Динамикалық жүйелер: уақыт бойынша нүктенің өзгеруінің математикалық моделі

Динамикалық жүйелер: кеңістіктегі нүктенің уақытқа қатысты математикалық модельдеуі. Теңдеулер, теориялар, күй және уақыт өлшемі талданды.

17 мин оқу

100%

Дереккөз: Dynamical system — Wikipedia

Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.

Мазмұны

Кіріспе

Математикалық модель: кеңістіктегі нүктенің уақытқа тәуелділігі, динамикалық жүйелердің жалпы аспектілері

Математикада динамикалық жүйе – бұл функцияның қоршаған кеңістіктегі нүктенің уақытқа тәуелділігін сипаттайтын жүйе, мысалы, параметрлік қисық. Мысалдарға сағат маятнигінің қозғалысын, құбырдағы су ағынын, ауадағы бөлшектердің кездейсоқ қозғалысын және көлдегі балықтар санын сипаттайтын математикалық модельдер жатады. Ең жалпы анықтама кеңістіктің әртүрлі таңдауына және уақыттың қалай өлшенетіндігіне мүмкіндік беру арқылы математикадағы қалыпты дифференциалдық теңдеулер және эргодикалық теория сияқты бірнеше ұғымдарды біріктіреді. Уақыт бүтін сандармен, нақты немесе кешенді сандармен өлшенуі мүмкін, немесе физикалық бастауының естелігін жоғалтып, жалпы алгебралық нысан болуы мүмкін, ал кеңістік – оның үстіне анықталған тегіс кеңістік-уақыт құрылымының қажеті жоқ, көптүрлі немесе жай жиынтық болуы мүмкін. Кез келген уақытта динамикалық жүйеде тиісті күй кеңістігіндегі нүктені көрсететін күй болады. Бұл күй көбінесе нақты сандардың жиынтығымен немесе геометриялық көптүрліліктегі вектормен беріледі. Динамикалық жүйенің эволюциялық ережесі – қазіргі күйден қандай болашақ күйлер туындайтынын сипаттайтын функция. Көбінесе функция детерминистік болады, яғни берілген уақыт аралығы үшін ағымдағы күйден тек бір болашақ күй ғана туындайды. Дегенмен, кейбір жүйелер стохастикалық болып табылады, яғни кездейсоқ оқиғалар да күй айнымалыларының эволюциясына әсер етеді. Физикада динамикалық жүйе "уақыт өте келе күйі өзгеретін бөлшектер немесе бөлшектер жиыны" ретінде сипатталады, сондықтан ол уақыт туындылары бар дифференциалдық теңдеулерге бағынады. Жүйенің болашақ мінез-құлқы туралы болжам жасау үшін мұндай теңдеулердің аналитикалық шешімі немесе компьютерлік модельдеу арқылы уақыт бойынша интегралдануы жүзеге асырылады. Динамикалық жүйелерді зерттеу – динамикалық жүйелер теориясының негізгі саласы, ол математика, физика, биология, химия, инженерия, экономика, тарих және медицина сияқты көптеген салаларда қолданылады. Динамикалық жүйелер хаос теориясының, логистикалық карта динамикасының, бифуркация теориясының, өзін-өзі құрастыру және өзін-өзі ұйымдастыру процестерінің және хаос шегінің негізгі бөлігі болып табылады.

In mathematics, a dynamical system is a system in which a function describes the time dependence of a point in an ambient space, such as in a parametric curve. Examples include the mathematical models that describe the swinging of a clock pendulum, the flow of water in a pipe, the random motion of particles in the air, and the number of fish each springtime in a lake. The most general definition unifies several concepts in mathematics such as ordinary differential equations and ergodic theory by allowing different choices of the space and how time is measured. Time can be measured by integers, by real or complex numbers or can be a more general algebraic object, losing the memory of its physical origin, and the space may be a manifold or simply a set, without the need of a smooth space time structure defined on it. At any given time, a dynamical system has a state representing a point in an appropriate state space. This state is often given by a tuple of real numbers or by a vector in a geometrical manifold. The evolution rule of the dynamical system is a function that describes what future states follow from the current state. Often the function is deterministic, that is, for a given time interval only one future state follows from the current state. However, some systems are stochastic, in that random events also affect the evolution of the state variables. In physics, a dynamical system is described as a "particle or ensemble of particles whose state varies over time and thus obeys differential equations involving time derivatives". In order to make a prediction about the system's future behavior, an analytical solution of such equations or their integration over time through computer simulation is realized. The study of dynamical systems is the focus of dynamical systems theory, which has applications to a wide variety of fields such as mathematics, physics, biology, chemistry, engineering, economics, history, and medicine. Dynamical systems are a fundamental part of chaos theory, logistic map dynamics, bifurcation theory, the self assembly and self organization processes, and the edge of chaos concept.

