Электромагнетизмде тепе-теңдік туралы мәлімдеме

Кіріспе

Электромагнетизмдегі тепе-теңдік туралы мәлімдеме. Ерншоу теоремасы бойынша, нүктелік зарядтар жиынтығын зарядтардың электростатикалық өзара әрекеттесуі арқылы ғана тұрақты стационарлық тепе-теңдік күйінде ұстап тұру мүмкін емес. Бұл тұңғыш рет 1842 жылы британдық математик Сэмюэл Эрншоу дәлелдеген. Теорема көбінесе магниттік өрістерге қатысты айтылады, бірақ алғаш рет электростатикалық өріске қолданылған. Ерншоу теоремасы классикалық кері квадрат заңына бағынатын күштерге (электрлік және гравитациялық) сондай-ақ, қатты магниттердің (сыртқы өрістерге тәуелді күші өзгермейтін) магниттік күштеріне де қолданылады. Ерншоу теоремасы көптеген жағдайларда магниттік левитацияға кедергі келтіреді. Егер материалдар қатты болмаса, Браунбек кеңейтуі көрсеткендей, бірден асатын салыстырмалы магниттік өтімділігі бар материалдар (парамагнетизм) одан әрі тұрақсыздыққа әкеледі, ал бірден кем өтімділігі бар материалдар (диамагнетикалық материалдар) тұрақты конфигурацияларға мүмкіндік береді.

Түсіндірме

Бейресми түрде, кездейсоқ статикалық электр өрісіндегі нүктелік зарядтың жағдайы Гаусс заңының қарапайым салдары болып табылады. Бөлшектің тұрақты тепе-теңдікте болуы үшін, кез келген бағыттағы бөлшекке жасалған кішкентай бұзылулар ("итерулер") тепе-теңдікті бұзуға тиіс емес; бөлшек өзінің бұрынғы орнына "қайта оралуы" керек. Бұл, бөлшектің тепе-теңдік орнының маңындағы күш өрісінің сызықтары сол орнына қарай, ішке қарай бағытталуы керек екенін білдіреді. Егер айналадағы барлық өріс сызықтары тепе-теңдік нүктесіне қарай бағытталса, онда өрістің сол нүктедегі дивергенциясы теріс болуы керек (яғни, бұл нүкте сіңіруші ретінде әрекет етеді). Алайда, Гаусс заңына сәйкес, бос кеңістіктегі кез келген мүмкін электр күш өрісінің дивергенциясы нөлге тең. Математикалық жазбада, U(r) потенциалынан туындаған электр күші F(r) әрқашан дивергенциясыз болады (Лаплас теңдеуін қанағаттандырады):

