Кіріспе
Дискретті уақыт динамикалық жүйесі
In mathematics, the Hénon map, sometimes called Hénon–Pomeau attractor/map, is a discrete time dynamical system. It is one of the most studied examples of dynamical systems that exhibit chaotic behavior. The Hénon map takes a point (xn, yn) in the plane and maps it to a new point
The map depends on two parameters, a and b, which for the classical Hénon map have values of 1=a = 1.4 and 1=b = 0.3. For the classical values the Hénon map is chaotic. For other values of a and b the map may be chaotic, intermittent, or converge to a periodic orbit. An overview of the type of behavior of the map at different parameter values may be obtained from its orbit diagram. The map was introduced by Michel Hénon as a simplified model of the Poincaré section of the Lorenz model. For the classical map, an initial point of the plane will either approach a set of points known as the Hénon strange attractor, or diverge to infinity. The Hénon attractor is a fractal, smooth in one direction and a Cantor set in another. Numerical estimates yield a correlation dimension of 1.21 ± 0.01 or 1.25 ± 0.02 (depending on the dimension of the embedding space) and a Box Counting dimension of 1.261 ± 0.003 for the attractor of the classical map.
Математикада, Хенон картасы, кейде Хенон–Помеу аттракторы/картасы деп аталады, дискретті уақыт динамикалық жүйесі болып табылады. Бұл хаотикалық мінез-құлық көрсететін динамикалық жүйелердің ең көп зерттелген мысалдарының бірі. Хенон картасы жазықтықтағы (xn, yn) нүктесін алып, оны жаңа нүктеге бейнелейді. Карта екі параметрге – a және b – тәуелді, олардың классикалық Хенон картасы үшін мәндері 1=a = 1.4 және 1=b = 0.3-ке тең. Классикалық мәндерде Хенон картасы хаотикалық. a және b-нің басқа мәндері үшін карта хаотикалық, аралық немесе периодтық орбитаға жуықтасуы мүмкін. Картаның әртүрлі параметрлердегі мінез-құлқының түрін оның орбиталық диаграммасынан білуге болады. Картаны Мишель Хенон Лоренц моделінің Пуанкаре қимасының жеңілдетілген моделі ретінде ұсынды. Классикалық карта үшін жазықтықтағы бастапқы нүкте Хенонның ерекше аттракторы деп аталатын нүктелер жиынына жақындасады немесе шексіздікке таралады. Хенон аттракторы – фрактал, бір бағытта тегіс, ал екінші бағытта Кантор жиыны. Сандық есептеулер аттрактордың корреляциялық өлшемі 1.21 ± 0.01 немесе 1.25 ± 0.02 (қосылған кеңістіктің өлшеміне байланысты) және классикалық карта үшін қорапты санау өлшемі 1.261 ± 0.003 екенін көрсетеді.
In mathematics, the Hénon map, sometimes called Hénon–Pomeau attractor/map, is a discrete time dynamical system. It is one of the most studied examples of dynamical systems that exhibit chaotic behavior. The Hénon map takes a point (xn, yn) in the plane and maps it to a new point
The map depends on two parameters, a and b, which for the classical Hénon map have values of 1=a = 1.4 and 1=b = 0.3. For the classical values the Hénon map is chaotic. For other values of a and b the map may be chaotic, intermittent, or converge to a periodic orbit. An overview of the type of behavior of the map at different parameter values may be obtained from its orbit diagram. The map was introduced by Michel Hénon as a simplified model of the Poincaré section of the Lorenz model. For the classical map, an initial point of the plane will either approach a set of points known as the Hénon strange attractor, or diverge to infinity. The Hénon attractor is a fractal, smooth in one direction and a Cantor set in another. Numerical estimates yield a correlation dimension of 1.21 ± 0.01 or 1.25 ± 0.02 (depending on the dimension of the embedding space) and a Box Counting dimension of 1.261 ± 0.003 for the attractor of the classical map.
Тартқыш
Хенон картасы екі нүктені өздеріне бейнелейді: бұл инвариантты нүктелер. Хенон картасының a және b классикалық мәндері үшін, осы нүктелердің бірі аттракторда орналасқан:
Бұл нүкте тұрақсыз. Осы бекітілген нүктеге жақын және 1.924 еңісті бойындағы нүктелер бекітілген нүктеге жақындайды, ал 0.156 еңісті бойындағы нүктелер бекітілген нүктеден алыстайды. Бұл еңістер бекітілген нүктенің тұрақты және тұрақсыз көптіктерінің сызықтық жуықтауынан туындайды. Аттрактордағы бекітілген нүктенің тұрақсыз көптігі Хенон картасының жат аттракторының ішінде орналасқан. Хенон картасының барлық a және b параметрлері үшін жат аттракторы болмайды. Мысалы, b-ді 0.3-ке бекітіп, бифуркация диаграммасы a = 1.25 үшін Хенон картасының тұрақты периодты орбитасы аттрактор ретінде болатынын көрсетеді. Cvitanović және авторлар аттрактор ішіндегі тұрақсыз периодты орбиталар арқылы Хенонның жат аттракторының құрылымын қалай түсінуге болатынын көрсетті.
