Теорема в математике: определение и доказательство.

Введение

В математике теорема — это утверждение, которое было доказано или может быть доказано. Доказательство теоремы — это логическое рассуждение, использующее правила вывода дедуктивной системы для установления того, что теорема является логическим следствием аксиом и ранее доказанных теорем. В современной математике аксиомы и правила вывода обычно остаются неявными, и в этом случае они почти всегда соответствуют теории множеств Зермело — Фрэнкеля с аксиомой выбора (ZFC) или менее мощной теории, такой как арифметика Пеано. Как правило, утверждение, которое явно называется теоремой, представляет собой доказанный результат, который не является непосредственным следствием других известных теорем. Более того, многие авторы относят к теоремам только наиболее важные результаты, используя термины лемма, предложение и следствие для менее значимых теорем. В математической логике понятия теорем и доказательств были формализованы для обеспечения возможности математического рассуждения о них. В этом контексте утверждения становятся корректно сформированными формулами некоторого формального языка. Теория состоит из базовых утверждений, называемых аксиомами, и правил вывода (иногда включаемых в аксиомы). Теоремами теории являются утверждения, которые могут быть выведены из аксиом с использованием правил вывода. Эта формализация привела к теории доказательств, позволяющей доказывать общие теоремы о теоремах и доказательствах. В частности, теоремы о неполноте Гёделя показывают, что любая непротиворечивая теория, содержащая натуральные числа, имеет истинные утверждения о натуральных числах, которые не являются теоремами этой теории (то есть их нельзя доказать внутри теории). Поскольку аксиомы часто являются абстракциями свойств физического мира, теоремы можно рассматривать как выражение некоторой истины, но в отличие от понятия научного закона, основанного на эксперименте, обоснование истинности теоремы является чисто дедуктивным.

Теорематичность и истина

До конца XIX века и фундаментального кризиса математики все математические теории строились на основе нескольких основных свойств, которые считались самоочевидными; например, факты, что каждое натуральное число имеет преемник и что через две различные точки проходит единственная прямая. Эти основные свойства, считавшиеся абсолютно очевидными, назывались постулатами или аксиомами, например, постулаты Евклида. Все теоремы доказывались с использованием этих основных свойств, явно или неявно, и, благодаря очевидности этих основных свойств, доказанная теорема считалась окончательной истиной, если в доказательстве не было ошибки. Например, сумма внутренних углов треугольника равна 180°, и это считалось неоспоримым фактом. Одним из аспектов фундаментального кризиса математики стало открытие неевклидовых геометрий, которые не приводят к противоречиям, хотя в них сумма углов треугольника отличается от 180°. Таким образом, утверждение о том, что сумма углов треугольника равна 180°, истинно или ложно в зависимости от того, принимается или отвергается пятый постулат Евклида. Аналогичным образом, использование "очевидных" основных свойств множеств приводит к противоречию – парадоксу Рассела. Это было разрешено путем разработки правил, регулирующих операции с множествами. Этот кризис был преодолен путем пересмотра основ математики в целях повышения их строгости. В этих новых основаниях теорема – это корректно сформированная формула математической теории, которая может быть доказана из аксиом и правил вывода этой теории. Таким образом, вышеупомянутая теорема о сумме углов треугольника принимает вид: при аксиомах и правилах вывода Евклидовой геометрии сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Аналогично, парадокс Рассела исчезает, поскольку в аксиоматической теории множеств множество всех множеств не может быть выражено корректно сформированной формулой. Более точно, если множество всех множеств можно выразить корректно сформированной формулой, это означает, что теория противоречива, и любое корректно сформированное утверждение, а также его отрицание, является теоремой. В этом контексте истинность теоремы зависит только от корректности ее доказательства и не зависит от истинности или даже значимости аксиом. Это не означает, что значимость аксиом не представляет интереса, а лишь то, что истинность теоремы независима от значимости аксиом. Эта независимость может быть полезной, позволяя использовать результаты из одной области математики в, казалось бы, несвязанных областях. Важным следствием такого подхода к математике является возможность определения математических теорий и теорем как математических объектов и доказательства теорем о них. Примерами служат теоремы о неполноте Гёделя. В частности, существуют корректно сформированные утверждения, которые можно доказать как не являющиеся теоремой данной теории, хотя они могут быть доказаны в более широкой теории. Примером является теорема Гудштейна, которая может быть сформулирована в арифметике Пеано, но доказано, что она не доказуема в арифметике Пеано. Однако она доказуема в некоторых более общих теориях, таких как теория множеств Цермело — Френкеля.

