Кіріспе
Нүктелік көбейтіндінің жалпылауы; Хилберт кеңістіктерін анықтау үшін қолданылады. Математикада ішкі көбейтінді кеңістігі (немесе сирек кездесетін Хаусдорфтың Хилбертке дейінгі кеңістігі) – ішкі көбейтінді деп аталатын операциясы бар нақты векторлық кеңістік немесе кешенді векторлық кеңістік. Кеңістіктегі екі вектордың ішкі көбейтіндісі скаляр болып табылады, көбінесе бұрышты жақшалармен белгіленеді, мысалы, < >. Ішкі көбейтінділер интуитивті геометриялық ұғымдардың – ұзындықтардың, бұрыштардың және векторлардың ортогоналдығының (нөлдік ішкі көбейтінді) формалды анықтамасын береді. Ішкі көбейтінді кеңістіктері Евклидтік векторлық кеңістіктерді жалпылайды, онда ішкі көбейтінді – декарт координаттарының нүктелік көбейтіндісі немесе скалярлық көбейтіндісі болып табылады. Шексіз өлшемді ішкі көбейтінді кеңістіктері функционалдық талдауда кеңінен қолданылады. Кешенді сандар өрісіндегі ішкі көбейтінді кеңістіктері кейде унитарлық кеңістіктер деп аталады. Ішкі көбейтіндісі бар векторлық кеңістік тұжырымын алғаш рет 1898 жылы Джузеппе Пеано қолданған. Ішкі көбейтінді табиғи түрде байланысты норманы тудырады (суретте көрсетілген); сондықтан әрбір ішкі көбейтінді кеңістігі – нормаланған векторлық кеңістік болып табылады. Егер бұл нормаланған кеңістік сондай-ақ толық болса (яғни, Банах кеңістігі), онда ішкі көбейтінді кеңістігі – Хилберт кеңістігі болады. Егер ішкі көбейтінді кеңістігі H Хилберт кеңістігі болмаса, оны толықтыру арқылы Хилберт кеңістігіне кеңейтуге болады. Бұл дегеніміз, H – ішкі көбейтінді кеңістігінің сызықтық кіші кеңістігі, H-тың ішкі көбейтіндісі H-тың ішкі көбейтіндісінің шектеуі болып табылады және H, нормамен анықталған топология үшін H-та тығыз болады.
In mathematics, an inner product space (or, rarely, a Hausdorff pre Hilbert space) is a real vector space or a complex vector space with an operation called an inner product. The inner product of two vectors in the space is a scalar, often denoted with angle brackets such as in Inner products allow formal definitions of intuitive geometric notions, such as lengths, angles, and orthogonality (zero inner product) of vectors. Inner product spaces generalize Euclidean vector spaces, in which the inner product is the dot product or scalar product of Cartesian coordinates. Inner product spaces of infinite dimension are widely used in functional analysis. Inner product spaces over the field of complex numbers are sometimes referred to as unitary spaces. The first usage of the concept of a vector space with an inner product is due to Giuseppe Peano, in 1898. An inner product naturally induces an associated norm, (denoted and in the picture); so, every inner product space is a normed vector space. If this normed space is also complete (that is, a Banach space) then the inner product space is a Hilbert space. If an inner product space H is not a Hilbert space, it can be extended by completion to a Hilbert space This means that is a linear subspace of the inner product of is the restriction of that of and is dense in for the topology defined by the norm.
Конвенцияның нұсқасы
Кейбір авторлар, әсіресе физика және матрицалық алгебра салаларында, ішкі көбейтулер мен сесквилинейрлік формаларды бірінші аргумент емес, екінші аргумент бойынша сызықтық ретінде анықтауды қалайды. Онда бірінші аргумент екіншісі емес, конъюгациялық сызықтыққа айналады. Кванттық механикадағы бра-кет нотациясы да сәл өзгеше белгілеулерді қолданады, яғни , мұнда .
Күрделі матрицалар
Бірдей өлшемді кешенді квадраттық матрицалар үшін ішкі көбейтінді – Фробеніус ішкі көбейтіндісі. Трейс және транспонирование сызықтық болғандықтан, ал түйіндеу екінші матрицаға қолданылғандықтан, бұл сесквилинейлі оператор болып табылады. Гермиттік симметрияны мынадан аламыз:
Соңында, егер нөлден өзгеше болса, Фробеніус ішкі көбейтіндісі де оң белгілі, сондықтан ол да ішкі көбейтінді болып табылады.
Формалары бар векторлық кеңістіктер
Ішкі өнім кеңістігінде немесе жалпы алғанда, дегенерацияланбаған формасы бар векторлық кеңістікте (соның нәтижесінде изоморфизм), векторларды ковекторларға (координаттарда транспонирование арқылы) жіберуге болады, осылайша екі вектордың ішкі және сыртқы өнімдерін алу мүмкін – жай ғана вектор мен ковектордың емес.
