Введение
Виды математических сплайнов. Безие́вы поверхности — это вид математических сплайнов, используемых в компьютерной графике, системах автоматизированного проектирования и конечно-элементном анализе. Как и безие́вы кривые, безие́ва поверхность определяется набором контрольных точек. Подобно интерполяции во многих отношениях, ключевое отличие состоит в том, что поверхность, как правило, не проходит через контрольные точки; скорее, она "натягивается" к ним, как будто каждая из них оказывает притягивающее воздействие. Они визуально интуитивно понятны и, для многих приложений, математически удобны.
Bézier surfaces are a species of mathematical spline used in computer graphics, computer aided design, and finite element modeling. As with Bézier curves, a Bézier surface is defined by a set of control points. Similar to interpolation in many respects, a key difference is that the surface does not, in general, pass through the central control points; rather, it is "stretched" toward them as though each were an attractive force. They are visually intuitive and, for many applications, mathematically convenient.
История
Поверхности Безье были впервые описаны в 1962 году французским инженером Пьером Безье, который использовал их для разработки кузовов автомобилей. Поверхности Безье могут быть любой степени, но бикубические поверхности Безье обычно предоставляют достаточную степень свободы для большинства задач.
Поверхности Безие в компьютерной графике
Сетчатые поверхности Безье превосходят треугольные сетки в качестве представления гладких поверхностей. Они требуют меньше точек (и, следовательно, меньше памяти) для представления криволинейных поверхностей, их легче обрабатывать и они обладают значительно лучшими свойствами непрерывности. Кроме того, другие распространенные параметрические поверхности, такие как сферы и цилиндры, могут быть хорошо аппроксимированы относительно небольшим количеством кубических участков Безье. Однако, сетки участков Безье сложно напрямую визуализировать. Одна из проблем с участками Безье заключается в сложности вычисления их пересечений с прямыми, что делает их неудобными для трассировки лучей или других прямых геометрических методов, не использующих подразделение или последовательные методы аппроксимации. Их также сложно напрямую комбинировать с алгоритмами перспективной проекции. По этой причине сетки участков Безье, как правило, в конечном итоге преобразуются в сетки плоских треугольников в 3D-графических конвейерах. При высококачественной визуализации подразделение настраивается таким образом, чтобы границы отдельных треугольников были неразличимы. Чтобы избежать эффекта "размытости", мелкие детали обычно добавляются к поверхностям Безье на этом этапе с использованием карт текстур, карт нормалей и других техник пиксельных шейдеров. Участок Безье степени (m, n) может быть построен из двух треугольников Безье степени m + n или из одного треугольника Безье степени m + n, при этом входная область задается в виде квадрата вместо треугольника. Треугольник Безье степени m также может быть построен из поверхности Безье степени (m, m), с контрольными точками, расположенными таким образом, чтобы одна сторона была сжата в точку, или с входной областью в виде треугольника вместо квадрата.