Векторлық кеңістіктегі базалар және координаталар

Кіріспе

Координаттарды анықтауға қолданылатын векторлар жиыны. Математикада, векторлық кеңістіктегі В векторлар жиыны, егер V кеңістігінің кез келген элементін B жиынының элементтерінің шекті сызықтық комбинациясы түрінде бірегей түрде жазуға болады, онда негіз (базалар) деп аталады. Осы сызықтық комбинацияның коэффициенттері вектордың компоненттері немесе B-ға қатысты координаттары деп аталады. Негізді құрайтын элементтер негізгі векторлар деп аталады. Балама түсіндіру бойынша, егер оның элементтері сызықтық тәуелсіз болса және V кеңістігінің кез келген элементі B жиынының элементтерінің сызықтық комбинациясы болса, онда B жиыны негіз болып табылады. Яғни, негіз – сызықтық тәуелсіз жабатын жиын. Векторлық кеңістікте бірнеше негіздер болуы мүмкін; алайда, барлық негіздердегі элементтер саны бірдей болады, бұл векторлық кеңістіктің өлшемі деп аталады. Бұл мақалада негізінен шекті өлшемді векторлық кеңістіктер қарастырылады. Дегенмен, көптеген қағидалар шексіз өлшемді векторлық кеңістіктер үшін де қолданылады.

Бос модуль

Егер векторлық кеңістіктің анықтамасындағы өрісті сақинамен алмастырсақ, модульдің анықтамасы алынады. Модульдер үшін сызықтық тәуелсіздік және жабатын жиынтықтар векторлық кеңістіктердегідей анықталады, бірақ "жасаушы жиынтық" "жабатын жиынтықтан" гөрі көбірек қолданылады. Векторлық кеңістіктерге ұқсас, модульдің негізі – сонымен қатар жасаушы жиынтық болатын сызықтық тәуелсіз кіші жиынтық. Векторлық кеңістіктер теориясымен салыстырғандағы маңызды айырмашылық – әрбір модульдің негізі бола бермейді. Негізі бар модульді еркін модуль деп атайды. Еркін модульдер модуль теориясындағы маңызды рөл атқарады, себебі оларды еркін шешімдер арқылы еркін емес модульдердің құрылымын сипаттау үшін қолдануға болады. Бүтін сандар бойынша модуль – дәл абельдік топтың өзі. Осылайша, бүтін сандар бойынша еркін модуль де еркін абельдік топ болып табылады. Еркін абельдік топтардың басқа сақиналардағы модульдерге тән емес ерекше қасиеттері бар. Атап айтқанда, еркін абельдік топтың кез келген кіші тобы – еркін абельдік топ, және егер G – шекті түрде жасалған еркін абельдік топтың кіші тобы H (яғни, шекті негізі бар абельдік топ) болса, онда H-тың негізі және 0 ≤ k ≤ n бүтін саны бар, олар G-ның негізін құрайды, мұндағы k – нөлден өзгеше бүтін сан. Толық мәліметтер үшін қараңыз.

Талдау

Нақты немесе күрделі сандардағы шексіз өлшемді векторлық кеңістіктер контекстінде Гамель негізі (Георг Гамельдің есімімен аталған) немесе алгебралық негіз термині осы мақалада анықталған негізді білдіру үшін қолданылуы мүмкін. Бұл шексіз өлшемді векторлық кеңістікке қосымша құрылым берілген кезде кездесетін "негіз" ұғымының басқа түрлерінен айырмашылық жасау үшін жасалады. Ең маңызды баламалар – Хилберт кеңістіктеріндегі ортогональды негіздер, Шаудер негіздері және нормаланған сызықтық кеңістіктердегі Маркушевич негіздері. Рационал сандардың Q өрісі үстіндегі векторлық кеңістік ретінде қаралатын R нақты сандарының жағдайында Гамель негіздері санауға болмайтын және континуумының кардиналдығына ие, яғни кардинал саны , мұнда (алеф-ноль) – ең кіші шексіз кардинал, бүтін сандардың кардиналы. Басқа ұғымдардың ортақ ерекшелігі – кеңістікті құру үшін негіз векторларының шексіз сызықтық комбинацияларын қолдану мүмкіндігі. Бұл, әрине, осы кеңістіктерде шексіз қосындылардың мағыналы түрде анықталғанын талап етеді, мысалы, топологиялық векторлық кеңістіктерде – Хилберт кеңістіктері, Банах кеңістіктері немесе Фреше кеңістіктері сияқты кеңістіктердің үлкен класында. Бескіне өлшемді кеңістіктер үшін басқа типтегі негіздерге басымдық беруінің себебі – Гамель негізінің Банах кеңістіктерінде "тынышсыз үлкен" болуында. Егер X – шексіз өлшемді нормаланған векторлық кеңістік болса және толық болса (яғни X – Банах кеңістігі), онда X-тің кез келген Гамель негізі міндетті түрде санауға болмайтын болады. Бұл Бейр категориясы теоремасының салдары. Толықтығы және шексіз өлшемділігі бұл тұжырымның маңызды шарттары болып табылады. Шындығында, шекті өлшемді кеңістіктер анықтамасы бойынша шекті негіздерге ие, ал шексіз өлшемді (толық емес) нормаланған кеңістіктер бар, олардың саналатын Гамель негіздері бар. Мысалы, қарастырайық – нақты сандар тізбектерінің кеңістігін, онда тек шекті түрде нөлге тең емес элементтер бар, және нормасы <math display="inline">\ Оның стандартты негізі, тек бір нөлге тең емес элементі бар тізбектерден тұрады, ол 1-ге тең, саналатын Гамель негізі болып табылады.