Шолу

Динамикалық жүйе түсінігі Ньютон механикасынан бастау алады. Онда, басқа да табиғаттану және инженериялық пәндердегідей, динамикалық жүйелердің эволюциялық ережесі – бұл жүйенің күйін тек қысқа мерзімге ғана болашаққа болжайтын жасырын қатынас. (Бұл қатынас дифференциалдық теңдеу, айырмашылық теңдеу немесе басқа уақыт шкаласы болуы мүмкін.) Болашақтағы барлық уақыт үшін жүйенің күйін анықтау үшін қатынасты көп рет қайталау қажет – әр қайталағанда уақытты аз ғана жылжыту. Бұл қайталау процедурасы жүйені шешу немесе жүйені интеграциялау деп аталады. Егер жүйені шешуге болады болса, онда бастапқы нүкте берілген жағдайда оның болашақ барлық позициясын, траектория немесе орбита деп аталатын нүктелер жиынтығын анықтау мүмкін. Компьютерлер пайда болғанға дейін орбита табу үшін күрделі математикалық әдістер қажет болды және оны динамикалық жүйелердің шағын класы үшін ғана іске асыруға болады. Электрондық есептеу машиналарында іске асырылған сандық әдістер динамикалық жүйенің орбиталарын анықтау міндетін жеңілдетті. Жақсы түсініктің үшін қарапайым динамикалық жүйелерде траекторияны білу жеткілікті, бірақ көптеген динамикалық жүйелер жеке траекториялар тұрғысынан түсіну үшін тым күрделі. Қиындықтар мына себептерден туындайды: зерттелетін жүйелер шамамен ғана белгілі болуы мүмкін – жүйенің параметрлері дәл белгісіз болуы мүмкін немесе теңдеулерде кейбір мүшелер жоқ болуы мүмкін. Қолданылған шамалау сандық шешімдердің дұрыстығына және маңыздылығына күмән тудырады. Осы мәселелерді шешу үшін динамикалық жүйелерді зерттеуде тұрақтылықтың бірнеше түсініктері енгізілді, мысалы, Ляпунов тұрақтылығы немесе құрылымдық тұрақтылық. Динамикалық жүйенің тұрақтылығы жүйенің модельдер класы немесе бастапқы шарттары үшін траекториялардың эквивалентті болатынын білдіреді. Орбиталарды салыстыру операциясы олардың эквиваленттілігін анықтау үшін тұрақтылықтың әртүрлі түсініктеріне байланысты өзгереді. Траекторияның типі жеке траекториядан маңыздырақ болуы мүмкін. Кейбір траекториялар периодтық болуы мүмкін, ал басқалары жүйенің көптеген түрлі күйлері арқылы шарлап өтуі мүмкін. Көптеген қолданыстарда осы сыныптарды санау немесе жүйені бір сыныптың ішінде ұстау қажет. Барлық мүмкін траекторияларды жіктеу динамикалық жүйелерді сапалық зерттеуге әкелді, яғни координаттардың өзгеруіне байланысты өзгермейтін қасиеттерді зерттеуге. Сызықтық динамикалық жүйелер және бір күйді сипаттау үшін екі сан қажет болатын жүйелер – орбиталардың мүмкін кластары түсінілетін динамикалық жүйелердің мысалы. Траекториялардың параметрге байланысты өзгеруі қолданыс үшін қажет болуы мүмкін. Параметр өзгергенде динамикалық жүйелердің динамикалық жүйенің сапалық мінез-құлқы өзгеретін бифуркациялық нүктелері болуы мүмкін. Мысалы, жүйе тек периодтық қозғалыстардан сұйықтықтың турбуленттілігіне өту сияқты, күрт өзгеретін мінез-құлыққа өтуі мүмкін. Жүйенің траекториясы кездейсоқ сияқты көрінуі мүмкін. Мұндай жағдайларда өте ұзақ траекторияны немесе көптеген траекторияларды пайдалану арқылы орташа мәндерді есептеу қажет болуы мүмкін. Орташа мәндер эргодикалық жүйелер үшін жақсы анықталған, ал гиперболалық жүйелер үшін одан да егжей-тегжейлі түсініктер жасалған. Динамикалық жүйелердің ықтималдық аспектілерін түсіну статистикалық механиканың және хаостың негізін қалауға көмектесті.

The concept of a dynamical system has its origins in Newtonian mechanics. There, as in other natural sciences and engineering disciplines, the evolution rule of dynamical systems is an implicit relation that gives the state of the system for only a short time into the future. (The relation is either a differential equation, difference equation or other time scale.) To determine the state for all future times requires iterating the relation many times—each advancing time a small step. The iteration procedure is referred to as solving the system or integrating the system. If the system can be solved, then, given an initial point, it is possible to determine all its future positions, a collection of points known as a trajectory or orbit. Before the advent of computers, finding an orbit required sophisticated mathematical techniques and could be accomplished only for a small class of dynamical systems. Numerical methods implemented on electronic computing machines have simplified the task of determining the orbits of a dynamical system. For simple dynamical systems, knowing the trajectory is often sufficient, but most dynamical systems are too complicated to be understood in terms of individual trajectories. The difficulties arise because:
The systems studied may only be known approximately—the parameters of the system may not be known precisely or terms may be missing from the equations. The approximations used bring into question the validity or relevance of numerical solutions. To address these questions several notions of stability have been introduced in the study of dynamical systems, such as Lyapunov stability or structural stability. The stability of the dynamical system implies that there is a class of models or initial conditions for which the trajectories would be equivalent. The operation for comparing orbits to establish their equivalence changes with the different notions of stability. The type of trajectory may be more important than one particular trajectory. Some trajectories may be periodic, whereas others may wander through many different states of the system. Applications often require enumerating these classes or maintaining the system within one class. Classifying all possible trajectories has led to the qualitative study of dynamical systems, that is, properties that do not change under coordinate changes. Linear dynamical systems and systems that have two numbers describing a state are examples of dynamical systems where the possible classes of orbits are understood. The behavior of trajectories as a function of a parameter may be what is needed for an application. As a parameter is varied, the dynamical systems may have bifurcation points where the qualitative behavior of the dynamical system changes. For example, it may go from having only periodic motions to apparently erratic behavior, as in the transition to turbulence of a fluid. The trajectories of the system may appear erratic, as if random. In these cases it may be necessary to compute averages using one very long trajectory or many different trajectories. The averages are well defined for ergodic systems and a more detailed understanding has been worked out for hyperbolic systems. Understanding the probabilistic aspects of dynamical systems has helped establish the foundations of statistical mechanics and of chaos.