Until the end of the 19th century and the foundational crisis of mathematics, all mathematical theories were built from a few basic properties that were considered as self evident; for example, the facts that every natural number has a successor, and that there is exactly one line that passes through two given distinct points. These basic properties that were considered as absolutely evident were called postulates or axioms; for example Euclid's postulates. All theorems were proved by using implicitly or explicitly these basic properties, and, because of the evidence of these basic properties, a proved theorem was considered as a definitive truth, unless there was an error in the proof. For example, the sum of the interior angles of a triangle equals 180°, and this was considered as an undoubtable fact. One aspect of the foundational crisis of mathematics was the discovery of non Euclidean geometries that do not lead to any contradiction, although, in such geometries, the sum of the angles of a triangle is different from 180°. So, the property "the sum of the angles of a triangle equals 180°" is either true or false, depending whether Euclid's fifth postulate is assumed or denied. Similarly, the use of "evident" basic properties of sets leads to the contradiction of Russell's paradox. This has been resolved by elaborating the rules that are allowed for manipulating sets. This crisis has been resolved by revisiting the foundations of mathematics to make them more rigorous. In these new foundations, a theorem is a well formed formula of a mathematical theory that can be proved from the axioms and inference rules of the theory. So, the above theorem on the sum of the angles of a triangle becomes: Under the axioms and inference rules of Euclidean geometry, the sum of the interior angles of a triangle equals 180°. Similarly, Russell's paradox disappears because, in an axiomatized set theory, the set of all sets cannot be expressed with a well formed formula. More precisely, if the set of all sets can be expressed with a well formed formula, this implies that the theory is inconsistent, and every well formed assertion, as well as its negation, is a theorem. In this context, the validity of a theorem depends only on the correctness of its proof. It is independent from the truth, or even the significance of the axioms. This does not mean that the significance of the axioms is uninteresting, but only that the validity of a theorem is independent from the significance of the axioms. This independence may be useful by allowing the use of results of some area of mathematics in apparently unrelated areas. An important consequence of this way of thinking about mathematics is that it allows defining mathematical theories and theorems as mathematical objects, and to prove theorems about them. Examples are Gödel's incompleteness theorems. In particular, there are well formed assertions than can be proved to not be a theorem of the ambient theory, although they can be proved in a wider theory. An example is Goodstein's theorem, which can be stated in Peano arithmetic, but is proved to be not provable in Peano arithmetic. However, it is provable in some more general theories, such as Zermelo–Fraenkel set theory.

