Фракталдар – математикалық геометриялық нылғандар, кез келген масштабта күрделі құрылымды көрсетеді. Фракталдық өлшем, Мандельброт жиыны, компьютерлік модельдеу.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Шексіз егжей-тегжейлі математикалық құрылым
Infinitely detailed mathematical structure
Математикада фрактал – кез келген өте кішкентай масштабта егжей-тегжейлі құрылымды қамтитын геометриялық пішін, әдетте фракталдық өлшемі топологиялық өлшемнен қатаң артық болады. Көптеген фракталдар әртүрлі масштабтарда ұқсас көрінеді, мысалы, Мандельброт жиынының тізбектеп ұлғайтуында көрсетілгендей. Бұл қасиет геометриялық объектінің фракталдық өлшемі деп аталады, оны дәстүрлі өлшемнен (формальды түрде топологиялық өлшем деп аталады) ажырату үшін. Аналитикалық тұрғыдан алғанда, көптеген фракталдар ешқандай жерде туындысы жоқ. 20-шы ғасырда "фрактал" сөзінің пайда болуы және одан кейін фракталдарға қызығушылықтың артуы, сондай-ақ 20-шы ғасырда компьютерлік модельдеудің дамуы орын алды. 1982 жылы Мандельброт фракталды былай анықтады: "Фрактал – бұл Хаусдорф-Бесикович өлшемі топологиялық өлшемнен қатаң асып түсетін жиынтық". Кейіннен, бұл анықтама тым шектеулі деп есептеген ол оны жеңілдетіп, кеңейтті: "Фрактал – бұл өрескел немесе фрагменттелген геометриялық пішін, оны бөліктерге бөлуге болады, олардың әрқайсысы (кем дегенде шамамен) бүтіннің кішірейтілген көшірмесі болып табылады". Математиктер арасындағы консенсус теориялық фракталдар – шексіз өзін-өзі ұқсас, қайталамалы және егжей-тегжейлі математикалық құрылымдар екендігіне негізделген, олардың көптеген мысалдары жасалып, зерттелді. Фракталдар геометриялық үлгілермен ғана шектелмейді, сонымен қатар уақыт бойынша процестерді де сипаттауға болады. Өзін-өзі ұқсастығының әртүрлі дәрежелері бар фракталдық үлгілер визуалды, физикалық және дыбыстық ортада көрсетілген немесе зерттелген, сондай-ақ табиғатта кездеседі. Фракталдар хаос теориясы саласында ерекше маңызға ие, өйткені олар көптеген хаотикалық процестердің геометриялық бейнелерінде (әдетте тартымдылықтар немесе тартымдылық бассейндері арасындағы шекаралар ретінде) пайда болады.
In mathematics, a fractal is a geometric shape containing detailed structure at arbitrarily small scales, usually having a fractal dimension strictly exceeding the topological dimension. Many fractals appear similar at various scales, as illustrated in successive magnifications of the Mandelbrot set. This power is called the fractal dimension of the geometric object, to distinguish it from the conventional dimension (which is formally called the topological dimension). Analytically, many fractals are nowhere differentiable. and on to the coining of the word fractal in the 20th century with a subsequent burgeoning of interest in fractals and computer based modelling in the 20th century. More formally, in 1982 Mandelbrot defined fractal as follows: "A fractal is by definition a set for which the Hausdorff–Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension." Later, seeing this as too restrictive, he simplified and expanded the definition to this: "A fractal is a rough or fragmented geometric shape that can be split into parts, each of which is (at least approximately) a reduced size copy of the whole." The consensus among mathematicians is that theoretical fractals are infinitely self similar iterated and detailed mathematical constructs, of which many examples have been formulated and studied. Fractals are not limited to geometric patterns, but can also describe processes in time. Fractal patterns with various degrees of self similarity have been rendered or studied in visual, physical, and aural media and found in nature, Fractals are of particular relevance in the field of chaos theory because they show up in the geometric depictions of most chaotic processes (typically either as attractors or as boundaries between basins of attraction).
Этимология
"Фрактал" термині математик Бенуа Мандельброт 1975 жылы қолданған. Мандельброт оны латын тіліндегі [[wikt:fractus#Latin, "ұсақ-түйекке бөлінген" немесе "сынық" деген мағынаны білдіретін сөзден негіздеді және оны табиғаттағы геометриялық пішіндерге теориялық бөлшек өлшемдерінің ұғымын кеңейту үшін пайдаланды.
