Теорема Эрншоу об устойчивости равновесия в электромагнетизме

Введение

Заявление о равновесии в электромагнетизме. Теорема Эрншоу утверждает, что совокупность точечных зарядов не может быть удержана в стабильном стационарном равновесии исключительно посредством электростатического взаимодействия этих зарядов. Впервые это было доказано британским математиком Сэмюэлем Эрншоу в 1842 году. Обычно её приводят в связи с магнитными полями, однако изначально она была применена к электростатическому полю. Теорема Эрншоу применима к классическим силам, подчиняющимся закону обратных квадратов (электрическим и гравитационным), а также к магнитным силам постоянных магнитов, при условии, что магниты являются "жёсткими" (то есть их сила не изменяется под воздействием внешних полей). Теорема Эрншоу препятствует магнитной левитации во многих распространенных ситуациях. Если материалы не являются "жёсткими", то расширение Браунбека показывает, что материалы с относительной магнитной проницаемостью больше единицы (парамагнетики) оказывают дополнительное дестабилизирующее воздействие, в то время как материалы с проницаемостью меньше единицы (диамагнетики) допускают стабильные конфигурации.

Пояснение

Неформально, случай точечного заряда в произвольном статическом электрическом поле является простым следствием закона Гаусса. Для того чтобы частица находилась в стабильном равновесии, небольшие возмущения ("толчки") на частицу в любом направлении не должны нарушать это равновесие; частица должна "возвращаться" в прежнее положение. Это означает, что линии силового поля вокруг положения равновесия частицы должны все быть направлены внутрь, к этому положению. Если все окружающие линии поля направлены к точке равновесия, то дивергенция поля в этой точке должна быть отрицательной (то есть эта точка действует как сток). Однако закон Гаусса утверждает, что дивергенция любого возможного электрического поля в свободном пространстве равна нулю. В математической записи, электрическая сила F(r), производная от потенциала U(r), всегда будет бездивергентной (удовлетворяет уравнению Лапласа):

Следовательно, в свободном пространстве нет локальных минимумов или максимумов потенциала поля, есть только седловые точки. Стабильное равновесие частицы невозможно, и должна существовать нестабильность в каком-либо направлении. Этот аргумент может оказаться недостаточным, если все вторые производные U равны нулю. Чтобы быть полностью строгим, строго говоря, существование стабильной точки не требует, чтобы все соседние векторы силы указывали точно на эту точку; векторы силы могли бы, например, спирально сходиться к стабильной точке. Один из способов решения этой проблемы заключается в использовании того факта, что помимо дивергенции, ротор любого электрического поля в свободном пространстве также равен нулю (при отсутствии магнитных токов). Эту теорему можно также доказать непосредственно из уравнений силы/энергии для статических магнитных диполей (ниже). Интуитивно, однако, вполне вероятно, что если теорема верна для одного точечного заряда, то она будет верна и для двух противоположных точечных зарядов, соединенных вместе. В частности, она будет выполняться в пределе, когда расстояние между зарядами уменьшается до нуля при сохранении дипольного момента – то есть она будет выполняться для электрического диполя. Но если теорема верна для электрического диполя, то она будет верна и для магнитного диполя, поскольку (статические) уравнения силы/энергии имеют одинаковую форму для обоих типов диполей. Как практическое следствие, эта теорема также утверждает, что не существует статической конфигурации ферромагнетиков, способной стабильно удерживать объект в состоянии левитации против силы тяжести, даже если магнитные силы превышают гравитационные. Теорема Эрншоу была доказана даже для общего случая протяженных тел, и это справедливо даже если они гибкие и проводящие, при условии, что они не диамагнитны, поскольку диамагнетизм создает (небольшую) отталкивающую силу, но не притяжение. Однако существуют несколько исключений из предположений, лежащих в основе этого правила, которые допускают магнитную левитацию.

