Кеңістік теориясындағы Расселдің парадоксы

Кіріспе

Математикалық логикада Расселдің парадоксы (Расселдің антиномиясы деп те аталады) – британдық философ және математик Бертран Расселдің 1901 жылы жариялаған жиын теориясының парадоксы. Расселдің парадоксы шексіз түсініктілік принципін қамтитын кез келген жиын теориясы қарама-қайшылықтарға алып келетінін көрсетеді. Парадокс 1899 жылы неміс математигі Эрнст Зермело тәуелсіз түрде ашқан. Алайда, Зермело бұл идеяны жарияламады, ол тек Дэвид Гильберт, Эдмунд Гуссерль және Геттинген университетінің басқа да ғалымдарына ғана белгілі болды. 1890-шы жылдардың соңында, қазіргі заманғы жиын теориясының негізін қалаушы саналатын Георг Кантор, өзінің теориясы қарама-қайшылыққа әкелетінін түсінді, ол Гильберт пен Рихард Дедекиндке хат арқылы хабарлады. Шексіз түсініктілік принципіне сәйкес, кез келген жеткілікті анықталған қасиет үшін, дәл сол қасиетке ие барлық және жалғыз ғана объектілердің жиыны бар. R – өзінің мүшесі емес жиындардың жиыны болсын. (Бұл жиын кейде «Рассел жиыны» деп аталады.) Егер R өзінің мүшесі болмаса, онда оның анықтамасы оның өзін мүше деп көрсетеді; ал егер ол өзінің мүшесі болса, онда ол өзінің мүшесі емес, өйткені ол өзінің мүшесі емес жиындардың жиыны. Соның салдарынан туындаған қарама-қайшылық – Расселдің парадоксы. Символдармен:

Paradox in set theory

In mathematical logic, Russell's paradox (also known as Russell's antinomy) is a set theoretic paradox published by the British philosopher and mathematician Bertrand Russell in 1901. Russell's paradox shows that every set theory that contains an unrestricted comprehension principle leads to contradictions. The paradox had already been discovered independently in 1899 by the German mathematician Ernst Zermelo. However, Zermelo did not publish the idea, which remained known only to David Hilbert, Edmund Husserl, and other academics at the University of Göttingen. At the end of the 1890s, Georg Cantor – considered the founder of modern set theory – had already realized that his theory would lead to a contradiction, as he told Hilbert and Richard Dedekind by letter. According to the unrestricted comprehension principle, for any sufficiently well defined property, there is the set of all and only the objects that have that property. Let R be the set of all sets that are not members of themselves. (This set is sometimes called "the Russell set".) If R is not a member of itself, then its definition entails that it is a member of itself; yet, if it is a member of itself, then it is not a member of itself, since it is the set of all sets that are not members of themselves. The resulting contradiction is Russell's paradox. In symbols:

Russell also showed that a version of the paradox could be derived in the axiomatic system constructed by the German philosopher and mathematician Gottlob Frege, hence undermining Frege's attempt to reduce mathematics to logic and calling into question the logicist programme. Two influential ways of avoiding the paradox were both proposed in 1908: Russell's own type theory and the Zermelo set theory. In particular, Zermelo's axioms restricted the unlimited comprehension principle. With the additional contributions of Abraham Fraenkel, Zermelo set theory developed into the now standard Zermelo–Fraenkel set theory (commonly known as ZFC when including the axiom of choice). The main difference between Russell's and Zermelo's solution to the paradox is that Zermelo modified the axioms of set theory while maintaining a standard logical language, while Russell modified the logical language itself. The language of ZFC, with the help of Thoralf Skolem, turned out to be that of first order logic.