Эпистемологические соображения

Многие математические теоремы являются условными утверждениями, доказательства которых выводят заключения из условий, известных как гипотезы или посылки. В свете интерпретации доказательства как обоснования истинности, заключение часто рассматривается как необходимое следствие гипотез. То есть, заключение истинно, если гипотезы истинны – без каких-либо дополнительных предположений. Однако условное утверждение может также интерпретироваться по-разному в определенных дедуктивных системах, в зависимости от значений, придаваемых правилам вывода и символу условной связи (например, в неклассической логике). Хотя теоремы могут быть записаны в полностью символической форме (например, в виде пропозиций в исчислении высказываний), они часто выражаются неформально на естественном языке, таком как английский, для лучшей читаемости. То же самое справедливо и для доказательств, которые часто представляются в виде логически организованных и чётко сформулированных неформальных аргументов, предназначенных для убеждения читателей в истинности утверждения теоремы вне всяких сомнений, и из которых в принципе может быть построено формальное символическое доказательство. Помимо лучшей читаемости, неформальные аргументы обычно легче проверить, чем чисто символические – действительно, многие математики предпочитают доказательство, которое не только демонстрирует обоснованность теоремы, но и объясняет, почему она очевидна. В некоторых случаях теорему можно даже обосновать, используя рисунок в качестве доказательства. Поскольку теоремы лежат в основе математики, они также центральны для её эстетики. Теоремы часто описываются как "тривиальные", "сложные", "глубокие" или даже "красивые". Эти субъективные оценки варьируются не только от человека к человеку, но и со временем и в разных культурах: например, по мере получения, упрощения или лучшего понимания доказательства, теорема, которая когда-то казалась сложной, может стать тривиальной. С другой стороны, глубокая теорема может быть сформулирована просто, но её доказательство может включать в себя неожиданные и тонкие связи между различными областями математики. Последняя теорема Ферма является особенно известным примером такой теоремы.

Many mathematical theorems are conditional statements, whose proofs deduce conclusions from conditions known as hypotheses or premises. In light of the interpretation of proof as justification of truth, the conclusion is often viewed as a necessary consequence of the hypotheses. Namely, that the conclusion is true in case the hypotheses are true—without any further assumptions. However, the conditional could also be interpreted differently in certain deductive systems, depending on the meanings assigned to the derivation rules and the conditional symbol (e. g., non classical logic). Although theorems can be written in a completely symbolic form (e. g., as propositions in propositional calculus), they are often expressed informally in a natural language such as English for better readability. The same is true of proofs, which are often expressed as logically organized and clearly worded informal arguments, intended to convince readers of the truth of the statement of the theorem beyond any doubt, and from which a formal symbolic proof can in principle be constructed. In addition to the better readability, informal arguments are typically easier to check than purely symbolic ones—indeed, many mathematicians would express a preference for a proof that not only demonstrates the validity of a theorem, but also explains in some way why it is obviously true. In some cases, one might even be able to substantiate a theorem by using a picture as its proof. Because theorems lie at the core of mathematics, they are also central to its aesthetics. Theorems are often described as being "trivial", or "difficult", or "deep", or even "beautiful". These subjective judgments vary not only from person to person, but also with time and culture: for example, as a proof is obtained, simplified or better understood, a theorem that was once difficult may become trivial. On the other hand, a deep theorem may be stated simply, but its proof may involve surprising and subtle connections between disparate areas of mathematics. Fermat's Last Theorem is a particularly well known example of such a theorem.

Неофициальное изложение теорем

Логически, многие теоремы имеют форму индикативного условного утверждения: Если А, то Б. Такая теорема не утверждает Б — только то, что Б является необходимым следствием А. В этом случае А называется гипотезой теоремы (термин "гипотеза" здесь имеет значение, отличное от значения "предположение"), а Б — заключением теоремы. Вместе (без доказательства) они называются утверждением или формулировкой теоремы (например, "Если А, то Б" является утверждением). В качестве альтернативы, А и Б также могут называться соответственно антецедентом и консеквентом. Теорема "Если n — четное натуральное число, то n/2 — натуральное число" является типичным примером, в котором гипотезой является "n — четное натуральное число", а заключением — "n/2 также является натуральным числом". Для того чтобы теорема была доказана, она должна быть принципиально выразима в виде точного, формального утверждения. Однако теоремы обычно формулируются на естественном языке, а не в полностью символической форме, при этом предполагается, что формальное утверждение может быть выведено из неформального. В математике принято выбирать ряд гипотез в рамках данного языка и объявлять, что теория состоит из всех утверждений, доказуемых из этих гипотез. Эти гипотезы составляют основополагающую базу теории и называются аксиомами или постулатами. Область математики, известная как теория доказательств, изучает формальные языки, аксиомы и структуру доказательств. Некоторые теоремы являются "тривиальными" в том смысле, что они следуют из определений, аксиом и других теорем очевидным образом и не содержат каких-либо неожиданных результатов. Другие же, напротив, могут быть названы "глубокими", поскольку их доказательства могут быть длинными и сложными, включать области математики, поверхностно отличные от формулировки самой теоремы, или демонстрировать неожиданные связи между различными областями математики. Теорема может быть простой в формулировке, но при этом глубокой. Превосходным примером является Великая теорема Ферма. Многие математические теоремы можно свести к более простым вычислениям, включая полиномиальные тождества, тригонометрические тождества и гипергеометрические тождества.