Сондықтан, бос кеңістікте өріс потенциалының жергілікті минимумдары немесе максимумдары жоқ, тек тұмсық нүктелері ғана бар. Бөлшектің тұрақты тепе-теңдікте болуы мүмкін емес және қандай да бір бағытта тұрақсыздық болуы керек. Егер U-ның барлық екінші туындылары нөлге тең болса, бұл аргумент жеткіліксіз болуы мүмкін. Толыққанды қатаңдық үшін, нақты айтқанда, тұрақты нүктенің болуы, барлық көршілес күш векторларының тұрақты нүктеге дәл бағытталуын талап етпейді; мысалы, күш векторлары тұрақты нүктеге қарай спираль тәрізді жақындауы мүмкін. Бұл мәселені шешудің бір жолы, дивергенциядан басқа, бос кеңістіктегі кез келген электр өрісінің роторы да нөлге тең екенін (магниттік тоқтардың болмауы жағдайында) пайдалану болып табылады. Бұл теореманы статикалық магниттік дипольдер үшін күш/энергия теңдеулерінен тікелей дәлелдеуге де болады (төменде қараңыз). Бірақ, интуитивті түрде, егер теорема бір нүктелік заряд үшін дұрыс болса, онда ол екі қарама-қарсы нүктелік заряд үшін де дұрыс болуы керек. Атап айтқанда, ол зарядтар арасындағы қашықтық нөлге дейін азайтылғанда, ал диполь моменті сақталғанда да дұрыс болады – яғни, ол электр диполі үшін дұрыс. Бірақ егер теорема электр диполі үшін дұрыс болса, онда ол магниттік диполь үшін де дұрыс болады, өйткені (статикалық) күш/энергия теңдеулері электрлік және магниттік дипольдер үшін бірдей формада болады. Практикалық тұрғыдан алғанда, бұл теорема сондай-ақ, магниттік күштер гравитациялық күштерден күшті болған жағдайда да, гравитацияға қарсы объектіні тұрақты түрде левитациялауға болатын ферромагниттердің ешқандай статикалық конфигурациясы жоқ екенін көрсетеді. Эрншоу теоремасы тіпті кеңейтілген денелердің жалпы жағдайы үшін де дәлелденді, тіпті олар икемді және өткізгіш болса да, егер олар диамагнетик болмаса, өйткені диамагнетизм (шағын) итергіш күш құрайды, бірақ тартымдылық жоқ. Дегенмен, ережеге қатысты бірнеше ерекшеліктер бар, олар магниттік левитацияға мүмкіндік береді.

Қалқалар

Ерншоу теоремасы қозғалмайтын тұрақты ферромагниттер үшін ешқандай ерекшеліктерді қамтымайды. Дегенмен, Эрншоу теоремасы қозғалатын ферромагниттерге, белгілі бір электромагниттік жүйелерге, псевдо-левитацияға және диамагниттік материалдарға міндетті түрде қолданылмайды. Осылар кейде ерекшеліктер сияқты көрінуі мүмкін, бірақ шындығында теореманың шектеулерін пайдаланады. Спиндік тұрақтандырылған магниттік левитация: Айналатын ферромагниттер (мысалы, Левитрон) тек тұрақты ферромагниттерді пайдалана отырып, айналу кезінде магниттік левитацияны жүзеге асыра алады, бұл жүйеге гироскопиялық күштерді қосады. (Айналатын ферромагнит – «қозғалмайтын ферромагнит» емес.) Электромагниттің немесе электромагниттер жүйесінің полярлығын ауыстыру жүйеге үздіксіз энергия жұмсау арқылы левитация жасауға мүмкіндік береді. Маглев пойыздары – осының бір мысалы. Псевдо-левитация магниттердің қозғалысын, әдетте, тірек немесе қабырға сияқты бір құрылым арқылы шектейді. Бұл жұмыс істейді, себебі теорема тек тұрақсыздық болатын бағытты ғана көрсетеді. Сол бағыттағы қозғалысты шектеу, қозғалыс үшін қол жетімді толық 3 өлшемнен кем өлшемдерде левитация жасауға мүмкіндік береді (теорема 1D немесе 2D емес, 3 өлшем үшін дәлелденгенін ескеріңіз). Диамагниттік материалдар ерекшелікке ие, себебі олар магнит өрісіне қарсы тек қана керітеді, ал теорема керітетін және тартатын материалдарды талап етеді. Бұған мысал ретінде әйгілі желкенді бақаны қарастыруға болады (диамагнетизм қараңыз). Эрншоу теоремасы инерциялық анықтамалық жүйеде қолданылады. Бірақ кейде Эрншоу теоремасының болжамдарын бұзатын, ойдан шығарылған центробегті күшке ие айналмалы анықтамалық жүйеде жұмыс істеу ыңғайлырақ болады. Айналмалы анықтамалық жүйеде тұрақты (бірақ инерциялық жүйеде қозғалатын) нүктелер толығымен тұрақты немесе толығымен тұрақсыз болуы мүмкін. Мысалы, үш денелік проблемада, ойдан шығарылған центробегті күштен туындаған тиімді потенциал, Лагранж нүктелері L4 және L5-тің тиімді потенциалдық өрістің жергілікті максимумдарында орналасуына мүмкіндік береді, тіпті сол жерлерде мардымсыз масса болса да. (Бұл Лагранж нүктелері потенциалдық өрістің жергілікті минимумдары емес, максимумдарында орналасқанмен, олар скалярлық потенциалдық өріспен қамтылмаған, ойдан шығарылған жылдамдыққа тәуелді Кориолис күшінің арқасында белгілі бір параметрлік режимде толығымен тұрақты болады.)