Тарих

Көптеген адамдар француз математигі Анри Пуанкарені динамикалық жүйелердің негізін қалаушы деп санайды. Пуанкаре «Аспан механикасының жаңа әдістері» (1892–1899) және «Аспан механикасы бойынша лекциялар» (1905–1910) атты екі классикалық монография жариялады. Онда ол өзінің зерттеулерінің нәтижелерін үш дене мәселесіне сәтті қолданды және шешімдердің мінез-құлқын егжей-тегжейлі зерттеді (жиілік, тұрақтылық, асимптотикалық сипаттамалары және т.б.). Бұл еңбектерде Пуанкаренің қайталану теоремасы енгізілген, ол белгілі бір жүйелер жеткілікті ұзақ, бірақ шекті уақыттан кейін бастапқы күйге өте жақын күйге оралатынын көрсетеді. Александр Ляпунов көптеген маңызды жуықтау әдістерін жасады. Оның 1899 жылы жасаған әдістері, қарапайым дифференциалдық теңдеулер жиынтығының тұрақтылығын анықтауға мүмкіндік береді. Ол динамикалық жүйенің тұрақтылығының қазіргі заманғы теориясын құрды. 1913 жылы Джордж Дэвид Биркофф Пуанкаренің «Соңғы геометриялық теоремасын» – үш дене мәселесінің ерекше жағдайын дәлелдеді, бұл нәтиже оны әлемге әйгілі етті. 1927 жылы ол «Динамикалық жүйелер» атты еңбегін жариялады. Биркоффтың ең маңызды нәтижесі – 1931 жылы ашылған, қазіргі эргодикалық теорема деп аталатын теорема. Физикадан алынған эргодикалық гипотезаны өлшемдер теориясымен үйлестіре отырып, бұл теорема статистикалық механиканың негізгі мәселесін, кем дегенде, принципиалды түрде шешті. Эргодикалық теорема динамикаға да әсер етті. Стивен Смайл да маңызды жетістіктерге жетті. Оның алғашқы үлесі – динамикалық жүйелердегі маңызды зерттеулерді бастаған Смальдің атқарушысы болды. Сондай-ақ, ол көптеген басқалар орындаған зерттеу бағдарламасын белгіледі. Олександр Миколайович Шарковський 1964 жылы дискретті динамикалық жүйелердің кезеңдері туралы Шарковський теоремасын жасады. Теореманың бірі – егер нақты түзудегі дискретті динамикалық жүйеде 3 кезеңдік нүкте болса, онда оның басқа барлық кезеңдік нүктелері де болуы керек. 20-ғасырдың соңында бөлшектік дифференциалдық теңдеулерге динамикалық жүйелік көзқарас кең таралды. Палестиналық инженер-механик Али Х. Найфех механикалық және инженерлік жүйелерде сызықтық емес динамиканы қолданды. Оның қолданбалы сызықтық емес динамикадағы пионерлік жұмысы күнделікті өмірде кездесетін машиналар мен құрылымдарды – мысалы, кемелерді, крандарды, көпірлерді, ғимараттарды, көкжиегін, реактивтік қозғалтқыштарды, зымырандық қозғалтқыштарды, ұшақтарды және ғарыш кемелерін салу мен күтіп ұстауға үлкен әсер етті.

Many people regard French mathematician Henri Poincaré as the founder of dynamical systems. Poincaré published two now classical monographs, "New Methods of Celestial Mechanics" (1892–1899) and "Lectures on Celestial Mechanics" (1905–1910). In them, he successfully applied the results of their research to the problem of the motion of three bodies and studied in detail the behavior of solutions (frequency, stability, asymptotic, and so on). These papers included the Poincaré recurrence theorem, which states that certain systems will, after a sufficiently long but finite time, return to a state very close to the initial state. Aleksandr Lyapunov developed many important approximation methods. His methods, which he developed in 1899, make it possible to define the stability of sets of ordinary differential equations. He created the modern theory of the stability of a dynamical system. In 1913, George David Birkhoff proved Poincaré's "Last Geometric Theorem", a special case of the three body problem, a result that made him world famous. In 1927, he published his Dynamical Systems. Birkhoff's most durable result has been his 1931 discovery of what is now called the ergodic theorem. Combining insights from physics on the ergodic hypothesis with measure theory, this theorem solved, at least in principle, a fundamental problem of statistical mechanics. The ergodic theorem has also had repercussions for dynamics. Stephen Smale made significant advances as well. His first contribution was the Smale horseshoe that jumpstarted significant research in dynamical systems. He also outlined a research program carried out by many others. Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky developed Sharkovsky's theorem on the periods of discrete dynamical systems in 1964. One of the implications of the theorem is that if a discrete dynamical system on the real line has a periodic point of period 3, then it must have periodic points of every other period. In the late 20th century the dynamical system perspective to partial differential equations started gaining popularity. Palestinian mechanical engineer Ali H. Nayfeh applied nonlinear dynamics in mechanical and engineering systems. His pioneering work in applied nonlinear dynamics has been influential in the construction and maintenance of machines and structures that are common in daily life, such as ships, cranes, bridges, buildings, skyscrapers, jet engines, rocket engines, aircraft and spacecraft.

