Кіріспе

Функция кеңістіктерінде әрекет ететін функциялар, математикадағы операторлар

Математикада оператор – кеңістіктің элементтеріне әрекет етіп, басқа кеңістіктің (мүмкін және кейде сол кеңістіктің өзінің) элементтерін тудыратын бейнелеу немесе функция. Оператордың жалпы анықтамасы жоқ, бірақ домен функциялар жиынтығы немесе басқа да құрылымдалған объектілер болғанда, термин көбінесе функцияның орнына қолданылады. Сонымен қатар, оператордың доменін нақты сипаттау қиын болуы мүмкін (мысалы, интегралды оператор жағдайында) және оны байланысты объектілерге әрекет ету үшін кеңейтуге болады (функцияларға әрекет ететін оператор, сонымен қатар, шешімдері теңдеуді қанағаттандыратын функциялар болатын дифференциалдық теңдеулерге де әрекет ете алады). (басқа мысалдар үшін «Оператор (физика)» деген мақалаға қараңыз).

Ең қарапайым операторлар – векторлық кеңістіктерге әрекет ететін сызықтық бейнелеулер. Сызықтық операторлар – домені мен мәндік кеңістігі бірдей кеңістік болатын сызықтық бейнелеулерді білдіреді, мысалы, efn-ден-аға дейін: (1) V-ден V-ге сызықтық түрлендіру V кеңістігіндегі сызықтық оператор деп аталады. V кеңістігіндегі барлық сызықтық операторлар жиынтығы ℒ(V) деп белгіленеді. Сондай-ақ, кейбір авторлар V-ден W-ге кез келген сызықтық түрлендіру үшін «сызықтық оператор» терминін қолданатынын атап өту керек.

Анықтама:
Келесі терминдер де қолданылады:
(2) сызықтық оператор үшін эндоморфизм
(6) биективті сызықтық оператор үшін автоморфизм. – Роман (2008)

Геометрия

Геометрияда кейде векторлық кеңістіктердегі қосымша құрылымдар зерттеледі. Мұндай векторлық кеңістіктерді өзіне-өзі биективті бейнелейтін операторлар осы зерттеулерде өте пайдалы, және олар композиция арқылы топтарды құрайды. Мысалы, векторлық кеңістіктің құрылымын сақтайтын биективті операторлар – дәл кері айналатын сызықтық операторлар. Олар композиция бойынша жалпы сызықтық топты құрайды. Дегенмен, операторлық қосу арқылы олар векторлық кеңістік құрамайды; себебі, мысалы, бірлік оператор және оның керісі де кері айналатын (биективті), бірақ олардың қосындысы, яғни 0, кері айналмайды. Мұндай кеңістікте Евклидтік метриканы сақтайтын операторлар изометрия тобын құрайды, ал нөлдік нүктені бекітетіндері – ортогональды топ деп аталатын кіші топты құрайды. Ортогональды топтағы, сонымен қатар векторлық жұптардың бағытын сақтайтын операторлар арнайы ортогональды топты, немесе айналу тобын құрайды.

Ықтималдық теориясы

Операторлар сондай-ақ күту, дисперсия және ковариация сияқты ықтималдық теориясымен де байланысты, олар сандық статистиканы да, оларды тудыратын операторларды да атау үшін қолданылады. Шындығында, әрбір ковариация – негізінен векторлық көбейтінді: әрбір дисперсия – вектордың өзімен векторлық көбейтіндісі, демек, ол квадраттық норма; әрбір стандартты ауытқу – норма (квадраттық норманың квадрат түбірі); осы векторлық көбейтіндіге сәйкес келетін косинус – Пирсонның корреляциялық коэффициенті; күтілетін мән – негізінен интегралды оператор (кеңісте салмақталған нысандарды өлшеу үшін қолданылады).