Бифуркация диаграммасымен байланыс
Егер бірнеше Хенон картасы салынатын болса, әр карта үшін b мәнін өзгертіп, барлық карталарды біріктіргенде, Бифуркация диаграммасы құрылады. Бұл диаграмма тако сияқты бүктеледі. Сондықтан, оның 2D кеңістікте жоғарыдан қарағандағы пішіні бумеранг тәрізді болады.
Бір өлшемді ыдырау
Хенон картасын Фибоначчи тізбегі сияқты анықталатын бір өлшемді картаға бөлуге болады.
Төрт өлшемді кеңейту
Хенон картасын x және y осьтерінде көрсетуге болатындықтан, a және b мәндерін өзгерту арқылы сызу үшін екі қосымша өлшемге қол жеткіземіз. Осылайша, Хенон картасын төрт өлшемді кеңістікте көрсету мүмкін. Мұндай көрсетуді үш осьті білдіретін бір гипержазықты (яғни кеңістіктің бір кубін) қарастырып, уақыт өте келе төртінші ось бойымен жылжыту арқылы елестете аламыз. Оң жақтағы видео мысалында әр кадр үшін үш ось x, y және b болып табылады. Ал уақыт өте келе a осьі бойынша қозғалыс жасалады.
Тарих
1976 жылы Францияда физик Ив Помео Лоренц тартымдылығын талдап, Ж. Л. Ибанезбен бірге сандық есептеулер сериясын жүргізеді. Бұл талдау 1975 жылы ұсынылған Руэллдің (және Ланфордтың) жұмысына толықтыру болып табылады. Оларды қызықтырған нәрсе – Лоренц тартымдылығы, яғни бастапқы дифференциалдық теңдеулерге сәйкес келетін тартымдылық және оның геометриялық құрылымы. Помео мен Ибанес Поанкаре қималарын қолдана отырып, сандық есептеулерінің нәтижелерін математикалық талдаумен үйлестіреді. Тартылу, бүктелу, бастапқы шарттарға сезімталдық – бұл құбылыстар Лоренц тартымдылығымен байланысты осы контексте табиғи түрде туындайды. Талдау математикалық тұрғыдан терең болғанымен, Помео мен Ибанес белгілі бір дәрежеде физиктерге тән тәсілді ұстанады, Лоренц жүйесімен сандық эксперименттер жүргізеді. Осы эксперименттер екі маңызды жаңалықты ашады. Біріншіден, олар Лоренц жүйесінің ерекше мінез-құлқын анықтауға мүмкіндік береді: жүйе параметрлерінің белгілі бір сындық мәнінде, жүйе таңғажайып тартымдылықтан шекті циклге өтетін ауысу орын алады. Бұл құбылыстың маңыздылығын Помео (және оның әріптесі Пол Манневилл) 1979 жылы ұсынған "Үзіліс сценарийі" арқылы ашады. Екіншіден, Помео мен Ибанес Лоренц жүйесінен де қарапайым, бірақ оған ұқсас сипаттамалары бар динамикалық жүйелерді құру идеясын ұсынады. Мұндай жүйелер сандық есептеулер арқылы алынған нәтижелерді нақтырақ дәлелдеуге мүмкіндік берер еді. Поанкаре қимасына негізделгендіктен, олар дифференциалдық теңдеудің орнына, жазықтықта қолданылатын функцияны жасауды ұсынады, бұл функция Лоренцтің және оның таңғажайып тартымдылығының мінез-құлқын имитациялайды. Олар оны арнайы түрде құрастырады, бұл оларға өз ойларын негіздеуге көмектеседі. 1976 жылдың қаңтар айында Помео Азур жағалауы обсерваториясында өткен семинарда өз жұмысын ұсынды, оған Мишель Хенон қатысты. Мишель Хенон Помеоның ұсынысын пайдаланып, таңғажайып тартымдылығы бар қарапайым жүйені құрастырады.
Купман режимдері
Динамикалық жүйеде Купман операторы скалярлық өрістер кеңістігіндегі табиғи сызықтық оператор болып табылады. Жалпы сызықтық емес жүйелер үшін осы оператордың өзіндік функцияларын ешқандай жақсы түрінде жазу мүмкін емес. Оларды сандық түрде есептеу қажет. Бұл режимдер Ханон картасы сияқты хаотикалық карталардың символдық динамикасын түсінуге көмектеседі. Көрсетілген режимде, ерекше тартымдылықтың тұрақты манифольді анық көрінеді.
Жалпылау
Хенон картасының 3D-ге жалпылануы Хитц пен Зеле тарапынан ұсынылды. Ол былай беріледі:
және үшін, бірлік сфераның ішіндегі дерлік барлық бастапқы жағдайлар ең үлкен Ляпунов экспонентасы бар хаотикалық сигналдар тудыратынын көрсетуге болады.