Рассел сондай-ақ, парадокстың бір түрі неміс философы және математигі Готтлоб Фреге құраған аксиоматикалық жүйеде шығарыла алатынын көрсетті, осылайша Фрегенің математиканы логикаға келтіру әрекетін күмәнде қалдырып, логикалық бағдарламаны сұраққа тоқтатты. Парадокстан қашудың екі ықпалды жолы 1908 жылы ұсынылды: Расселдің жеке типтер теориясы және Зермело жиын теориясы. Атап айтқанда, Зермело аксиомалары шексіз түсініктілік принципін шектеді. Авраам Френкельдің қосымша үлесімен, Зермело жиын теориясы қазіргі стандартты Зермело-Френкель жиын теориясына (әдетте таңдау аксиомасы қосылғанда ZFC деп аталады) дамыды. Рассел мен Зермелоның парадоксқа берген шешімдерінің басты айырмашылығы – Зермело стандартты логикалық тілді сақтай отырып, жиын теориясының аксиомаларын өзгерткен, ал Рассел логикалық тілдің өзін өзгерткен. Торалф Сколемнің көмегімен ZFC тілі бірінші реттік логика екені анықталды.

Бейресми таныстыру

Көптеген жиынтықтар өздерінің мүшелері болмайды. Егер жиын өзін-өзі мүше ретінде қамтымаса, оны "қалыпты" деп атаймыз, ал егер өзін-өзі мүше ретінде қамтыса, "ақаулы" деп атаймыз. Әрине, кез келген жиын қалыпты немесе ақаулы болуы керек. Мысалы, жазықтықтағы барлық квадраттар жиынын қарастырайық. Бұл жиын өзі жазықтықтағы квадрат емес, сондықтан ол өзін-өзі мүше ретінде қамтымайды, демек қалыпты. Керісінше, жазықтықтағы квадрат емес барлық нәрсені қамтитын толықтыру жиыны өзі жазықтықтағы квадрат емес, сондықтан ол өзінің мүшесі болып табылады және демек ақаулы. Енді барлық қалыпты жиынтықтар жиынын, R, қарастырайық және R қалыпты ма әлде ақаулы ма екенін анықтауға тырысамыз. Егер R қалыпты болса, онда ол барлық қалыпты жиынтықтар жиынына (өзіне) кіреді, демек ақаулы болады; ал егер R ақаулы болса, онда ол барлық қалыпты жиынтықтар жиынына (өзіне) кірмейді, демек қалыпты болады. Бұл R қалыпты да, ақаулы да емес деген қорытындыға әкеледі: Расселдің парадоксы.

