Введение
В математической логике понятие, известное как диагональная лемма (также известная как лемма диагонализации, лемма самоссылки или теорема о неподвижной точке), устанавливает существование самореферентных предложений в определенных формальных теориях натуральных чисел — в частности, в тех теориях, которые достаточно сильны, чтобы представлять все вычислимые функции. Предложения, существование которых гарантируется диагональной леммой, в свою очередь, могут быть использованы для доказательства фундаментальных ограничений, таких как теоремы о неполноте Гёделя и теорема Тарского о неопределимости.
a concept in mathematical logic
In mathematical logic, the diagonal lemma (also known as diagonalization lemma, self reference lemma or fixed point theorem) establishes the existence of self referential sentences in certain formal theories of the natural numbers—specifically those theories that are strong enough to represent all computable functions. The sentences whose existence is secured by the diagonal lemma can then, in turn, be used to prove fundamental limitative results such as Gödel's incompleteness theorems and Tarski's undefinability theorem.
Предыстория
Пусть $\mathbb{N}$ будет множеством натуральных чисел. Теория первого порядка на языке арифметики представляет вычислимую функцию $f$, если существует "граф"-формула $\Phi$ на языке этой теории, то есть формула, такая что для каждого $n$ существует $m$, для которого $\Phi(\overline{n}, \overline{m})$ истинна в любой модели теории. Здесь $\overline{n}$ – это numeral, соответствующий натуральному числу $n$, которое определяется как $n$-й последователь предполагаемого первого numeral $\overline{0}$ в $\mathbb{N}$.
Here is the numeral corresponding to the natural number , which is defined to be the th successor of presumed first numeral in
The diagonal lemma also requires a systematic way of assigning to every formula a natural number (also written as ) called its Gödel number. Formulas can then be represented within by the numerals corresponding to their Gödel numbers. For example, is represented by
The diagonal lemma applies to theories capable of representing all primitive recursive functions. Such theories include first order Peano arithmetic and the weaker Robinson arithmetic, and even to a much weaker theory known as R. A common statement of the lemma (as given below) makes the stronger assumption that the theory can represent all computable functions, but all the theories mentioned have that capacity, as well.
Диагональная лемма также требует систематического способа присвоения каждой формуле $\varphi$ натурального числа $g(\varphi)$ (также записываемого как $\overline{\varphi}$), называемого её числом Гёделя. Формулы могут быть затем представлены внутри теории с помощью numeral, соответствующих их числам Гёделя. Например, формула $\varphi$ представлена numeral $\overline{g(\varphi)}$.
Here is the numeral corresponding to the natural number , which is defined to be the th successor of presumed first numeral in
The diagonal lemma also requires a systematic way of assigning to every formula a natural number (also written as ) called its Gödel number. Formulas can then be represented within by the numerals corresponding to their Gödel numbers. For example, is represented by
The diagonal lemma applies to theories capable of representing all primitive recursive functions. Such theories include first order Peano arithmetic and the weaker Robinson arithmetic, and even to a much weaker theory known as R. A common statement of the lemma (as given below) makes the stronger assumption that the theory can represent all computable functions, but all the theories mentioned have that capacity, as well.
Диагональная лемма применима к теориям, способным представлять все примитивно рекурсивные функции. Такие теории включают в себя арифметику Пеано первого порядка и более слабую арифметику Робинсона, и даже к ещё более слабой теории, известной как R. Распространенная формулировка леммы (приведенная ниже) делает более сильное предположение, что теория может представлять все вычислимые функции, но все упомянутые теории обладают и этой способностью.
Here is the numeral corresponding to the natural number , which is defined to be the th successor of presumed first numeral in
The diagonal lemma also requires a systematic way of assigning to every formula a natural number (also written as ) called its Gödel number. Formulas can then be represented within by the numerals corresponding to their Gödel numbers. For example, is represented by
The diagonal lemma applies to theories capable of representing all primitive recursive functions. Such theories include first order Peano arithmetic and the weaker Robinson arithmetic, and even to a much weaker theory known as R. A common statement of the lemma (as given below) makes the stronger assumption that the theory can represent all computable functions, but all the theories mentioned have that capacity, as well.
Заявление леммы
Интуитивно, является самореферентным предложением: оно утверждает, что обладает свойством . Предложение также можно рассматривать как фиксированную точку операции, которая сопоставляет классу эквивалентности данного предложения класс эквивалентности предложения (класс эквивалентности предложения – это множество всех предложений, которым оно доказуемо эквивалентно в данной теории). Предложение , сконструированное в доказательстве, не является буквально тем же самым, что , но доказуемо эквивалентно ему в данной теории.
История
Лемма называется "диагональной", поскольку она имеет некоторое сходство с диагональным аргументом Кантора. Термины "диагональная лемма" или "фиксированная точка" не встречаются в статье Курта Гёделя 1931 года или в статье Альфреда Тарски 1936 года. Рудольф Карнап (1934) первым доказал общую самореференциальную лемму, которая утверждает, что для любой формулы F в теории T, удовлетворяющей определенным условиям, существует формула ψ, такая, что ψ ↔ F(°#(ψ)) доказуема в T. Работа Карнапа была сформулирована на альтернативном языке, так как концепция вычислимых функций еще не была разработана к 1934 году. Мендельсон (1997, с. 204) полагает, что Карнап первым указал на то, что нечто подобное диагональной лемме было неявно заложено в рассуждениях Гёделя. Гёдель был знаком с работой Карнапа к 1937 году. Диагональная лемма тесно связана с теоремой рекурсии Клини в теории вычислимости, и их доказательства схожи.