Геометриялық анықтамасы

Геометриялық анықтама бойынша, динамикалық жүйе – уақыт домені болып табылатын түпл (tuple) болып табылады. Уақыт домені үшін көптеген таңдаулар бар, әдетте нақты немесе бүтін сандар, мүмкін теріс емес болумен шектелген. – көптік, яғни жергілікті түрде Банах кеңістігі немесе Евклид кеңістігі, ал дискретті жағдайда – граф. f – эволюция ережесі t → fₜ (мұндағы t – уақыт) және fₜ – көптіктің өзіне диффеоморфизмі. Демек, f – уақыт доменінен көптіктің өзіне диффеоморфизмдер кеңістігіне «тегіс» бейнелеу. Басқаша айтқанда, f(t) – уақыт доменіндегі әрбір t үшін диффеоморфизм.

Нақты динамикалық жүйе

Нақты динамикалық жүйе, нақты уақыт динамикалық жүйесі, үздіксіз уақыт динамикалық жүйесі немесе ағын – (T, M, Φ) түйіндемесі, мұнда T – нақты сандар R жиындағы ашық аралық, M – Банах кеңістігіне жергілікті түрде диффеоморфты көптік, ал Φ – үздіксіз функция. Егер Φ үздіксіз дифференциалданатын болса, онда жүйе дифференциалданатын динамикалық жүйе деп аталады. Егер M көптігі Rn-ге жергілікті түрде диффеоморфты болса, динамикалық жүйе шекті өлшемді болады; әйтпесе, динамикалық жүйе шексіз өлшемді болады. Бұл симплектикалық құрылымды талас етпейді. Егер T нақты сандар жиыны ретінде қарастырылса, динамикалық жүйе жаһандық немесе ағын деп аталады; ал егер T теріс емес нақты сандармен шектелсе, онда динамикалық жүйе жартылай ағын болып табылады.

Дискретті динамикалық жүйе

Дискретті динамикалық жүйе, дискретті уақыт динамикалық жүйесі – (T, M, Φ) түйін, мұнда M – Банах кеңістігіне жергілікті түрде диффеоморфты көпқырлы, ал Φ – функция. Егер T бүтін сандар ретінде қарастырылса, онда ол каскад немесе бейнелеу болып табылады. Егер T теріс емес бүтін сандармен шектелсе, онда жүйе жартылай каскад деп аталады.

Ұялы автомат

Ұялы автомат – (T, M, Φ) түплігі, мұнда T – бүтін сандар немесе жоғары өлшемді бүтін сандар торсы сияқты тор, M – бүтін санды тордан (бір немесе бірнеше өлшемді) шекті жиынтыққа дейінгі функциялар жиыны, ал Φ – (жергілікті түрде анықталған) эволюция функциясы. Осылайша, ұялы автоматтар динамикалық жүйелер болып табылады. M-дегі тор – "кеңістік" торы, ал T-дегі тор – "уақыт" торы.

Көп өлшемді жалпылау

Динамикалық жүйелер көбінесе уақыт ретінде қарастырылатын бір тәуелсіз айнымалы арқылы анықталады. Бірақ, бірнеше тәуелсіз айнымалылар арқылы анықталатын жүйелердің де кеңірек класы бар, олар көп өлшемді жүйелер деп аталады. Мұндай жүйелер, мысалы, кескінді өңдеу сияқты модельдеулер үшін пайдалы.

Динамикалық жүйені тығыздату

Жергілікті тығыз және Хаусдорф топологиялық кеңістіктегі (R, X, Φ) жаһандық динамикалық жүйе берілген болса, Φ-ның X кеңістігінің бір нүктелік тығыздығы X* -қа дейінгі үздіксіз кеңейтуін зерттеу көбінесе пайдалы болады. Түпнұсқалық жүйенің дифференциалдық құрылымын жоғалтсақ та, енді жаңа жүйені (R, X*, Φ*) талдау үшін тығыздық аргументтерін қолдана аламыз. Тығыз динамикалық жүйелерде кез келген орбитаның шекті жиыны бос емес, тығыз және жай байланысқан болады.

