Введение
Скалярнозначная билинейная функция
In mathematics, a bilinear form is a bilinear map V × V → K on a vector space V (the elements of which are called vectors) over a field K (the elements of which are called scalars). In other words, a bilinear form is a function B : V × V → K that is linear in each argument separately:
1=B('u' + 'v', 'w') = B('u', 'w') + B('v', 'w') and 1=B(λ'u', 'v') = λB('u', 'v')
1=B('u', 'v' + 'w') = B('u', 'v') + B('u', 'w') and 1=B('u', λ'v') = λB('u', 'v')
The dot product on is an example of a bilinear form. The definition of a bilinear form can be extended to include modules over a ring, with linear maps replaced by module homomorphisms. When K is the field of complex numbers 'C', one is often more interested in sesquilinear forms, which are similar to bilinear forms but are conjugate linear in one argument.
В математике билинейная форма — это билинейное отображение V × V → K на векторном пространстве V (элементы которого называются векторами) над полем K (элементы которого называются скалярами). Другими словами, билинейная форма — это функция B : V × V → K, линейная по каждому аргументу в отдельности:
B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w) и B(λu, v) = λB(u, v)
B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w) и B(u, λv) = λB(u, v)
In mathematics, a bilinear form is a bilinear map V × V → K on a vector space V (the elements of which are called vectors) over a field K (the elements of which are called scalars). In other words, a bilinear form is a function B : V × V → K that is linear in each argument separately:
1=B('u' + 'v', 'w') = B('u', 'w') + B('v', 'w') and 1=B(λ'u', 'v') = λB('u', 'v')
1=B('u', 'v' + 'w') = B('u', 'v') + B('u', 'w') and 1=B('u', λ'v') = λB('u', 'v')
The dot product on is an example of a bilinear form. The definition of a bilinear form can be extended to include modules over a ring, with linear maps replaced by module homomorphisms. When K is the field of complex numbers 'C', one is often more interested in sesquilinear forms, which are similar to bilinear forms but are conjugate linear in one argument.
Скалярное произведение является примером билинейной формы. Определение билинейной формы можно расширить, включив модули над кольцом, при этом линейные отображения заменяются гомоморфизмами модулей. Когда K — поле комплексных чисел C, часто представляют больший интерес сесквилинейные формы, которые подобны билинейным формам, но являются сопряжённо линейными по одному аргументу.
In mathematics, a bilinear form is a bilinear map V × V → K on a vector space V (the elements of which are called vectors) over a field K (the elements of which are called scalars). In other words, a bilinear form is a function B : V × V → K that is linear in each argument separately:
1=B('u' + 'v', 'w') = B('u', 'w') + B('v', 'w') and 1=B(λ'u', 'v') = λB('u', 'v')
1=B('u', 'v' + 'w') = B('u', 'v') + B('u', 'w') and 1=B('u', λ'v') = λB('u', 'v')
The dot product on is an example of a bilinear form. The definition of a bilinear form can be extended to include modules over a ring, with linear maps replaced by module homomorphisms. When K is the field of complex numbers 'C', one is often more interested in sesquilinear forms, which are similar to bilinear forms but are conjugate linear in one argument.
Произведенная квадратная форма
Для любой билинеарной формы B : V × V → K существует соответствующая квадратная форма Q : V → K, определяемая как Q : V → K : v ↦ B(v, v). Когда char(K) ≠ 2, квадратная форма Q определяется симметричной частью билинеарной формы B и не зависит от антисимметричной части. В этом случае существует взаимно однозначное соответствие между симметричной частью билинеарной формы и квадратной формой, и уместно говорить о симметричной билинеарной форме, ассоциированной с квадратной формой. Когда char(K) = 2 и dim V > 1, это соответствие между квадратными формами и симметричными билинеарными формами перестаёт выполняться.
Рефлексивность и ортогональность
Билинейная форма B является рефлексивной тогда и только тогда, когда она либо симметрична, либо антисимметрична (чередующаяся). В случае отсутствия рефлексивности необходимо различать левую и правую ортогональность. В рефлексивном пространстве левый и правый радикалы совпадают и называются ядром или радикалом билинейной формы: это подпространство всех векторов, ортогональных каждому другому вектору. Вектор 'v', заданный матричным представлением x, принадлежит радикалу билинейной формы с матричным представлением A тогда и только тогда, когда Ax = 0 ⇔ Aᵀx = 0. Радикал всегда является подпространством V. Он тривиален тогда и только тогда, когда матрица A невырожденная, и, следовательно, тогда и только тогда, когда билинейная форма невырождена. Пусть W – подпространство. Определим ортогональное дополнение.
Для невырожденной формы на конечномерном пространстве отображение V/W → W^(⊥) биективно, и размерность W^(⊥) равна dim(V) − dim(W).
Отношение к тензорным произведениям
По универсальному свойству тензорного произведения существует каноническое соответствие между двулинейными формами на V и линейными отображениями V ⊗ V → K. Если B — двулинейная форма на V, то соответствующее линейное отображение задается выражением
В обратном направлении, если F : V ⊗ V → K — линейное отображение, то соответствующая двулинейная форма задается композицией F с двулинейным отображением V × V → V ⊗ V, которое отображает ('v', 'w') в 'v' ⊗ 'w'. Множество всех линейных отображений V ⊗ V → K является двойственным пространством V ⊗ V, поэтому двулинейные формы можно рассматривать как элементы (V ⊗ V)^* , которые (при конечномерном V) канонически изоморфны V^* ⊗ V^*. Аналогично, симметричные двулинейные формы можно рассматривать как элементы (Sym²V)^* (двойственное к второй симметричной степени V), а антисимметричные двулинейные формы — как элементы (Λ²V)^* ≃ Λ²V^* (вторая внешняя степень V^*). Если charK ≠ 2, то (Sym²V)^* ≃ Sym²(V^*).