Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Соотношение между двумя связанными величинами в разных единицах
Ratio between two related quantities in different units
В математике, скорость (или темп) – это частное от деления двух величин, измеренных в разных единицах, часто представленное в виде дроби. Если делитель (или знаменатель дроби) в скорости равен единице, выраженной в одной единице измерения, и предполагается, что эта величина может изменяться систематически (то есть является независимой переменной), то делимое (числитель дроби) скорости выражает соответствующую скорость изменения другой (зависимой) величины. В некоторых случаях это можно рассматривать как изменение значения, вызванное изменением одной величины по отношению к другой. Например, ускорение – это изменение скорости по отношению ко времени.
In mathematics, a rate is the quotient of two quantities in different units of measurement, often represented as a fraction. If the divisor (or fraction denominator) in the rate is equal to one expressed as a single unit, and if it is assumed that this quantity can be changed systematically (i. e., is an independent variable), then the dividend (the fraction numerator) of the rate expresses the corresponding rate of change in the other (dependent) variable. In some cases, it may be regarded as a change to a value, which is caused by a change of a value in respect to another value. For example, acceleration is a change in speed in respect to time
Временная скорость – распространенный тип скорости ("на единицу времени"), такой как скорость, частота сердечных сокращений и поток. Фактически, скорость часто является синонимом ритма или частоты, количества в секунду (то есть герц), например, радиочастоты или частота дискретизации. При описании единиц измерения скорости слово "на" используется для разделения единиц двух величин, используемых для её расчета; например, частота сердечных сокращений выражается как "ударов в минуту". К скоростям, имеющим делитель или знаменатель, отличный от времени, относятся обменные курсы, уровень грамотности и напряженность электрического поля (в вольтах на метр). Скорость, определяемая с использованием двух чисел в одинаковых единицах измерения, приводит к безразмерной величине, также известной как отношение или просто скорость (например, налоговые ставки) или количество (например, уровень грамотности). Безразмерные скорости могут быть выражены в процентах (например, глобальный уровень грамотности в 1998 году составлял 80%), в виде дроби или кратного.
Temporal rate is a common type of rate ("per unit of time"), such as speed, heart rate, and flux. In fact, often rate is a synonym of rhythm or frequency, a count per second (i. e., hertz); e. g., radio frequencies or sample rates. In describing the units of a rate, the word "per" is used to separate the units of the two measurements used to calculate the rate; for example, a heart rate is expressed as "beats per minute". Rates that have a non time divisor or denominator include exchange rates, literacy rates, and electric field (in volts per meter). A rate defined using two numbers of the same units will result in a dimensionless quantity, also known as ratio or simply as a rate (such as tax rates) or counts (such as literacy rate). Dimensionless rates can be expressed as a percentage (for example, the global literacy rate in 1998 was 80%), fraction, or multiple.
Свойства и примеры
Скорости и соотношения часто меняются со временем, в зависимости от местоположения, конкретного элемента (или подмножества) набора объектов и т.д. Таким образом, они часто представляются математическими функциями. Соотношение (или ставка) часто можно рассматривать как отношение выходных данных к входным, отношение выгоды к затратам – во всех случаях в широком смысле. Например, мили в час при движении – это выход (или выгода) в виде пройденных миль, получаемый за счет затраты часа (времени) на передвижение (с этой скоростью). Набор последовательных индексов можно использовать для нумерации элементов (или подмножеств) набора изучаемых соотношений. Например, в финансах можно определить индексы I, присваивая последовательные целые числа компаниям, политическим образованиям (например, штатам), различным инвестициям и т.д. Индексы I используются для того, чтобы набор соотношений (i=0, N) можно было использовать в уравнении для вычисления функции от этих соотношений, например, для расчета среднего значения набора соотношений. Например, средняя скорость, вычисленная на основе набора значений vI, упомянутого выше. Для вычисления средних значений могут использоваться взвешенные средние и, возможно, среднее гармоническое. Соотношение r=a/b имеет числитель "a" и знаменатель "b". Значения a и b могут быть действительными числами или целыми числами. Обратным к соотношению r является величина 1/r = b/a. Ставку можно эквивалентно выразить как обратную величину, если отношение единиц измерения также является обратным. Например, 5 миль на киловатт-час соответствует 1/5 киловатт-часа на милю (или 200 ватт-часов на милю). Ставки актуальны для многих аспектов повседневной жизни. Например:
С какой скоростью вы едете? Скорость автомобиля (часто выражается в милях в час) – это ставка. Какой процент выплачивает ваш сберегательный счет? Сумма процентов, выплачиваемых за год, – это ставка.
Rates and ratios often vary with time, location, particular element (or subset) of a set of objects, etc. Thus they are often mathematical functions. A rate (or ratio) may often be thought of as an output input ratio, benefit cost ratio, all considered in the broad sense. For example, miles per hour in transportation is the output (or benefit) in terms of miles of travel, which one gets from spending an hour (a cost in time) of traveling (at this velocity). A set of sequential indices may be used to enumerate elements (or subsets) of a set of ratios under study. For example, in finance, one could define I by assigning consecutive integers to companies, to political subdivisions (such as states), to different investments, etc. The reason for using indices I is so a set of ratios (i=0, N) can be used in an equation to calculate a function of the rates such as an average of a set of ratios. For example, the average velocity found from the set of v I 's mentioned above. Finding averages may involve using weighted averages and possibly using the harmonic mean. A ratio r=a/b has both a numerator "a" and a denominator "b". The value of a and b may be a real number or integer. The inverse of a ratio r is 1/r = b/a. A rate may be equivalently expressed as an inverse of its value if the ratio of its units is also inverse. For example, 5 miles (mi) per kilowatt hour (kWh) corresponds to 1/5 kWh/mi (or 200 Wh/mi). Rates are relevant to many aspects of everyday life. For example:
How fast are you driving? The speed of the car (often expressed in miles per hour) is a rate. What interest does your savings account pay you? The amount of interest paid per year is a rate.
Скорость изменения
Рассмотрим случай, когда числитель скорости является функцией, а знаменатель этой функции – величина, относительно которой вычисляется скорость. Скорость изменения величины относительно (где эта величина приращена на h) может быть формально определена двумя способами:
Consider the case where the numerator of a rate is a function where happens to be the denominator of the rate A rate of change of with respect to (where is incremented by ) can be formally defined in two ways:
где f(x) – функция относительно x на интервале от a до a+h. Мгновенная скорость изменения эквивалентна производной. Например, среднюю скорость автомобиля можно рассчитать, разделив общее пройденное расстояние между двумя точками на время в пути. В отличие от этого, мгновенную скорость можно определить, взглянув на спидометр.
where f(x) is the function with respect to x over the interval from a to a+h. An instantaneous rate of change is equivalent to a derivative. For example, the average speed of a car can be calculated using the total distance traveled between two points, divided by the travel time. In contrast, the instantaneous velocity can be determined by viewing a speedometer.