Logically, many theorems are of the form of an indicative conditional: If A, then B. Such a theorem does not assert B — only that B is a necessary consequence of A. In this case, A is called the hypothesis of the theorem ("hypothesis" here means something very different from a conjecture), and B the conclusion of the theorem. The two together (without the proof) are called the proposition or statement of the theorem (e. g. "If A, then B" is the proposition). Alternatively, A and B can be also termed the antecedent and the consequent, respectively. The theorem "If n is an even natural number, then n/2 is a natural number" is a typical example in which the hypothesis is "n is an even natural number", and the conclusion is "n/2 is also a natural number". In order for a theorem to be proved, it must be in principle expressible as a precise, formal statement. However, theorems are usually expressed in natural language rather than in a completely symbolic form—with the presumption that a formal statement can be derived from the informal one. It is common in mathematics to choose a number of hypotheses within a given language and declare that the theory consists of all statements provable from these hypotheses. These hypotheses form the foundational basis of the theory and are called axioms or postulates. The field of mathematics known as proof theory studies formal languages, axioms and the structure of proofs. Some theorems are "trivial", in the sense that they follow from definitions, axioms, and other theorems in obvious ways and do not contain any surprising insights. Some, on the other hand, may be called "deep", because their proofs may be long and difficult, involve areas of mathematics superficially distinct from the statement of the theorem itself, or show surprising connections between disparate areas of mathematics. A theorem might be simple to state and yet be deep. An excellent example is Fermat's Last Theorem, Many mathematical theorems can be reduced to more straightforward computation, including polynomial identities, trigonometric identities and hypergeometric identities.

Предание

По оценкам, ежегодно доказывается более четверти миллиона теорем. Известный афоризм «Математик – это машина для превращения кофе в теоремы», вероятно, принадлежит Альфреду Реньи, хотя его часто приписывают коллеге Реньи Полу Эрдошу (и, возможно, Реньи имел в виду Эрдоша), который был известен множеством доказанных им теорем, количеством его совместных работ и любовью к кофе. Классификация конечных простых групп считается некоторыми самым длинным доказательством теоремы. Она состоит из десятков тысяч страниц, опубликованных в 500 журнальных статьях примерно 100 авторов. Считается, что все эти работы вместе образуют полное доказательство, и несколько текущих проектов направлены на его сокращение и упрощение. Еще одна теорема такого рода – теорема о четырех красках, компьютерное доказательство которой слишком велико, чтобы его мог прочитать человек. Это одно из самых длинных известных доказательств теоремы, чье утверждение может быть легко понято неспециалистом.

Синтаксис и семантика

Понятие формальной теоремы является фундаментально синтаксическим, в отличие от понятия истинного утверждения, которое вводит семантику. Различные дедуктивные системы могут приводить к различным интерпретациям, в зависимости от предпосылок правил вывода (т.е. убеждений, обоснований или других модальностей). Корректность формальной системы зависит от того, являются ли все её теоремы также валидными. Валидность – это формула, которая истинна при любой возможной интерпретации (например, в классической пропозициональной логике валидности – это тавтологии). Формальная система считается семантически полной, когда все её теоремы также являются тавтологиями.