Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Сызықтық емес жүйедегі мінез-құлық
Behavior in a nonlinear system
Математикада, екі өлшемді фазалық кеңістіктегі динамикалық жүйелерді зерттеуде, лимит цикл – фазалық кеңістіктегі жабық траектория, уақыт плюс шексіздікке немесе минус шексіздікке жақындағанда, кем дегенде бір траектория спираль тәрізді оған жақындайды. Мұндай мінез-құлық кейбір сызықтық емес жүйелерде кездеседі. Лимит циклдер көптеген нақты әлемдегі осцилляторлық жүйелердің мінез-құлқын модельдеу үшін қолданылған. Лимит циклдерін зерттеуді Анри Пуанкаре (1854–1912) бастады.
In mathematics, in the study of dynamical systems with two dimensional phase space, a limit cycle is a closed trajectory in phase space having the property that at least one other trajectory spirals into it either as time approaches infinity or as time approaches negative infinity. Such behavior is exhibited in some nonlinear systems. Limit cycles have been used to model the behavior of many real world oscillatory systems. The study of limit cycles was initiated by Henri Poincaré (1854–1912).
Қасиеттері
Джордан қисық теоремасы бойынша, кез келген жабық траектория жазықтықты екі аймаққа – қисықтың ішкі және сыртқы жағына – бөледі. Егер шекті цикл және оның ішіндегі траектория уақыт шексіздікке жақындағанда шекті циклға жақындаса, онда шекті циклдың маңындағы аймақ бар, ондағы барлық ішкі траекториялар уақыт шексіздікке жақындағанда шекті циклға жақындайды. Сәйкес тұжырым шекті циклға уақыт шексіздікке жақындағанда ішкі жақтан жақындайтын траектория үшін де, сыртқы жақтан жақындайтын траекториялар үшін де орындалады.
By the Jordan curve theorem, every closed trajectory divides the plane into two regions, the interior and the exterior of the curve. Given a limit cycle and a trajectory in its interior that approaches the limit cycle for time approaching , then there is a neighborhood around the limit cycle such that all trajectories in the interior that start in the neighborhood approach the limit cycle for time approaching The corresponding statement holds for a trajectory in the interior that approaches the limit cycle for time approaching , and also for trajectories in the exterior approaching the limit cycle.
Тұрақты, тұрақсыз және жартылай тұрақты шекті циклдер
Барлық көршілес траекториялар уақыт шексізге жақындаған кезде шекті циклға жақындаса, онда ол тұрақты немесе тартымды шекті цикл (ω шекті цикл) деп аталады. Егер керісінше, барлық көршілес траекториялар уақыт теріс шексізге жақындаған кезде оған жақындаса, онда ол тұрақсыз шекті цикл (α шекті цикл) болып табылады. Егер шекті циклға уақыт шексізге жақындаған кезде спираль тәрізді жақындайтын көршілес траектория, ал уақыт теріс шексізге жақындаған кезде оған спираль тәрізді жақындайтын тағы бір траектория болса, онда ол жартылай тұрақты шекті цикл деп аталады. Тұрақты емес, тұрақсыз немесе жартылай тұрақты емес шекті циклдер де бар: мысалы, көршілес траектория шекті циклға сыртынан жақындауы мүмкін, бірақ шекті циклдің ішкі жағына басқа циклдар тобы жақындайды (бірақ олар шекті циклдер болып табылмайды). Тұрақты шекті циклдер – тартымдылықтардың мысалы. Олар өздігінен сақталатын тербелістерді білдіреді: жабық траектория жүйенің мінсіз периодтық мінез-құлқын көрсетеді, ал осы жабық траекториядан кез келген шағын ауытқу жүйені оған қайта оралуға мәжбүр етеді, нәтижесінде жүйе шекті циклге жабысады.
In the case where all the neighboring trajectories approach the limit cycle as time approaches infinity, it is called a stable or attractive limit cycle (ω limit cycle). If instead, all neighboring trajectories approach it as time approaches negative infinity, then it is an unstable limit cycle (α limit cycle). If there is a neighboring trajectory which spirals into the limit cycle as time approaches infinity, and another one which spirals into it as time approaches negative infinity, then it is a semi stable limit cycle. There are also limit cycles that are neither stable, unstable nor semi stable: for instance, a neighboring trajectory may approach the limit cycle from the outside, but the inside of the limit cycle is approached by a family of other cycles (which would not be limit cycles). Stable limit cycles are examples of attractors. They imply self sustained oscillations: the closed trajectory describes the perfect periodic behavior of the system, and any small perturbation from this closed trajectory causes the system to return to it, making the system stick to the limit cycle.
Шекті циклдерді табу
Әрбір жабық траекторияның ішкі бөлігінде жүйенің тұрақты нүктесі болады, яғни Бендикссон-Дулак теоремасы және Пуанкаре-Бендикссон теоремасы екі өлшемді сызықтық емес динамикалық жүйелердің шекті циклдарының жоқтығын немесе болуын сәйкесінше болжайды.
Every closed trajectory contains within its interior a stationary point of the system, i. e. a point where The Bendixson–Dulac theorem and the Poincaré–Bendixson theorem predict the absence or existence, respectively, of limit cycles of two dimensional nonlinear dynamical systems.
Ашық мәселелер
Жалпы, шекті циклдерді табу өте қиын мәселе. Жазықтықтағы полиномдық дифференциалдық теңдеудің шекті циклдерінің саны Хилберттің он алтыншы мәселесінің екінші бөлігінің негізгі нысаны болып табылады. Мысалы, екі айнымалының квадраттық полиномдарынан тұратын екі компоненті бар жазықтықтағы жүйенің 4-тен артық шекті циклы бола ма, жоқ па, әлі белгісіз.
Finding limit cycles, in general, is a very difficult problem. The number of limit cycles of a polynomial differential equation in the plane is the main object of the second part of Hilbert's sixteenth problem. It is unknown, for instance, whether there is any system in the plane where both components of are quadratic polynomials of the two variables, such that the system has more than 4 limit cycles.