Кіріспе
Математикада билинеарлық форма – векторлық кеңістіктегі V (оның элементтері векторлар деп аталады) K өрісі бойынша (оның элементтері скалярлар деп аталады) V × V → K билинеарлық бейнелеуі. Басқаша айтқанда, билинеарлық форма – бұл әрбір аргумент бойынша жеке сызықты функция B: V × V → K: 1=B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w) және 1=B(λu, v) = λB(u, v) 1=B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w) және 1=B(u, λv) = λB(u, v). Нүктелік көбейтінді – билинеарлық форманың мысалы. Билинеарлық форманың анықтамасын сақинадағы модульдерді қамту үшін кеңейтуге болады, онда сызықтық бейнелеулер модульдік гомоморфизмдермен алмастырылады. Егер K – кешенді сандардың C өрісі болса, көбінесе сесквилинейлік формаларға көбірек қызығушылық танытылады, олар билинеарлық формаларға ұқсас, бірақ бір аргумент бойынша конъюгациялық сызықтық болып табылады.
In mathematics, a bilinear form is a bilinear map V × V → K on a vector space V (the elements of which are called vectors) over a field K (the elements of which are called scalars). In other words, a bilinear form is a function B : V × V → K that is linear in each argument separately:
1=B('u' + 'v', 'w') = B('u', 'w') + B('v', 'w') and 1=B(λ'u', 'v') = λB('u', 'v')
1=B('u', 'v' + 'w') = B('u', 'v') + B('u', 'w') and 1=B('u', λ'v') = λB('u', 'v')
The dot product on is an example of a bilinear form. The definition of a bilinear form can be extended to include modules over a ring, with linear maps replaced by module homomorphisms. When K is the field of complex numbers 'C', one is often more interested in sesquilinear forms, which are similar to bilinear forms but are conjugate linear in one argument.
Туралы квадраттық форма
Кез келген билинеарлық форма B: V × V → K үшін, Q: V → K арқылы анықталатын байланысты квадраттық форма Q: V → K бар: v ↦ B(v, v). Егер char(K) ≠ 2 болса, квадраттық форма Q билинеарлық форма B-ның симметриялық бөлігімен анықталады және антисимметриялық бөлігіне тәуелсіз болады. Бұл жағдайда билинеарлық форманың симметриялық бөлігі мен квадраттық форма арасында біржақты сәйкестік бар, сондықтан квадраттық формаға байланысты симметриялық билинеарлық форма туралы айтуға болады. Егер char(K) = 2 және V өлшемі 1-ден үлкен болса, онда квадраттық формалар мен симметриялық билинеарлық формалар арасындағы сәйкестік жойылады.
Рефлексивность және ортогональдылық
Билинеарлық форма B рефлексивті болады, егер және тек қана ол симметриялық немесе антисимметриялық болса. Рефлексивтілік болмаған жағдайда сол және оң ортогоналдықты ажырату қажет. Рефлексивті кеңістікте сол және оң радикалдар сәйкес келеді және билинеарлық форманың ядросы немесе радикалы деп аталады: кез келген вектормен ортогоналды барлық векторлардан тұратын кеңістіктің ішкі кеңістігі. Матрицалық бейнесі x болатын 'v' векторы, егер және тек қана Ax = 0 және xᵀA = 0 болса, A матрицалық бейнесі бар билинеарлық форманың радикалында жатады. Радикал әрқашан V кеңістігінің ішкі кеңістігі болып табылады. Ол тривиальды, егер және тек қана А матрицасы сингуляр емес болса, яғни билинеарлық форма дегенгереленбесе. W кеңістігінің ішкі кеңістігі деп есептейік. Ортогоналды толықтыруды анықтаңыз. Шекті өлшемді кеңістіктегі дегенгереленбеген форма үшін V/W → W⊥ бейнелеуі биективті болады, ал W⊥ өлшемі dim(V) − dim(W) тең болады.
For a non degenerate form on a finite dimensional space, the map V/W → W^(⊥) is bijective, and the dimension of W^(⊥) is dim(V) − dim(W).
Тензорлық көбейтінділерге қатынасы
Тензорлық көбейтіндінің әмбебап қасиеті бойынша, V-дегі билинеарлық формалар мен V ⊗ V → K сызықтық бейнелеулер арасында канондық сәйкестік бар. Егер B – V-дегі билинеарлық форма болса, сәйкес сызықтық бейнелеу мына түрде беріледі:
Ал кері бағытта, егер F : V ⊗ V → K сызықтық бейнелеу болса, сәйкес билинеарлық форма F-ті V × V → V ⊗ V билинеарлық бейнелеумен құрастыру арқылы беріледі, ол ('v', 'w') жұбын 'v' ⊗ 'w' -ге жібереді. V ⊗ V → K сызықтық бейнелеулердің барлық жиыны V ⊗ V кеңістігінің жұп кеңістігі болып табылады, сондықтан билинеарлық формаларды (V ⊗ V)^∗ элементтері ретінде қарастыруға болады, бұл (V шекті өлшемді болғанда) V^∗ ⊗ V^∗ -қа канондық изоморфты. Сол сияқты, симметриялық билинеарлық формаларды (Sym^(2)V)^∗ элементтері ретінде (V-дің екінші симметриялық қуатының жұп кеңістігі) және антисимметриялық билинеарлық формаларды (Λ^(2)V)^∗ ≃ Λ^(2)V^∗ (V^∗-дің екінші сыртқы қуаты) элементтері ретінде қарастыруға болады. Егер charK ≠ 2 болса, (Sym^(2)V)^∗ ≃ Sym^(2)(V^∗).