The term "fractal" was coined by the mathematician Benoît Mandelbrot in 1975. Mandelbrot based it on the Latin [[wikt:fractus#Latin, meaning "broken" or "fractured", and used it to extend the concept of theoretical fractional dimensions to geometric patterns in nature.
Кіріспе
"Фрактал" сөзі математиктерге қарағанда көпшілік үшін әртүрлі мағыналарға ие, себебі адамдар математикалық тұжырымдамадан гөрі фрактал өнерін көбірек біледі. Математикалық тұжырымды тіпті математиктер үшін де формалды түрде анықтау қиын, бірақ негізгі ерекшеліктерін аздап математикалық біліммен түсінуге болады. Мысалы, "өз-өзіне ұқсастық" ерекшелігін, цифрлық кескіндерді жақыннан қарау үшін линза немесе басқа да масштабтау құрылғысын қолдану арқылы, бұрын көрінбеген жаңа құрылымды ашуға теңеу арқылы оңай түсінуге болады. Алайда, егер мұны фракталдармен жасасаңыз, жаңа ешқандай бөлшек пайда болмайды; ештеңе өзгермейді және бірдей үлгі қайта-қайта қайталанады, немесе кейбір фракталдар үшін дерлік бірдей үлгі қайта-қайта пайда болады. Өз-өзіне ұқсастық әрі қарай интуицияға қарсы емес (мысалы, адамдар параллель айналардағы шексіз регрессия немесе гомункулус, кішкентай адамның басындағы кішкентай адам сияқты өз-өзіне ұқсастықты бейресми түрде қарастырған). Фракталдар үшін айырмашылық – қайта көшірілген үлгінің егжей-тегжейлі болуы керек. Дәстүрлі африкалық сәулетте фракталды масштабтауды қолдану кең таралған, онда құрылымның кішігірім бөліктері үлкен бөліктерге ұқсас көрінеді, мысалы, дөңгелек үйлерден тұратын дөңгелек ауыл. Пиковердің сөзіне сәйкес, фракталдардың математикасы 17 ғасырда математик және философ Готфрид Лейбниц рекурсивті өз-өзіне ұқсастық туралы ойланғанда қалыптаса бастады (бірақ ол тек түзу сызықтың осы мағынада өз-өзіне ұқсас екенін дұрыс емес деп ойлады). Лейбниц өзінің жазбаларында "бөлшек көрсеткіштер" терминін қолданды, бірақ "геометрия" оларды әлі білмейтініне өкінді. Одан көп ұзамай, 1883 жылы Георг Кантор, Льюис Фрай Ричардсонның бұрынғы жұмысына негізделген Вейерштрастың лекцияларына қатысты. 1975 жылы
The word "fractal" often has different connotations for the lay public as opposed to mathematicians, where the public is more likely to be familiar with fractal art than the mathematical concept. The mathematical concept is difficult to define formally, even for mathematicians, but key features can be understood with a little mathematical background. The feature of "self similarity", for instance, is easily understood by analogy to zooming in with a lens or other device that zooms in on digital images to uncover finer, previously invisible, new structure. If this is done on fractals, however, no new detail appears; nothing changes and the same pattern repeats over and over, or for some fractals, nearly the same pattern reappears over and over. Self similarity itself is not necessarily counter intuitive (e. g., people have pondered self similarity informally such as in the infinite regress in parallel mirrors or the homunculus, the little man inside the head of the little man inside the head ). The difference for fractals is that the pattern reproduced must be detailed. A common theme in traditional African architecture is the use of fractal scaling, whereby small parts of the structure tend to look similar to larger parts, such as a circular village made of circular houses. According to Pickover, the mathematics behind fractals began to take shape in the 17th century when the mathematician and philosopher Gottfried Leibniz pondered recursive self similarity (although he made the mistake of thinking that only the straight line was self similar in this sense). In his writings, Leibniz used the term "fractional exponents", but lamented that "Geometry" did not yet know of them. Not long after that, in 1883, Georg Cantor, who attended lectures by Weierstrass, which built on earlier work by Lewis Fry Richardson. In 1975,
Физиологиялық реакциялар
Адамдар фракталды үлгілерді өңдеуге ерекше жақсы бейімделген болып көрінеді, олардың фракталдық өлшемі 1,3 және 1,5 аралығында. Адамдар 1,3 және 1,5 фракталдық өлшеміне ие фракталды үлгілерді қарағанда, физиологиялық стресс төмендейді.
Humans appear to be especially well adapted to processing fractal patterns with fractal dimension between 1.3 and 1.5. When humans view fractal patterns with fractal dimension between 1.3 and 1.5, this tends to reduce physiological stress.