Өлшемнің теориялық анықтамасы

Динамикалық жүйе формальды түрде өлшемді сақтайтын трансформация ретінде анықталады, яғни (T, (X, Σ, μ), Φ) үштігі. Мұнда T – моноид (әдетте теріс емес бүтін сандар), X – жиын, ал (X, Σ, μ) – ықтималдық кеңістік, яғни Σ – X жиынындағы сигма-алгебра, ал μ – (X, Σ) жұбындағы шекті өлшем. Φ: X → X картасы Σ-өлшенетін болады, егер және тек қана, кез келген σ ∈ Σ үшін, Φ⁻¹(σ) ∈ Σ болса. Φ картасы өлшемді сақтайды, егер және тек қана, кез келген σ ∈ Σ үшін, μ(Φ⁻¹(σ)) = μ(σ) болса. Жоғарыда айтылғандарды біріктіре келе, Φ картасы X жиынының өлшемді сақтайтын трансформациясы деп аталады, егер ол X-тен өзіне бейнелеу болса, Σ-өлшенетін болса және өлшемді сақтайтын болса. Мұндай Φ үшін (T, (X, Σ, μ), Φ) үштігі динамикалық жүйе деп анықталады. Φ картасы динамикалық жүйенің уақыт бойынша эволюциясын көрсетеді. Осылайша, дискретті динамикалық жүйелер үшін кез келген бүтін n үшін итерациялар зерттеледі. Үздіксіз динамикалық жүйелер үшін Φ картасы шекті уақыт бойынша эволюция картасы ретінде қарастырылады және құрылысы күрделірек.

Геометриялық анықтауға қатысты

Өлшемдік теориялық анықтама, өлшемді сақтайтын трансформацияның бар екенін қабылдайды. Кез келген эволюциялық ережемен көптеген инвариантты өлшемдер байланыстырылуы мүмкін. Егер динамикалық жүйе дифференциалдық теңдеулер жүйесімен берілсе, тиісті өлшемді анықтау қажет. Бұл дифференциалдық теңдеулерден басталатын эргодикалық теорияны дамытуды қиындатады, сондықтан эргодикалық теория ішінде өлшемді таңдауды айналып өтетін және таңдау жасалған деп есептейтін, динамикалық жүйелерге негізделген анықтама болуы ыңғайлы. Жақсы түсінікті конструкция (кейде Крылов-Боголюбов теоремасы деп аталады) жүйелердің кең класы үшін динамикалық жүйенің эволюциялық ережесін өлшемді сақтайтын трансформацияға айналдыру үшін өлшемді құруға болатынын көрсетеді. Құрылымда, күй кеңістігінің берілген өлшемі траекторияның болашақ нүктелерінің барлығы бойынша қосылады, бұл инварианттылықты қамтамасыз етеді. Кейбір жүйелерде табиғи өлшем болады, мысалы, Гамильтондық жүйелердегі Лиувилл өлшемі, Гамильтондық жүйенің периодтық орбиталарындағы өлшемдер сияқты басқа инвариантты өлшемдерге қарағанда артықшылыққа ие. Хаостық диссипативтік жүйелер үшін инвариантты өлшемді таңдау техникалық тұрғыдан қиын. Өлшем аттракторда қолдау көрсетуі керек, бірақ аттракторлардың Лебег өлшемі нөлге тең, ал инвариантты өлшемдер Лебег өлшеміне қатысты ерекше болуы керек. Фазалық кеңістіктің кішкентай аймағы уақыт бойынша эволюция кезінде тарылады. Гиперболалық динамикалық жүйелер үшін Синай-Рюэлл-Боуэн өлшемдері табиғи таңдау болып көрінеді. Олар динамикалық жүйенің тұрақты және тұрақсыз манифольдтарының геометриялық құрылымы бойынша құрылады; олар кішкентай бұзылулар кезінде физикалық тұрғыдан дұрыс әрекет етеді; және олар гиперболалық жүйелердің байқалған көптеген статистикалық ерекшеліктерін түсіндіреді.

Сызықтық динамикалық жүйелер

Сызықтық динамикалық жүйелер қарапайым функциялар арқылы шешіледі және барлық траекториялардың мінез-құлқы жіктеледі. Сызықтық жүйеде фазалық кеңістік N өлшемді Евклид кеңістігі болып табылады, сондықтан фазалық кеңістіктегі кез келген нүкте N саннан тұратын вектор ретінде бейнелене алады. Сызықтық жүйелерді талдауға болады, себебі олар суперпозиция принципін қанағаттандырады: егер u(t) және w(t) векторлық өріс үшін дифференциалдық теңдемені қанағаттандырса (бірақ міндетті түрде бастапқы шарты емес), онда u(t) + w(t) да соны қанағаттандырады.

Жергілікті динамика

Динамикалық жүйелердің сапалық қасиеттері координаттардың тегіс өзгеруі кезінде өзгермейді (кейде бұл сапалық сипаттаманың анықтамасы ретінде алынады): векторлық өрістің ерекше нүктесі (v(x) = 0 болатын нүкте) тегіс түрлендірулерде ерекше нүкте болып қалады; периодтық орбита – фазалық кеңістіктегі цикл және фазалық кеңістіктің тегіс деформациялары оны цикл ретінде өзгерте алмайды. Динамикалық жүйенің фазалық кеңістігінің құрылымын ерекше нүктелер мен периодтық орбиталардың маңында жақсы түсінуге болады. Динамикалық жүйелерді сапалық зерттеуде, динамикалық жүйені мүмкіндігінше қарапайым ететін координаттардың өзгеруі бар екенін көрсету қажет (әдетте нақты көрсетілмейді, бірақ есептеуге болады).