Жинақ теориясы жауаптары

Классикалық логиканың жарылыс принципіне сәйкес, кез келген ұйғарым қарама-қайшылықтан дәлелделуі мүмкін. Сондықтан, аксиоматикалық жиын теориясында Расселдің парадоксы сияқты қарама-қайшылықтардың болуы қатаң зиянды; себебі, кез келген формуланың шындық екені дәлелденсе, шындық пен жалғанның дәстүрлі мағынасы жойылады. Бұдан әрі, жиын теориясы математиканың басқа барлық салаларының аксиоматикалық дамуының негізі ретінде қарастырылғандықтан, Расселдің парадоксы математиканың негіздеріне жалпы алғанда қауіп төндірді. Бұл 20 ғасырдың басында үйлесімді (қарама-қайшылықсыз) жиын теориясын жасау үшін көптеген зерттеулерге түрткіс берді. 1908 жылы Эрнст Зермело жиын теориясын аксиоматизациялауды ұсынды, бұл наив жиын теориясының парадокстарын болдырмау үшін кездейсоқ жиын түсінігін әлсіз экзистенция аксиомаларымен, мысалы, оның бөліну аксиомасымен (Aussonderung) алмастырды. (Парадокстан аулақ болу Зермелоның бастапқы ниеті емес, оның орнына жақсы реттеу теоремасын дәлелдеуде қолданған болжамдарын құжаттау болды.) 1920 жылдары Абрахам Френкель, Торальф Сколем және Зермелоның өзі ұсынған аксиоматикалық теорияның өзгерістері ZFC деп аталатын аксиоматикалық жиын теориясын құрады. Бұл теория Зермелоның таңдау аксиомасы даулы болмай қалғаннан кейін кеңінен қабылданды және ZFC бүгінгі күнге дейін канондық аксиоматикалық жиын теориясы болып табылады. ZFC әрбір қасиет үшін сол қасиетті қанағаттандыратын барлық нысандар жиынтығы бар деп есептемейді. Керісінше, ол кез келген Х жиыны үшін, бірінші реттік логиканы қолдану арқылы анықталатын Х-тың кез келген ішкі жиыны бар екенін көрсетеді. Жоғарыда Расселдің парадоксымен анықталған R нысаны Х жиынының ішкі жиыны ретінде құрастырыла алмайды, сондықтан ZFC-де жиын болып табылмайды. ZFC-нің кейбір кеңейтімдерінде, әсіресе фон Нейман–Бернейс–Гёдель жиын теориясында, R сияқты нысандар нақты сыныптар деп аталады. ZFC типтер туралы ештеңе айтпайды, бірақ жинақталған иерархияда типтерге ұқсас қабаттар туралы түсінік бар. Зермело өзі Сколемнің ZFC-ні бірінші реттік логика тілінде қалыптастыруын қабылдаған жоқ. Жозе Феррейрос атап өткендей, Зермело "ішкі жиынды бөліп шығару үшін қолданылатын пропозициялық функциялар (шарттар немесе предикаттар), сондай-ақ ауыстыру функциялары" толығымен ерікті [ganz beliebig] болуы мүмкін деп талап етті; осы мәлімдемеге берілген қазіргі заманғы түсіндірме - Зермело Сколемнің парадоксынан аулақ болу үшін жоғары реттік сандық өлшеуді қосуды қалады. 1930 жылдар шамасында Зермело (әлдеқанда фон Нейманнан тәуелсіз түрде) негіз аксиомасын енгізді, осылайша Феррейрос байқағандай, "дөңгелек" және "негізделмеген" жиындарды тыйым салғанда, ол [ZFC] ТТ [тип теориясының] маңызды мотивацияларының бірін қамтыды - аргументтер түрлерінің принципі". Зермело ұсынған негіз аксиомасын қамтитын бұл 2-ші реттік ZFC бай жинақталған иерархияға мүмкіндік берді. Феррейрос "Зермелоның қабаттары Гёдель мен Тарски ұсынған қарапайым ТТ [тип теориясының] қазіргі нұсқаларындағы типтермен шамалы ғана ерекшеленеді. Зермело өз модельдерін трансфиниттік типтерге рұқсат етілген жинақталған ТТ ғаламы ретінде сипаттауға болады. (Кластар құрастырылған деген идеядан бас тартып, алдын ала болжау көзқарасын қабылдағаннан кейін, трансфиниттік типтерді қабылдау табиғи емес.) Осылайша, қарапайым TT және ZFC қазір бірдей мақсаттағы нысандар туралы "сөйлейтін" жүйелер ретінде қарастырылуы мүмкін. Негізгі айырмашылық TT жоғары реттік логикаға сүйенсе, ал Зермело екінші реттік логиканы қолданды, ал ZFC-ге бірінші реттік тұжырымдама да берілуі мүмкін. Жинақталған иерархияның бірінші реттік 'сипаттамасы' әлдеқайда әлсіз, бұл саналатын модельдердің болуымен (Сколемнің парадоксы) көрсетілген, бірақ ол кейбір маңызды артықшылықтарға ие". ZFC-де A жиыны берілгенде, A-дағы өздерінің мүшелері емес жиындардан тұратын B жиынын анықтауға болады. Расселдің парадоксындағы сияқты, B А-да бола алмайды. Расселдің парадоксының бұл түрі ешқандай жиынның барлығын қамтымайтынын көрсетеді. Зермело мен басқалардың, әсіресе Джон фон Нейманның жұмыстары арқылы ZFC сипаттаған "табиғи" нысандардың құрылымы ақырында анық болды: олар бос жиыннан қуат жиын операциясын трансфиниттік итерациялау арқылы құрылған фон Нейман ғаламының элементтері, V. Осылайша, енді жиындар туралы Расселдің парадоксына қайшы келместен, аксиоматикалық емес тәсілмен ойлануға болады, атап айтқанда V элементтері туралы ойлануға болады. Жиындарды осылай қарастырудың дұрыс екені математика философиясы бойынша бәсекелес көзқарастар арасында дау тудырады. Расселдің парадоксына басқа шешімдер, тип теориясының стратегиясына жақын, Куайннің Жаңа Негіздері және Скотт–Поттер жиын теориясын қамтиды. Тағы бір тәсіл - тиісті өзгертілген түсінік схемасымен бірнеше мүшелік қатынастарын анықтау, мысалы, қос кеңейтім жиын теориясында.