In the context of infinite dimensional vector spaces over the real or complex numbers, the term Hamel basis (named after Georg Hamel) or algebraic basis can be used to refer to a basis as defined in this article. This is to make a distinction with other notions of "basis" that exist when infinite dimensional vector spaces are endowed with extra structure. The most important alternatives are orthogonal bases on Hilbert spaces, Schauder bases, and Markushevich bases on normed linear spaces. In the case of the real numbers R viewed as a vector space over the field Q of rational numbers, Hamel bases are uncountable, and have specifically the cardinality of the continuum, which is the cardinal number , where (aleph nought) is the smallest infinite cardinal, the cardinal of the integers. The common feature of the other notions is that they permit the taking of infinite linear combinations of the basis vectors in order to generate the space. This, of course, requires that infinite sums are meaningfully defined on these spaces, as is the case for topological vector spaces – a large class of vector spaces including e. g. Hilbert spaces, Banach spaces, or Fréchet spaces. The preference of other types of bases for infinite dimensional spaces is justified by the fact that the Hamel basis becomes "too big" in Banach spaces: If X is an infinite dimensional normed vector space that is complete (i. e. X is a Banach space), then any Hamel basis of X is necessarily uncountable. This is a consequence of the Baire category theorem. The completeness as well as infinite dimension are crucial assumptions in the previous claim. Indeed, finite dimensional spaces have by definition finite bases and there are infinite dimensional (non complete) normed spaces that have countable Hamel bases. Consider , the space of the sequences of real numbers that have only finitely many non zero elements, with the norm <math display="inline">\ Its standard basis, consisting of the sequences having only one non zero element, which is equal to 1, is a countable Hamel basis.

Мысал

Фурье тізбектерін зерттеу барысында 1={1} ∪ {sin(nx), cos(nx): n = 1, 2, 3, …} функциялары [0, 2π] аралығында квадратталған интегралы бар барлық (нақты немесе кешенді) функциялардың (нақты немесе кешенді) векторлық кеңістігінің "ортогональды негізі" екенін білеміз, яғни f функциясын қанағаттандыратын функциялар. 1={1} ∪ {sin(nx), cos(nx): n = 1, 2, 3, …} функциялары сызықтық тәуелсіз, және [0, 2π] аралығында квадратталған интегралы бар кез келген f функциясы олардың "шексіз сызықтық комбинациясы" болып табылады, яғни:

ак, bk тиісті (нақты немесе кешенді) коэффициенттері үшін. Бірақ көптеген квадратталған интегралы бар функцияларды осы негіз функцияларының шекті сызықтық комбинациясы түрінде көрсету мүмкін емес, сондықтан олар Гамель негізін құрамайды. Осы кеңістіктің кез келген Гамель негізі осы санаулы жиыннан әлдеқайда үлкен болады. Мұндай кеңістіктердің Гамель негіздері көбінесе пайдалы емес, ал осы кеңістіктердің ортонормальдық негіздері Фурье талдауында маңызды рөл атқарады.

Геометрия

Аффиндік кеңістік, проективті кеңістік, дөңес жиын және конус геометриялық ұғымдары негіз ұғымдарымен байланысты. n өлшемді аффиндік кеңістіктің аффиндік негізі – жалпы сызықтық жағдайда орналасқан нүктелер. Проективті негіз – n өлшемді проективті кеңістікте жалпы жағдайда орналасқан нүктелер. Политоптың дөңес негізі – оның дөңес қабығының төбелерінің жиыны. Конус негізі – көпбұрышты конустың қабырғалары бойынша бір-бір нүктеден тұрады. Сондай-ақ, Хилберт негізін қараңыз (сызықтық бағдарламалау).