Түзету

Фазалық кеңістіктің көптеген кішігірім аймақтарын өте қарапайым етуге болады. Егер y нүктесінде векторлық өріс v(y) ≠ 0 болса, онда y нүктесінің маңындағы аймақ үшін координаттарды түрлендіру арқылы векторлық өріс бірдей шамадағы параллель векторлардың тізбегіне айналады. Бұл түзету теоремасы деп аталады. Түзету теоремасы бойынша, ерекше нүктелерден алыс, кішкентай аймақтағы нүктенің динамикасы түзу сызық болады. Кейде аймақты бірнеше аймақты тігіп біріктіру арқылы кеңейтуге болады, және егер бұл M фазалық кеңістігінде орындалса, динамикалық жүйе интегралданады. Көп жағдайда аймақты фазалық кеңістіктің барлық бөлігіне дейін кеңейту мүмкін емес. Векторлық өрісте (v(x) = 0 болатын) ерекше нүктелер болуы мүмкін; немесе кейбір нүктеге жақындаған сайын аймақтар кішірейе түсуі мүмкін. Тағы бір себебі – жаһандық шектеу, онда траектория бір аймақтан басталып, басқа аймақтар тізбегін аралап, бастапқы аймаққа қайта оралады. Егер орбита келесі айналымда фазалық кеңістікті басқаша араласа, онда векторлық өрісті аймақтар тізбегінде түзету мүмкін емес.

Периодикалық орбиталарға жақын

Жалпы, периодты орбитаның маңында түзету теоремасын қолдану мүмкін емес. Пуанкаре кезеңдік орбитаға жақын талдауды картаны талдауға түрлендіретін тәсілді жасады. γ орбитасындағы x0 нүктесін таңдап, осы маңайдағы v(x0)-ға перпендикуляр фазалық кеңістіктегі нүктелерді қарастырайық. Бұл нүктелер орбитаның S(γ, x0) Пуанкаре қимасын құрайды. Ағым енді картаны анықтайды, яғни Пуанкаре картасы F: S → S, S-тен басталып, S-ке қайта оралатын нүктелер үшін. Бұл нүктелердің бәріне бірдей уақыт керек болмайды, бірақ уақыт x0 нүктесіне жету уақытына жақын болады. Периодтық орбитаның Пуанкаре қимасымен қиылысуы Пуанкаре картасының F тұрақты нүктесі болып табылады. Аударма арқылы нүктені x = 0 деп есептеуге болады. Картаның Тейлор қатары F(x) = J · x + O(x2) түрінде жазылады, сондықтан h координаттарының өзгеруі F-ті оның сызықтық бөлігіне дейін ықшамдауы мүмкін. Бұл конъюгация теңдеуі деп аталады. Бұл теңдеудің орындалу шартын табу динамикалық жүйелерді зерттеудегі маңызды міндеттердің бірі болды. Пуанкаре алдымен барлық функциялар аналитикалық деп есептеп, осы мәселеге кірісіп, осы процесте резонанссыз жағдайды ашты. Егер λ1, …, λν – J матрицасының өзіндік мәндері болса, онда олар резонансты болады, егер бір өзіндік мән екінші немесе одан да көп өзіндік мәндердің бүтін сандық сызықтық комбинациясы болса. λi – Σ (басқа өзіндік мәндердің еселіктері) түріндегі мүшелер h функциясының бөлімінде пайда болғандықтан, резонанссыз жағдай кішкентай бөлгіштер мәселесі деп те аталады.

Конъюгация нәтижелері

Конъюгация теңдеуінің шешімінің болуына қатысты нәтижелер J-дің өзіндік мәндеріне және h функциясынан қажетті тегістік деңгейіне байланысты. J-дің ешқандай арнайы симметриясы болуы міндетті емес, сондықтан оның өзіндік мәндері көбінесе комплекс сандар болады. Егер J-дің өзіндік мәндері бірлік шеңберде болмаса, F функциясының x0 тұрақты нүктесі маңындағы динамика гиперболалық деп аталады, ал егер өзіндік мәндері бірлік шеңберде және комплекс болса, динамика эллипстік деп аталады. Гиперболалық жағдайда Хартман-Гробман теоремасы картаның тұрақты нүктесінің айналасын J · x сызықтық картасына бейнелейтін үздіксіз функцияның болу шарттарын анықтайды. Гиперболалық жағдай құрылымдық тұрақтылыққа да ие. Векторлық өрістегі шағын өзгерістер Пуанкаре картасында шағын өзгерістерге ғана әкеледі, ал бұл шағын өзгерістер J-дің өзіндік мәндерінің комплекс жазықтағы орнындағы шағын өзгерістерде көрінеді, яғни карта әлі де гиперболалық екенін көрсетеді. Колмогоров-Арнольд-Мозер (КАМ) теоремасы эллипстік нүкте маңындағы мінез-құлқы туралы мәлімет береді.

