Введение

Алгоритм для построения линии наилучшего соответствия для двумерного набора данных

В статистике регрессия Деминга, названная в честь У. Эдвардса Деминга, является моделью «ошибок в переменных», которая стремится найти линию наилучшего соответствия для двумерного набора данных. Она отличается от простой линейной регрессии тем, что учитывает ошибки в измерениях как по оси x, так и по оси y. Это частный случай метода наименьших квадратов в общем смысле, который допускает любое количество предикторов и более сложную структуру ошибок. Регрессия Деминга эквивалентна оценке максимального правдоподобия для модели «ошибок в переменных», в которой предполагается, что ошибки для двух переменных независимы и нормально распределены, а отношение их дисперсий, обозначаемое δ, известно. На практике это отношение может быть оценено на основе сопутствующих данных; однако процедура регрессии не учитывает возможные ошибки при оценке этого отношения. Вычисление регрессии Деминга лишь незначительно сложнее, чем вычисление простой линейной регрессии. Большинство статистических программных пакетов, используемых в клинической химии, поддерживают регрессию Деминга. Модель была первоначально предложена исследователями, которые рассматривали случай δ = 1, а затем в более общем виде – с произвольным δ. Однако их идеи оставались в значительной степени незамеченными более 50 лет, пока они не были вновь открыты и впоследствии получили более широкое распространение благодаря работам других ученых. Последняя книга стала настолько популярной в клинической химии и смежных областях, что метод даже стали называть регрессией Деминга в этих областях.

Ортогональная регрессия

Для случая равных дисперсий ошибок, то есть когда , регрессия Деминга становится ортогональной регрессией: она минимизирует сумму квадратов перпендикулярных расстояний от точек данных до линии регрессии. В этом случае обозначим каждое наблюдение как точку в комплексной плоскости (то есть точку, где – мнимая единица). Обозначим как сумму квадратов разностей точек данных от центроида (также обозначенного в комплексных координатах), который является точкой, горизонтальная и вертикальная координаты которой равны средним значениям соответствующих координат точек данных. Тогда:

Если , то любая линия, проходящая через центроид, является линией наилучшего ортогонального соответствия. Если , то ортогональная регрессионная линия проходит через центроид и параллельна вектору от начала координат к . Тригонометрическое представление ортогональной регрессионной линии было дано Кулиджем в 1913 году.

Применение

В случае трех неколлинеарных точек на плоскости, треугольник с этими точками в качестве вершин имеет единственный эллипс Штейнера, касающийся сторон треугольника в их серединах. Большая ось этого эллипса лежит на линии ортогональной регрессии для трех вершин. Количественная оценка внутреннего клеточного шума биологической клетки может быть выполнена при применении регрессии Деминга к наблюдаемому поведению двухрепортерной синтетической биологической схемы. Когда людей просят нарисовать линию линейной регрессии на диаграмме рассеяния, основываясь на визуальной оценке, их ответы оказываются ближе к ортогональной регрессии, чем к регрессии методом наименьших квадратов.

Регрессия Йорка

Регрессия Йорка расширяет регрессию Деминга, позволяя учитывать коррелированные ошибки в переменных x и y.