Полиномдармен бөлік-бөлікке бөлінген функциялар және олардың қолданылуы

Кіріспе

Математикалық функция полиномдар арқылы бөлік-бөлікке анықталады. Сурет салу құралы. Математикада, сплин – полиномдар арқылы бөлік-бөлікке анықталатын функция. Интерполяция мәселелерінде, сплин интерполяциясы полиномдық интерполяцияға қарағанда жиі артықшылыққа ие, себебі ол төмен дәрежелі полиномдарды қолданғанда да ұқсас нәтижелер береді және жоғары дәрежеліде Рунге құбылысынан аулақ қалады. Компьютерлік дизайн және компьютерлік графика салаларында сплин термині көбінесе бөлік-бөлік полиномдық (параметрлік) қисықты білдіреді. Сплиндер осы салаларда кең таралған, өйткені оларды құру оңай, бағалау жылдам және дәл, сондай-ақ қисық сызу және интерактивті қисықтарды жобалау арқылы күрделі пішіндерді жақындатуға мүмкіндік береді. Сплин термині кеме жасаушылар мен суретшілердің тегіс пішіндер салу үшін қолданған иілгіш сплин құрылғыларынан шыққан.

Кіріспе

"Сплин" термині деректерді интерполяциялау және/немесе тегістеуді талап ететін қолданыстарда қолданылатын функциялардың кең класын білдіреді. Деректер бір өлшемді немесе көп өлшемді болуы мүмкін. Интерполяцияға арналған сплин функциялары әдетте интерполяциялық шектеулерді сақтай отырып, кедір-бұдырлықтың (мысалы, интегралды квадратты қисықтық) тиісті өлшемдерін азайту арқылы анықталады. Тегістеу сплиндерін интерполяциялық сплиндердің жалпылауы ретінде қарастыруға болады, онда функциялар байқалатын деректер бойынша орташа квадраттық жуықтау қатесінің салмақты комбинациясын және кедір-бұдырлық өлшемін азайту үшін анықталады. Кедір-бұдырлық өлшемінің мағыналы анықтамаларының көптеген жағдайларында сплин функцияларының өлшемдері шектеулі екендігі анықталды, бұл олардың есептеулерде және ұсынудағы тиімділігінің басты себебі болып табылады. Осы бөлімнің қалған бөлігінде біз бір өлшемді полиномдық сплинге толығымен назар аударамыз және "сплин" терминін осы шектеулі мағынада қолданамыз.

Тарих

Компьютерлер пайда болғанға дейін сандық есептеулер қолмен жасалатын. Белгі функциясы немесе қадамдық функциясы сияқты бөлшектік анықталған функциялар қолданылса да, полиномдар көбінесе оңай жұмыс істегендіктен артықшылыққа ие болды. Компьютерлердің пайда болуымен сплайн (spline) функциялары маңызға ие болды. Олар алдымен интерполяциядағы полиномдардың орнына, содан кейін компьютерлік графикада тегіс және икемді пішіндерді құру құралы ретінде қолданылды. Сплайн функцияларына алғашқы математикалық сілтеме Шенбергтің 1946 жылғы еңбегі деп есептеледі, бұл осы сөздің тегіс, бөлшектік полиномдық жуықтамамен байланысты қолданылған алғашқы мысалы болуы мүмкін. Дегенмен, осы идеялардың тамыры ұшақ және кеме жасау салаларында жатыр. (Bartels et al., 1987) кітабының алғы сөзінде Робин Форрест екінші дүниежүзілік соғыс кезінде британдық авиация өнеркәсібінде ұшақтардың үлгілерін жасау үшін қолданылған «лофтинг» (lofting) техникасын сипаттайды. Бұл техникада үлкен эскиздік зал еденіне белгіленген нүктелер арқылы жұқа ағаш тілімдері («сплайн» деп аталады) өткізіліп, кеме корпусының дизайнынан алынған тәсіл қолданылған. Кеме жасауда көп жылдар бойы кішкентай модельдер қолданылып келді. Сәтті жоба графикалық қағазға түсіріліп, оның негізгі нүктелері толық өлшемде үлкен графикалық қағазға қайта түсірілді. Жұқа ағаш тілімдері негізгі нүктелерді тегіс қисықтарға айналдырды. Бұл тілімдер дискретті нүктелерде бекітілді (Форрест оларды «өрткестер» (ducks) деп атады; Шенберг «иттер» (dogs) немесе «егеуқұйрықтар» (rats) терминдерін қолданды) және осы нүктелер арасында ең аз кернеу энергиясымен пішінделді. Форресттің сөзіне қарағанда, осы процестің математикалық моделін жасауға ықпал еткен факторлардың бірі – жау бомбасы тиген жағдайда бүкіл ұшақтың маңызды конструкциялық элементтерінің жоғалу қаупі болды. Бұл «конустық лофтингке» (conic lofting) әкелді, ол қисықтың орнын модельдеу үшін конустық қималарды пайдаланды. 1960 жылдардың басында конустық лофтинг, біз оны «сплайн» деп атайтын нәрсемен алмастырылды. Бұл жұмыс Boeing компаниясындағы Дж.С. Фергюсонның және (кейінірек) British Aircraft Corporation компаниясындағы М.А. Сабиннің жұмысына негізделген. «Сплайн» сөзі бастапқыда Шығыс Англия диалектісінде қолданылған. Автомобильдердің корпустарын модельдеу үшін сплайн функцияларын қолдану бірнеше тәуелсіз бастамаларға ие болып көрінеді. Citroën компаниясындағы де Кастельжау, Renault компаниясындағы Пьер Безиер, ал General Motors компаниясындағы Бирхофф, Гарабедиан және де Бур (Birkhoff and de Boor, 1965 қараңыз) осы жұмыстарды 1960 жылдардың басында немесе 1950 жылдардың соңында жасағандықтарын мәлімдейді. Де Кастельжаудың бірнеше еңбектері 1959 жылы жарияланған, бірақ кеңінен таралмады. Де Бурдың General Motors компаниясындағы жұмысы 1960 жылдардың басында B сплайн функцияларына қатысты негізгі жұмыстарды қамтитын бірқатар мақалалардың жариялануына әкелді. Pratt & Whitney Aircraft компаниясында да жұмыс жүргізілді, онда (Ahlberg et al., 1967) кітабының – сплайн функцияларына арналған алғашқы толық көлемді еңбектің – екі авторы жұмыс істеді, сондай-ақ Федор Тейльхаймер Дэвид Тейлордың модельдік бассейнінде жұмыс істеді. General Motors компаниясындағы жұмыс (Birkhoff, 1990) және (Young, 1997) еңбектерінде жақсы сипатталған. Дэвис (1997) осы материалдың кейбір бөлімдерін жинақтап берді.