Earnshaw's theorem has no exceptions for non moving permanent ferromagnets. However, Earnshaw's theorem does not necessarily apply to moving ferromagnets, certain electromagnetic systems, pseudo levitation and diamagnetic materials. These can thus seem to be exceptions, though in fact they exploit the constraints of the theorem. Spin stabilized magnetic levitation: Spinning ferromagnets (such as the Levitron) can, while spinning, magnetically levitate using only permanent ferromagnets, the system adding gyroscopic forces. (The spinning ferromagnet is not a "non moving ferromagnet"). Switching the polarity of an electromagnet or system of electromagnets can levitate a system by continuous expenditure of energy. Maglev trains are one application. Pseudo levitation constrains the movement of the magnets usually using some form of a tether or wall. This works because the theorem shows only that there is some direction in which there will be an instability. Limiting movement in that direction allows levitation with fewer than the full 3 dimensions available for movement (note that the theorem is proven for 3 dimensions, not 1D or 2D). Diamagnetic materials are excepted because they exhibit only repulsion against the magnetic field, whereas the theorem requires materials that have both repulsion and attraction. An example of this is the famous levitating frog (see Diamagnetism). Earnshaw's theorem applies in an inertial reference frame. But it is sometimes more natural to work in a rotating reference frame that contains a fictitious centrifugal force that violates the assumptions of Earnshaw's theorem. Points that are stationary in a rotating reference frame (but moving in an inertial frame) can be absolutely stable or absolutely unstable. For example, in the restricted three body problem, the effective potential from the fictitious centrifugal force allows the Lagrange points L4 and L5 to lie at local maxima of the effective potential field even if there is only negligible mass at those locations. (Even though these Lagrange points lie at local maxima of the potential field rather than local minima, they are still absolutely stable in a certain parameter regime due to the fictitious velocity dependent Coriolis force, which is not captured by the scalar potential field.)

Физикаға әсері

Біршама уақыт бойы Эрншоу теоремасы материяның тұрақты болуының және бірігіп тұруының себебін таңғалдыратын сұрақ қойды, өйткені статикалық зарядтардың конфигурацияларының тұрақсыздығына қарамастан, материя электромагниттік күштер арқылы бірігіп тұрғанына көптеген дәлелдер табылды. Эрншоу теоремасы тек стационарлық зарядтарға ғана қатысты болғандықтан, атомдардың тұрақтылығын планеталық модельдер арқылы түсіндіруге тырысты, мысалы Нагаоканың Сатурн моделі (1904) және Резерфордтың планеталық моделі (1911), онда нүктелік электрондар оң нүктелік зарядты орталықта айналып жүрді. Алайда, мұндай планеталық модельдердің тұрақтылығы бірден күмән тудырды: электрондар шеңбер бойымен қозғалғанда нөлдік емес үдеуге ие, демек, олар энергияны стационарлық емес электромагниттік өріс арқылы сәулелендіруі керек еді. 1913 жылғы Бордың моделі бұл сәулеленуді түсіндірмей, формальды түрде тыйым салды. Өте маңыздысы, Эрншоу теоремасы тек нүктелік зарядтарға ғана қолданылады, бірақ тараған зарядтарға емес. Осыдан 1904 жылы Дж. Дж. Томсон өзінің «көкжидек пудингі» моделіне келді, онда теріс нүктелік зарядтар (электрондар немесе «көкжидектер») тараған оң зарядты «пудингке» енгізілген, онда олар стационарлық немесе шеңберлер бойымен қозғалуы мүмкін; бұл Эрншоу теоремасымен қамтылмаған нүктелік емес оң зарядтардың (және стационарлық емес теріс зарядтардың) конфигурациясы еді. Соңында бұл 1926 жылғы Шредингер моделіне жол ашты, онда электрон нүкте емес, керісінше тараған заряд тығыздығы, және сәулеленбейтін күйлердің болуы жоғарыдағы мәселені түбірінен шешеді: бұл модельде Эрншоу теоремасына қайшылық жоқ, сонымен қатар заряд тығыздығы мен ток тығыздығы стационарлық, ал сәйкес электромагниттік өріс энергияны шексіздікке сәулелендірмейді. Осылайша, атомның тұрақтылығына кванттық-механикалық түсіндірме берілді. Көбірек практикалық тұрғыдан алғанда, Паулидің тыйым салу принципі мен дискретті электрондық орбитальдардың болуы бұқаралық материяның қатаңдығын қамтамасыз етеді деуге болады.