Кездейсоқ негізде

Мүмкіндік тығыздығы функциясы бар 'R'^(n) ықтималдылық үлестірімі үшін, мысалы, Лебег өлшеміне қатысты n өлшемді шар ішіндегі тең үлестірімі үшін, n кездейсоқ және тәуелсіз таңдалған векторлар бір ықтималдықпен базис құрайтынын көрсетуге болады. Бұл n сызықтық тәуелді векторлардың 'x'1, ..., 'x'n 'R'^(n) арасындағы 1 = det['x'1 ⋯ 'x'n] = 0 теңдеуін қанағаттандыруы керек (бағаналары 'x'i болатын матрицаның детерминанты нөлге тең), ал тривиалды емес полиномның нөлдер жиынының нөлдік өлшемі бар. Бұл байқау кездейсоқ базистерді жуықтау әдістеріне әкелді. [[File:Random almost orthogonal sets.png|thumb|270px|n өлшемді кубтан [−1, 1]^(n) тәуелсіз кездейсоқ алынған векторлардың жұптық дерлік ортогонал тізбектерінің N ұзындықтарының эмпирикалық таралуы. Boxplot-тар әр n үшін осы деректердің екінші және үшінші квартильдерін көрсетеді, қызыл жолақтар медианаға сәйкес келеді, ал көк жұлдыздар орташа мәнді көрсетеді. Қызыл қисық (1) теңдеуде берілген теориялық шекті көрсетеді, ал жасыл қисық жақсартылған бағаны көрсетеді. Сурет (оң жақта) n өлшемді кубтан [−1, 1]^(n) тәуелсіз кездейсоқ алынған векторлардың жұптық дерлік ортогонал тізбектерінің N ұзындықтарының таралуын көрсетеді. Бірінші нүкте кубта кездейсоқ таңдалады. Екінші нүкте сол кубта кездейсоқ таңдалады. Егер векторлар арасындағы бұрыш π/2 ± 0.037π/2 болса, онда вектор сақталады. Келесі қадамда сол гиперкубта жаңа вектор жасалады және оның бұрыштары бұрын жасалған векторлармен салыстырылады. Егер бұл бұрыштар π/2 ± 0.037π/2 аралығында болса, онда вектор сақталады. Процесс дерлік ортогоналдылық тізбегі үзілгенше қайталанады және осындай жұптық дерлік ортогоналды векторлардың саны (тізбектің ұзындығы) тіркеледі. Әр n үшін әр өлшем үшін 20 дерлік ортогоналды тізбек сандық түрде құрылды. Бұл тізбектердің ұзындығының таралуы көрсетілген.

For a probability distribution in 'R'^(n) with a probability density function, such as the equidistribution in an n dimensional ball with respect to Lebesgue measure, it can be shown that n randomly and independently chosen vectors will form a basis with probability one, which is due to the fact that n linearly dependent vectors 'x'1, , 'x'n in 'R'^(n) should satisfy the equation 1=det['x'1 ⋯ 'x'n] = 0 (zero determinant of the matrix with columns 'x'i), and the set of zeros of a non trivial polynomial has zero measure. This observation has led to techniques for approximating random bases. [[File:Random almost orthogonal sets. png|thumb|270px|Empirical distribution of lengths N of pairwise almost orthogonal chains of vectors that are independently randomly sampled from the n dimensional cube [−1, 1]^(n) as a function of dimension, n. Boxplots show the second and third quartiles of this data for each n, red bars correspond to the medians, and blue stars indicate means. Red curve shows theoretical bound given by Eq. (1) and green curve shows a refined estimate. The figure (right) illustrates distribution of lengths N of pairwise almost orthogonal chains of vectors that are independently randomly sampled from the n dimensional cube [−1, 1]^(n) as a function of dimension, n. A point is first randomly selected in the cube. The second point is randomly chosen in the same cube. If the angle between the vectors was within π/2 ± 0.037π/2 then the vector was retained. At the next step a new vector is generated in the same hypercube, and its angles with the previously generated vectors are evaluated. If these angles are within π/2 ± 0.037π/2 then the vector is retained. The process is repeated until the chain of almost orthogonality breaks, and the number of such pairwise almost orthogonal vectors (length of the chain) is recorded. For each n, 20 pairwise almost orthogonal chains were constructed numerically for each dimension. Distribution of the length of these chains is presented.

