 0,013 0,008 Аметист (SiO2) 0,013 0,008 Цитрин 0,013 0,008 Празиолит 0,013 0,008 Кварц (SiO2) 0,013 0,008 Розовый кварц (SiO2) 0,013 0,008 Дымчатый кварц (SiO2) 0,013 0,008 Ангидрит 0,013 Доломит 0,013 Морион 0,013 Полевой шпат 0,012 0,008 Лунный камень 0,012 0,008 Ортоклаз 0,012 0,008 Поллуцит 0,012 0,007 Альбит 0,012 Биттаунит 0,012 Синтез. Изумруд 0,012 Магнезит (MgCO3) 0,012 Санидин 0,012 Солнечный камень 0,012 Синтез. Александрит 0,011 Синтез. Сапфир (Al2O3) 0,011 Фосфофиллит 0,010–0,011 Фенакит 0,01 0,009 Канкринит 0,010 0,008–0,009 Левсит 0,010 0,008 Энстатит 0,010 Обсидиан 0,010 Анортит 0,009–0,010 Актинолит 0,009 Иеремеевит 0,009 Нефелин 0,008–0,009 Апофиллит 0,008 Хауин 0,008 Натролит 0,008 Синтез. Кварц (SiO2) 0,008 Арагонит 0,007–0,012 Аугелит 0,007 Берилонит 0,010 0,007 Стронтианит 0,008–0,028 Кальцит (CaCO3) 0,008–0,017 0,013–0,014 Флюорит (CaF2) 0,007 0,004 Тремолит 0,006–0,007

В визуализации

В фотографических и микроскопических объективах дисперсия вызывает хроматическую аберрацию, из-за которой разные цвета в изображении не фокусируются в одной точке. Для борьбы с этим были разработаны различные методы, такие как использование ахроматов – многоэлементных объективов, состоящих из стекол с разной дисперсией. Они сконструированы таким образом, чтобы хроматические аберрации отдельных элементов компенсировали друг друга.