Жалпылау
Ішкі көбейтіндінің кез келген аксиомасы жеңілдетілуі мүмкін, нәтижесінде жалпыланған ұғымдар туындайды. Білінейлік және конъюгаттық симметрия сақталатын, бірақ оң анықтығы жеңілдетілген жағдайларда ішкі көбейтіндіге ең жақын жалпылаулар орын алады.
Дегенерацияланбаған конъюгациялық симметриялық нысандар
Сонымен қатар, жұптастырудың дегенерацияланбаған форма болуы талап етілуі мүмкін, яғни нөлдік емес кез келген үшін, тең болмауы керек; басқаша айтқанда, екілік кеңістікке индукцияланған бейнелеу инъективті болады. Бұл жалпылау дифференциалдық геометрияда маңызды: тангенциалдық кеңістіктері ішкі көбейтіндіге ие болған көптік Римандық көптік болып табылады, ал егер бұл дегенерацияланбаған конъюгаттық симметриялық формамен байланысты болса, онда көптік псевдо-Римандық көптік болып табылады. Сильвестрдің инерция заңы бойынша, әрбір ішкі көбейтінді векторлар жиынтығында оң салмақтары бар нүктелік көбейтіндіге эквивалентті болғандай, әрбір дегенерацияланбаған конъюгаттық симметриялық форма да векторлар жиынтығында нөлдік емес салмақтары бар нүктелік көбейтіндіге эквивалентті болады, ал оң және теріс салмақтардың саны тиісінше оң индекс және теріс индекс деп аталады. Минковский кеңістігіндегі векторлардың көбейтіндісі – бұл белгісіз ішкі көбейтіндінің мысалы, бірақ техникалық тұрғыдан алғанда, ол жоғарыдағы стандартты анықтама бойынша ішкі көбейтінді емес. Минковский кеңістігі төрт өлшемді және 3 және 1 индекстерге ие (оларға "+" және "−" тағайындамасы конвенцияларға байланысты өзгереді). Позитивтілікті пайдаланбайтын таза алгебралық тұжырымдар әдетте тек дегенерацияға (инъективті гомоморфизмге) сүйенеді және осылайша көбірек жағдайларда қолданылады.
Қарым-қатынас өнімдері
"Ішкі өнім" термині сыртқы өнімге қарама-қарсы, ол сәл көбірек жалпылама түсінік. Қарапайым тілмен айтқанда, координаталар бойынша ішкі көбейтінді – ковектор пен вектордың көбейтіндісі, нәтижесінде матрица (скаляр) алынады, ал сыртқы көбейтінді – вектор пен ковектордың көбейтіндісі, нәтижесінде матрица пайда болады. Сыртқы өнім әртүрлі өлшемдерде анықталады, ал ішкі өнім бірдей өлшемді талап етеді. Егер өлшемдері бірдей болса, онда ішкі өнім сыртқы өнімнің іздерін құрайды (із тек шаршы матрицалар үшін дұрыс анықталады). Шартты түрде айтқанда: "ішкі – көлденеңді тікке көбейту, нәтижесі қысқартылады, сыртқы – тікке көлденеңді көбейту, нәтижесі кеңейеді". Көбірек абстракциялағанда, сыртқы өнім – вектор мен ковекторды 1-ші дәрежелі сызықтық түрлендіруге (түрі (1, 1) қарапайым тензор) жіберуші билинеарлық бейнелеу, ал ішкі өнім – векторда ковекторды бағалау арқылы берілген билинеарлық бағалау бейнелеуі; домендік векторлық кеңістіктердің реті мұнда ковектор/вектор айырмашылығын көрсетеді. Ішкі өнім мен сыртқы өнімді ішкі және сыртқы өнімдермен шатастырмау керек, себебі олар векторлық өрістер мен дифференциалдық формалар бойынша, немесе жалпы алғанда сыртқы алгебра бойынша операциялар болып табылады. Әрі қарай күрделендіре түсетіні, геометриялық алгебрада ішкі көбейтінді мен сыртқы (Грасман) көбейтінді геометриялық көбейтіндіге (Клиффорд алгебрасындағы Клиффорд көбейтіндісі) біріктіріледі – ішкі көбейтінді екі векторды (1 векторды) скалярға (0 вектор) жібереді, ал сыртқы көбейтінді екі векторды бивекторға (2 вектор) жібереді, және осы контексте сыртқы көбейтінді көбінесе сыртқы көбейтінді деп аталады (немесе клин көбейтінді). Осы жағдайда ішкі көбейтіндіні скалярлық көбейтінді деп атау дұрыс, себебі қарастырылып отырған бұрмаланбаған квадраттық форманың оң мәнді болуы міндетті емес (ішкі көбейтінді болуы міндетті емес).