From the principle of explosion of classical logic, any proposition can be proved from a contradiction. Therefore, the presence of contradictions like Russell's paradox in an axiomatic set theory is disastrous; since if any formula can be proved true it destroys the conventional meaning of truth and falsity. Further, since set theory was seen as the basis for an axiomatic development of all other branches of mathematics, Russell's paradox threatened the foundations of mathematics as a whole. This motivated a great deal of research around the turn of the 20th century to develop a consistent (contradiction free) set theory. In 1908, Ernst Zermelo proposed an axiomatization of set theory that avoided the paradoxes of naive set theory by replacing arbitrary set comprehension with weaker existence axioms, such as his axiom of separation (Aussonderung). (Avoiding paradox was not Zermelo's original intention, but instead to document which assumptions he used in proving the well ordering theorem.) Modifications to this axiomatic theory proposed in the 1920s by Abraham Fraenkel, Thoralf Skolem, and by Zermelo himself resulted in the axiomatic set theory called ZFC. This theory became widely accepted once Zermelo's axiom of choice ceased to be controversial, and ZFC has remained the canonical axiomatic set theory down to the present day. ZFC does not assume that, for every property, there is a set of all things satisfying that property. Rather, it asserts that given any set X, any subset of X definable using first order logic exists. The object R defined by Russell's paradox above cannot be constructed as a subset of any set X, and is therefore not a set in ZFC. In some extensions of ZFC, notably in von Neumann–Bernays–Gödel set theory, objects like R are called proper classes. ZFC is silent about types, although the cumulative hierarchy has a notion of layers that resemble types. Zermelo himself never accepted Skolem's formulation of ZFC using the language of first order logic. As José Ferreirós notes, Zermelo insisted instead that "propositional functions (conditions or predicates) used for separating off subsets, as well as the replacement functions, can be 'entirely arbitrary [ganz beliebig]"; the modern interpretation given to this statement is that Zermelo wanted to include higher order quantification in order to avoid Skolem's paradox. Around 1930, Zermelo also introduced (apparently independently of von Neumann), the axiom of foundation, thus—as Ferreirós observes—"by forbidding 'circular' and 'ungrounded' sets, it [ZFC] incorporated one of the crucial motivations of TT [type theory]—the principle of the types of arguments". This 2nd order ZFC preferred by Zermelo, including axiom of foundation, allowed a rich cumulative hierarchy. Ferreirós writes that "Zermelo's 'layers' are essentially the same as the types in the contemporary versions of simple TT [type theory] offered by Gödel and Tarski. One can describe the cumulative hierarchy into which Zermelo developed his models as the universe of a cumulative TT in which transfinite types are allowed. (Once we have adopted an impredicative standpoint, abandoning the idea that classes are constructed, it is not unnatural to accept transfinite types.) Thus, simple TT and ZFC could now be regarded as systems that 'talk' essentially about the same intended objects. The main difference is that TT relies on a strong higher order logic, while Zermelo employed second order logic, and ZFC can also be given a first order formulation. The first order 'description' of the cumulative hierarchy is much weaker, as is shown by the existence of countable models (Skolem's paradox), but it enjoys some important advantages." In ZFC, given a set A, it is possible to define a set B that consists of exactly the sets in A that are not members of themselves. B cannot be in A by the same reasoning in Russell's Paradox. This variation of Russell's paradox shows that no set contains everything. Through the work of Zermelo and others, especially John von Neumann, the structure of what some see as the "natural" objects described by ZFC eventually became clear: they are the elements of the von Neumann universe, V, built up from the empty set by transfinitely iterating the power set operation. It is thus now possible again to reason about sets in a non axiomatic fashion without running afoul of Russell's paradox, namely by reasoning about the elements of V. Whether it is appropriate to think of sets in this way is a point of contention among the rival points of view on the philosophy of mathematics. Other solutions to Russell's paradox, with an underlying strategy closer to that of type theory, include Quine's New Foundations and Scott–Potter set theory. Yet another approach is to define multiple membership relation with appropriately modified comprehension scheme, as in the Double extension set theory.