Протоки

Теорема Эрншоу не имеет исключений для неподвижных постоянных ферромагнитов. Однако теорема Эрншоу не обязательно применима к движущимся ферромагнитам, некоторым электромагнитным системам, псевдолевитации и диамагнитным материалам. Эти случаи могут казаться исключениями, но на самом деле используют ограничения, накладываемые теоремой. Магнитная левитация, стабилизированная вращением: вращающиеся ферромагниты (например, Левитрон) могут, находясь во вращении, магнитно левитировать, используя только постоянные ферромагниты, при этом система добавляет гироскопические силы. (Вращающийся ферромагнит не является "неподвижным ферромагнитом"). Переключение полярности электромагнита или системы электромагнитов может обеспечить левитацию системы за счет непрерывных затрат энергии. Маглев – одно из применений. Псевдолевитация ограничивает движение магнитов, как правило, с помощью какого-либо троса или ограничивающей стенки. Это работает, поскольку теорема показывает лишь наличие направления, в котором возникает нестабильность. Ограничение движения в этом направлении позволяет достичь левитации, используя менее трех измерений, доступных для движения (следует отметить, что теорема доказана для трех измерений, а не для одномерного или двумерного пространства). Диамагнитные материалы являются исключением, поскольку проявляют только отталкивание от магнитного поля, в то время как теорема требует материалов, обладающих как отталкиванием, так и притяжением. Примером является знаменитая левитирующая лягушка (см. Диамагнетизм). Теорема Эрншоу применима в инерциальной системе отсчета. Однако иногда более естественно работать во вращающейся системе отсчета, которая содержит фиктивную центробежную силу, нарушающую предположения теоремы Эрншоу. Точки, неподвижные во вращающейся системе отсчета (но движущиеся в инерциальной системе), могут быть абсолютно стабильными или абсолютно нестабильными. Например, в упрощенной задаче трех тел эффективный потенциал, создаваемый фиктивной центробежной силой, позволяет точкам Лагранжа L4 и L5 находиться в локальных максимумах эффективного потенциального поля, даже если в этих точках сосредоточена пренебрежимо малая масса. (Несмотря на то, что эти точки Лагранжа находятся в локальных максимумах потенциального поля, а не в локальных минимумах, они все же абсолютно стабильны в определенном диапазоне параметров благодаря фиктивной зависящей от скорости силе Кориолиса, которая не учитывается скалярным потенциальным полем.)

Влияние на физику

В течение довольно долгого времени теорема Эрншоу ставила удивительный вопрос о том, почему материя стабильна и удерживается вместе, поскольку было найдено множество доказательств того, что материя удерживается электромагнитным взаимодействием, несмотря на доказанную нестабильность конфигураций статического заряда. Поскольку теорема Эрншоу применима только к неподвижным зарядам, предпринимались попытки объяснить стабильность атомов с использованием планетарных моделей, таких как сатурнианская модель Нагаоки (1904) и планетарная модель Резерфорда (1911), в которых точечные электроны вращаются вокруг положительного точечного заряда в центре. Однако стабильность таких планетарных моделей была немедленно поставлена под сомнение: электроны испытывают ненулевое ускорение при движении по окружности и, следовательно, должны излучать энергию посредством нестационарного электромагнитного поля. Модель Бора 1913 года формально запретила это излучение, не предоставив объяснения его отсутствия. С другой стороны, теорема Эрншоу применима только к точечным зарядам, но не к распределенным зарядам. Это привело Дж. Дж. Томсона в 1904 году к его модели «сливочного пудинга», в которой отрицательные точечные заряды (электроны, или «сливы») встроены в распределенный положительный заряд «пудинга», где они могут быть либо неподвижными, либо двигаться по окружностям; это конфигурация, состоящая из неточечных положительных зарядов (а также нестационарных отрицательных зарядов), не подпадающая под действие теоремы Эрншоу. В конечном итоге это привело к модели Шрёдингера 1926 года, где существование нерадиационных состояний, в которых электрон не является точкой, а скорее распределенной плотностью заряда, разрешает вышеуказанную проблему на фундаментальном уровне: не только не возникает противоречия с теоремой Эрншоу, но и полученная плотность заряда и плотность тока оказываются стационарными, а также стационарным является соответствующее электромагнитное поле, которое больше не излучает энергию в бесконечность. Это дало квантово-механическое объяснение стабильности атома. На более практическом уровне можно сказать, что принцип исключения Паули и существование дискретных электронных орбиталей обеспечивают жесткость макроскопических тел.

Введение

Хотя более общее доказательство может быть возможно, здесь рассматриваются три конкретных случая. Первый случай – магнитный диполь постоянной величины с быстро (фиксированной) ориентацией. Во втором и третьем случаях рассматриваются магнитные диполи, ориентация которых изменяется таким образом, чтобы оставаться выровненными параллельно или антипараллельно линиям магнитного поля внешнего поля. В парамагнитных и диамагнитных материалах диполи выравниваются параллельно и антипараллельно линиям поля соответственно.

Подробные доказательства

Теорема Эрншоу первоначально была сформулирована для электростатики (точечных зарядов) с целью показать, что не существует стабильной конфигурации системы точечных зарядов. Приведенные здесь доказательства для отдельных диполей должны быть применимы и к системам магнитных диполей, поскольку они основаны на энергии, являющейся аддитивной величиной. Тем не менее, строгое рассмотрение данной темы в настоящее время выходит за рамки данной статьи.