For quite some time, Earnshaw's theorem posed a startling question of why matter is stable and holds together, since much evidence was found that matter was held together electromagnetically despite the proven instability of static charge configurations. Since Earnshaw's theorem only applies to stationary charges, there were attempts to explain stability of atoms using planetary models, such as Nagaoka's Saturnian model (1904) and Rutherford's planetary model (1911), where the point electrons are circling a positive point charge in the center. Yet, the stability of such planetary models was immediately questioned: electrons have nonzero acceleration when moving along a circle, and hence they would radiate the energy via a non stationary electromagnetic field. Bohr's model of 1913 formally prohibited this radiation without giving an explanation for its absence. On the other hand, Earnshaw's theorem only applies to point charges, but not to distributed charges. This led J. J. Thomson in 1904 to his plum pudding model, where the negative point charges (electrons, or "plums") are embedded into a distributed positive charge "pudding", where they could be either stationary or moving along circles; this is a configuration which is non point positive charges (and also non stationary negative charges), not covered by Earnshaw's theorem. Eventually this led the way to Schrödinger's model of 1926, where the existence of non radiative states in which the electron is not a point but rather a distributed charge density resolves the above conundrum at a fundamental level: not only there was no contradiction to Earnshaw's theorem, but also the resulting charge density and the current density are stationary, and so is the corresponding electromagnetic field, no longer radiating the energy to infinity. This gave a quantum mechanical explanation of the stability of the atom. At a more practical level, it can be said that the Pauli exclusion principle and the existence of discrete electron orbitals are responsible for making bulk matter rigid.

Кіріспе

Жалпы дәлелдеу мүмкін болса да, мұнда үш нақты жағдай қарастырылады. Бірінші жағдай – тұрақты шамадағы және жылдам (белгілі) бағыты бар магниттік диполь. Екінші және үшінші жағдайлар – сыртқы магниттік өрістің өріс сызықтарына параллель немесе антипараллель бағытта қалу үшін бағытын өзгертетін магниттік дипольдар. Парамагниттік және диамагниттік материалдарда дипольдер тиісінше өріс сызықтарына параллель және антипараллель бағытталады.

Толық дәлелдемелер

Ерншоу теоремасы бастапқыда электростатика (нүктелік зарядтар) үшін, нүктелік зарядтар жиынтығының тұрақты конфигурациясының болмайтынын көрсету мақсатымен жасалған. Осы мақалада жеке дипольдер үшін келтірілген дәлелдемелер энергия тұрғысынан жасалғандықтан, оларды магниттік дипольдер жиынтығына да қолдануға болады, себебі энергия аддитивті шама. Дегенмен, осы тақырыпты толыққанды зерттеу осы мақаланың шегінен шығады.