Бифуркация теориясы

Егер эволюциялық карта Φt (немесе одан туындаған векторлық өріс) μ параметріне тәуелді болса, фазалық кеңістіктің құрылымы да осы параметрге тәуелді болады. Шағын өзгерістер μ0 ерекше мәнге жеткенге дейін фазалық кеңістікте сапалық өзгерістер тудырмауы мүмкін. Осы нүктеде фазалық кеңістік сапалық түрде өзгереді және динамикалық жүйе бифуркацияға ұшырайды деп айтылады. Бифуркация теориясы фазалық кеңістіктегі құрылымды (әдетте, тұрақты нүкте, периодтық орбита немесе инвариантты тор) қарастырады және оның мінез-құлқын μ параметрінің функциясы ретінде зерттейді. Бифуркация нүктесінде құрылым өз тұрақтылығын өзгерте алады, жаңа құрылымдарға бөлінеді немесе басқа құрылымдармен бірігуі мүмкін. Карталардың Тейлор қатары арқылы жуықтауын және координаттардың өзгеруімен жойылуы мүмкін айырмашылықтарды түсіну арқылы динамикалық жүйелердің бифуркацияларын жіктеуге болады. Fμ жүйелік отбасының гиперболалық x0 тұрақты нүктесінің бифуркациялары бифуркация нүктесінде есептелген жүйенің DFμ(x0) бірінші туындысының өзіндік мәндерімен сипатталуы мүмкін. Карта үшін бифуркация DFμ-ның бірлік шеңберде өзіндік мәндері болған кезде пайда болады. Ағым үшін ол қиял осінде өзіндік мәндер болған кезде пайда болады. Қосымша ақпарат алу үшін Бифуркация теориясы туралы мақаланы қараңыз. Кейбір бифуркациялар фазалық кеңістікте өте күрделі құрылымдарға әкелуі мүмкін. Мысалы, Руэль-Такенс сценарийі периодтық орбитаның торға және тордың таңғажайып тартымдылыққа қалай бифуркацияланатынын сипаттайды. Тағы бір мысалда, Фейгенбаумның кезеңді екі еселеуі тұрақты периодтық орбитаның кезеңді екі еселеудің бірнеше бифуркациясынан қалай өтетінін сипаттайды.

Эргодикалық жүйелер

Көптеген динамикалық жүйелерде жүйе координаталарын фазалық кеңістіктегі көлем (әдетте ν өлшемді көлем) өзгермейтін етіп таңдау мүмкін. Бұл Ньютон заңдарынан алынған механикалық жүйелерде, егер координаталар – орын және импульс болса және көлем (орын) × (импульс) бірліктерімен өлшенетін болса, орындалады. Ағын А жиынының нүктелерін Φt(A) нүктелеріне айналдырады және фазалық кеңістіктің инварианттығы дегеніміз – берілген координатаға сәйкес (жалпыланған) импульс табу мүмкіндігі, соның салдарынан ағын көлемді сақтайды. Көлем Лиувилл өлшемімен есептеледі. Гамильтондық жүйеде бастапқы жағдайдан орын және импульстің барлық мүмкін конфигурацияларына жету мүмкін емес. Энергия сақталуының арқасында бастапқы жағдаймен бірдей энергияға ие күйлер ғана қолжетімді болады. Бірдей энергиясы бар күйлер энергиялық қабық Ω құрайды, фазалық кеңістіктің ішкі жиыны. Лиувилл өлшемін пайдалана отырып есептелген энергиялық қабықтың көлемі эволюция кезінде сақталады. Ағын көлемді сақтайтын жүйелер үшін Пуанкаре қайталану теоремасын ашты: фазалық кеңістікте шекті Лиувилл көлемі бар деп есептеңіз және F – фазалық кеңістіктің көлемін сақтайтын түрлендіру, ал A – фазалық кеңістіктің кіші жиыны болсын. Содан кейін A жиынының дерлік барлық нүктелері A жиынына шексіз көп рет қайта оралады. Пуанкаре қайталану теоремасын Зермело Болцманның соқтығысқан атомдардың динамикалық жүйесіндегі энтропияның өсуіне қарсылық білдіру үшін қолданды. Болцманның жұмысында туындаған сұрақтардың бірі – уақыт бойынша алынған орташа шама мен кеңістік бойынша алынған орташа шама арасындағы мүмкін теңдік, ол эргодикалық гипотеза деп аталады. Гипотезаға сәйкес, A аймағындағы траекторияның өткізген уақытының ұзақтығы vol(A)/vol(Ω) тең. Эргодикалық гипотеза статистикалық механиканы дамыту үшін қажетті маңызды қасиет емес екені анықталды және физикалық жүйелердің тиісті аспектілерін қамту үшін басқа эргодикалық қасиеттердің бірнешеуі енгізілді. Купман эргодикалық жүйелерді зерттеуге функционалдық талдауды қолдану арқылы жақындады. Байқалатын шама a – фазалық кеңістіктің әрбір нүктесіне санды (мысалы, лездегі қысым немесе орташа биіктік) байланыстыратын функция. Байқалатын шаманың мәнін эволюциялық функция φt арқылы басқа уақытта есептеуге болады. Бұл U t операторын, яғни трансферт операторын енгізеді. Сызықтық оператордың спектрлік қасиеттерін зерттеу арқылы U t-нің эргодикалық қасиеттерін жіктеуге болады. Байқалатын функцияға ағынның әсерін қарастырудың Купман тәсілін қолданғанда, Φt қатысатын шекті өлшемді сызықтық емес мәселе U қатысатын шексіз өлшемді сызықтық мәселеге түрлендіріледі. Энергиялық бетке шектелген Лиувилл өлшемі тепе-теңдіктің статистикалық механикасында есептелген орташа шамалардың негізі болып табылады. Траектория бойымен уақыт бойынша алынған орташа шама Болцман коэффициентімен есептелген кеңістік бойынша алынған орташа шамаға тең: exp(−βH). Бұл идея Синай, Боуэн және Руэлл (SRB) тарапынан диссипативтік жүйелерді қамтитын динамикалық жүйелердің кеңірек класына жалпыланды. SRB өлшемдері Болцман коэффициентін алмастырады және олар хаотикалық жүйелердің тартымдылықтарында анықталады.