Әрбір векторлық кеңістіктің негізі бар екендігінің дәлелі

Кез келген 'F' өрісі бойынша 'V' векторлық кеңістігі болсын. 'X' жиыны 'V'-нің барлық сызықтық тәуелсіз кіші жиындарынан тұрады. 'X' жиыны бос емес, себебі бос жиын 'V'-нің тәуелсіз кіші жиыны болып табылады, және ол кіші жиынға қатысты белгіленетін инклюзия арқылы ішінара реттелген (⊆). 'Y' жиыны 'X'-тің кіші жиыны болсын, ол ⊆ арқылы толық реттелген, ал L'Y' жиыны 'Y'-тің барлық элементтерінің бірігінен тұрады (олардың әрқайсысы 'V'-нің белгілі бір кіші жиыны). ('Y', ⊆) толық реттелгендіктен, L'Y'-тің кез келген шекті кіші жиыны 'Y'-тің бір элементінің кіші жиыны болады, ол 'V'-нің сызықтық тәуелсіз кіші жиыны болып табылады, сондықтан L'Y' сызықтық тәуелсіз. Осылайша, L'Y' жиыны 'X' жиынының элементі болады. Демек, L'Y' жиыны 'Y' үшін ('X', ⊆) жоғарғы шекара болып табылады: ол 'X' жиынының элементі, және 'Y'-тің барлық элементтерін қамтиды. 'X' жиыны бос емес болғандықтан, және ('X', ⊆) жиынының кез келген толық реттелген кіші жиыны 'X'-те жоғарғы шекараға ие болғандықтан, Зорн леммасы 'X'-тің максималды элементінің бар екенін күйеді. Басқаша айтқанда, 'X' жиынында L'max' деп аталатын элемент бар, ол 'X' жиынының кез келген L элементі үшін L'max' ⊆ L болған жағдайда, L = L'max' = 1 шартын қанағаттандырады. Енді L'max' жиыны 'V' кеңістігінің негізін құрайтынын дәлелдеу керек. L'max' жиыны 'X' жиынына жататындықтан, L'max' жиыны 'V' кеңістігінің сызықтық тәуелсіз кіші жиыны екенін білеміз. Егер 'V' кеңістігінде L'max' жиынының құрамына кірмейтін 'w' векторы болса, онда 'w' векторы L'max' жиынының элементі болмайды. L'w' = L'max' ∪ {'w'} жиынын қарастырайық. Бұл жиын 'X' жиынының элементі болады, яғни ол 'V' кеңістігінің сызықтық тәуелсіз кіші жиыны (себебі 'w' векторы L'max' жиынының құрамына кірмейді, ал L'max' жиыны тәуелсіз). L'max' ⊆ L'w' және L'max' ≠ L'w' (себебі L'w' жиыны L'max' жиынына кірмейтін 'w' векторын қамтиды), бұл L'max' жиынының максималдығына қайшы келеді. Осыдан L'max' жиыны 'V' кеңістігін жабады деген қорытынды шығады. Демек, L'max' жиыны сызықтық тәуелсіз және 'V' кеңістігін жабады. Осылайша, ол 'V' кеңістігінің негізі болып табылады, және бұл әрбір векторлық кеңістіктің негізі бар екенін дәлелдейді. Бұл дәлел Зорн леммасына негізделген, ол таңдау аксиомасына эквивалентті. Керісінше, егер әрбір векторлық кеңістіктің негізі болса, онда таңдау аксиомасы дұрыс екені дәлелденді. Осылайша, екі тұжырым да эквивалентті.

Let 'V' be any vector space over some field 'F'. Let 'X' be the set of all linearly independent subsets of 'V'. The set 'X' is nonempty since the empty set is an independent subset of 'V', and it is partially ordered by inclusion, which is denoted, as usual, by ⊆. Let 'Y' be a subset of 'X' that is totally ordered by ⊆, and let L'Y' be the union of all the elements of 'Y' (which are themselves certain subsets of 'V'). Since ('Y', ⊆) is totally ordered, every finite subset of L'Y' is a subset of an element of 'Y', which is a linearly independent subset of 'V', and hence L'Y' is linearly independent. Thus L'Y' is an element of 'X'. Therefore, L'Y' is an upper bound for 'Y' in ('X', ⊆): it is an element of 'X', that contains every element of 'Y'. As 'X' is nonempty, and every totally ordered subset of ('X', ⊆) has an upper bound in 'X', Zorn's lemma asserts that 'X' has a maximal element. In other words, there exists some element L'max' of 'X' satisfying the condition that whenever L'max' ⊆ L for some element L of 'X', then 1=L = L'max'. It remains to prove that L'max' is a basis of 'V'. Since L'max' belongs to 'X', we already know that L'max' is a linearly independent subset of 'V'. If there were some vector 'w' of 'V' that is not in the span of L'max', then 'w' would not be an element of L'max' either. Let 1=L'w' = L'max' ∪ {'w'}. This set is an element of 'X', that is, it is a linearly independent subset of 'V' (because w is not in the span of L'max', and L'max' is independent). As L'max' ⊆ L'w', and L'max' ≠ L'w' (because L'w' contains the vector 'w' that is not contained in L'max'), this contradicts the maximality of L'max'. Thus this shows that L'max' spans 'V'. Hence L'max' is linearly independent and spans 'V'. It is thus a basis of 'V', and this proves that every vector space has a basis. This proof relies on Zorn's lemma, which is equivalent to the axiom of choice. Conversely, it has been proved that if every vector space has a basis, then the axiom of choice is true. Thus the two assertions are equivalent.