Before computers were used, numerical calculations were done by hand. Although piecewise defined functions like the sign function or step function were used, polynomials were generally preferred because they were easier to work with. Through the advent of computers, splines have gained importance. They were first used as a replacement for polynomials in interpolation, then as a tool to construct smooth and flexible shapes in computer graphics. It is commonly accepted that the first mathematical reference to splines is the 1946 paper by Schoenberg, which is probably the first place that the word "spline" is used in connection with smooth, piecewise polynomial approximation. However, the ideas have their roots in the aircraft and shipbuilding industries. In the foreword to (Bartels et al., 1987), Robin Forrest describes "lofting", a technique used in the British aircraft industry during World War II to construct templates for airplanes by passing thin wooden strips (called "splines") through points laid out on the floor of a large design loft, a technique borrowed from ship hull design. For years the practice of ship design had employed models to design in the small. The successful design was then plotted on graph paper and the key points of the plot were re plotted on larger graph paper to full size. The thin wooden strips provided an interpolation of the key points into smooth curves. The strips would be held in place at discrete points (called "ducks" by Forrest; Schoenberg used "dogs" or "rats") and between these points would assume shapes of minimum strain energy. According to Forrest, one possible impetus for a mathematical model for this process was the potential loss of the critical design components for an entire aircraft should the loft be hit by an enemy bomb. This gave rise to "conic lofting", which used conic sections to model the position of the curve between the ducks. Conic lofting was replaced by what we would call splines in the early 1960s based on work by J. C. Ferguson at Boeing and (somewhat later) by M. A. Sabin at British Aircraft Corporation. The word "spline" was originally an East Anglian dialect word. The use of splines for modeling automobile bodies seems to have several independent beginnings. Credit is claimed on behalf of de Casteljau at Citroën, Pierre Bézier at Renault, and Birkhoff, Garabedian, and de Boor at General Motors (see Birkhoff and de Boor, 1965), all for work occurring in the very early 1960s or late 1950s. At least one of de Casteljau's papers was published, but not widely, in 1959. De Boor's work at General Motors resulted in a number of papers being published in the early 1960s, including some of the fundamental work on B splines. Work was also being done at Pratt & Whitney Aircraft, where two of the authors of (Ahlberg et al., 1967) — the first book length treatment of splines — were employed, and the David Taylor Model Basin, by Feodor Theilheimer. The work at General Motors is detailed nicely in (Birkhoff, 1990) and (Young, 1997). Davis (1997) summarizes some of this material.