In many dynamical systems, it is possible to choose the coordinates of the system so that the volume (really a ν dimensional volume) in phase space is invariant. This happens for mechanical systems derived from Newton's laws as long as the coordinates are the position and the momentum and the volume is measured in units of (position) × (momentum). The flow takes points of a subset A into the points Φ t(A) and invariance of the phase space means that

In the Hamiltonian formalism, given a coordinate it is possible to derive the appropriate (generalized) momentum such that the associated volume is preserved by the flow. The volume is said to be computed by the Liouville measure. In a Hamiltonian system, not all possible configurations of position and momentum can be reached from an initial condition. Because of energy conservation, only the states with the same energy as the initial condition are accessible. The states with the same energy form an energy shell Ω, a sub manifold of the phase space. The volume of the energy shell, computed using the Liouville measure, is preserved under evolution. For systems where the volume is preserved by the flow, Poincaré discovered the recurrence theorem: Assume the phase space has a finite Liouville volume and let F be a phase space volume preserving map and A a subset of the phase space. Then almost every point of A returns to A infinitely often. The Poincaré recurrence theorem was used by Zermelo to object to Boltzmann's derivation of the increase in entropy in a dynamical system of colliding atoms. One of the questions raised by Boltzmann's work was the possible equality between time averages and space averages, what he called the ergodic hypothesis. The hypothesis states that the length of time a typical trajectory spends in a region A is vol(A)/vol(Ω). The ergodic hypothesis turned out not to be the essential property needed for the development of statistical mechanics and a series of other ergodic like properties were introduced to capture the relevant aspects of physical systems. Koopman approached the study of ergodic systems by the use of functional analysis. An observable a is a function that to each point of the phase space associates a number (say instantaneous pressure, or average height). The value of an observable can be computed at another time by using the evolution function φ t. This introduces an operator U t, the transfer operator,

By studying the spectral properties of the linear operator U it becomes possible to classify the ergodic properties of Φ t. In using the Koopman approach of considering the action of the flow on an observable function, the finite dimensional nonlinear problem involving Φ t gets mapped into an infinite dimensional linear problem involving U. The Liouville measure restricted to the energy surface Ω is the basis for the averages computed in equilibrium statistical mechanics. An average in time along a trajectory is equivalent to an average in space computed with the Boltzmann factor exp(−βH). This idea has been generalized by Sinai, Bowen, and Ruelle (SRB) to a larger class of dynamical systems that includes dissipative systems. SRB measures replace the Boltzmann factor and they are defined on attractors of chaotic systems.

Сызықтық емес динамикалық жүйелер мен хаос

Қарапайым сызықтық емес динамикалық жүйелер және тіпті бөлшекті сызықтық жүйелер, негізінен детерминистік болғанына қарамастан, кездейсоқ сияқты көрінетін, мүлдем болжауға болмайтын мінез-құлықты көрсетуі мүмкін. Осындай күтпеген мінез-құлық хаос деп аталады. Гиперболалық жүйелер – хаотикалық жүйелерге тән қасиеттерді көрсететін нақты анықталған динамикалық жүйелер. Гиперболалық жүйелерде траекторияға перпендикуляр жататын жанама кеңістікті екі бөлікке бөлуге болады: бірі орбитаға жақындайтын нүктелерден (тұрақты манифольд) және екіншісі орбитадан алшақтайтын нүктелерден (тұрақсыз манифольд) тұрады. Математиканың бұл саласы динамикалық жүйелердің ұзақ мерзімді сапалық мінез-құлқымен айналысады. Мұнда динамикалық жүйені анықтайтын теңдеулерге нақты шешім табуға емес, керісінше, "Жүйе ұзақ мерзімде тұрақты күйге жетеді ме, және егер солай болса, қандай тартымдылықтар болуы мүмкін?" немесе "Жүйенің ұзақ мерзімді мінез-құлқы бастапқы жағдайына байланысты ма?" сияқты сұрақтарға жауап беруге назар аударылады. Мәселе күрделі жүйелердің хаотикалық мінез-құлқында емес. Метеорология күрделі, тіпті хаотикалық мінез-құлықпен айналысқаны көп жылдан бері белгілі. Хаос теориясы осыншалықты таң қалдырғанының себебі – хаосты өте қарапайым жүйелерде де табуға болады. Логистикалық карта – тек екінші дәрежелі көпмүше, ал ат жалағының картасы бөлшекті сызықтық.