Кіріспе
Алгебралық бүтін санның түрі. Математикада Писот-Виджаярагхаван саны, сонымен қатар Писот саны немесе PV саны деп аталатын бұл сан 1-ден үлкен нақты алгебралық бүтін сан болып табылады, оның барлық Галуа конугаттарының абсолюттік мәні 1-ден кем. Бұл сандарды 1912 жылы Аксель Тью ашқан, ал 1919 жылы Г.Х. Харди диофанттық жуықтау аясында қайта ашты. Олар 1938 жылы Шарль Пизоның диссертациясы жарияланғаннан кейін кеңінен танымал болды. Бұл сандар Фурье қатарларының бірегейлік мәселесінде де кездеседі. Тируканнапурам Виджаярагхаван және Рафаэль Салем 1940 жылдары оларды зерттеуді жалғастырды. Салем сандары олармен тығыз байланысты сандар жиыны болып табылады. PV сандарының ерекше қасиеті – олардың дәрежелері экспоненциалдық жылдамдықпен бүтін сандарға жақындауы. Пизо керемет кері теореманы дәлелдеді: егер α > 1 нақты сан болса және оның тізбекті дәрежелерінің ең жақын бүтін санға дейінгі қашықтығын өлшеу тізбегі квадраттық қосынды немесе l₂ болса, онда α – Писот саны (яғни, әсіресе алгебралық). PV сандарының осы сипаттамасын пайдалана отырып, Салем барлық PV сандарының S жиыны жабық екенін көрсетті. Оның ең кіші мүшесі – пластикалық қатынас деп аталатын кубтық иррационал сан. S жиынының жинақталу нүктелері жақсы зерттелген, олардың ең кішісі – алтын қатынас.
In mathematics, a Pisot–Vijayaraghavan number, also called simply a Pisot number or a PV number, is a real algebraic integer greater than 1, all of whose Galois conjugates are less than 1 in absolute value. These numbers were discovered by Axel Thue in 1912 and rediscovered by G. H. Hardy in 1919 within the context of Diophantine approximation. They became widely known after the publication of Charles Pisot's dissertation in 1938. They also occur in the uniqueness problem for Fourier series. Tirukkannapuram Vijayaraghavan and Raphael Salem continued their study in the 1940s. Salem numbers are a closely related set of numbers. A characteristic property of PV numbers is that their powers approach integers at an exponential rate. Pisot proved a remarkable converse: if α > 1 is a real number such that the sequence
measuring the distance from its consecutive powers to the nearest integer is square summable, or ℓ 2, then α is a Pisot number (and, in particular, algebraic). Building on this characterization of PV numbers, Salem showed that the set S of all PV numbers is closed. Its minimal element is a cubic irrationality known as the plastic ratio. Much is known about the accumulation points of S. The smallest of them is the golden ratio.
Анықтама және қасиеттері
n-дәрежелі алгебралық бүтін сан – n-дәрежелі, бүтін коэффициенттері бар, өзіндік азайғысыз мономдық полином P(x)-тің α түбірі, оның ең төменгі полиномы. P(x)-тің басқа түбірлері α-ның конъюгаттары деп аталады. Егер α > 1 болса, бірақ P(x)-тің қалған барлық түбірлері 1-ден кіші абсолюттік мәні бар нақты немесе кешенді сандар болса, яғни олар кешенді жазықтықтағы бірлік шеңберінің ішінде орналасса, онда α Пизот саны, Пизот-Виджаярагхаван саны немесе жай ғана PV саны деп аталады. Мысалы, алтын қатынас φ ≈ 1.618 – 1-ден үлкен нақты квадраттық бүтін сан, ал оның конъюгатының абсолюттік мәні −φ−1 ≈ −0.618 1-ден кіші. Сондықтан φ – Пизот саны. Оның ең төменгі полиномы x² − x − 1.
Элементарлық қасиеттері
1-ден үлкен әрбір бүтін сан PV саны болып табылады. Керісінше, әрбір рационалды PV саны 1-ден үлкен бүтін сан. Егер α – ең кіші көпмүшесі k-мен аяқталатын иррационалды PV саны болса, онда α |k|-дан үлкен. Егер α – PV саны болса, онда оның барлық оң бүтін көрсеткіштері k үшін αk да PV саны болады.
Every real algebraic number field K of degree n contains a PV number of degree n. This number is a field generator. The set of all PV numbers of degree n in K is closed under multiplication. Given an upper bound M and degree n, there are only finitely many of PV numbers of degree n that are less than M.
Every PV number is a Perron number (a real algebraic number greater than one all of whose conjugates have smaller absolute value).
Кез келген нақты алгебралық сандар өрісі K, n дәрежелі, n дәрежелі PV санын қамтиды. Бұл сан өріс туындысы болып табылады. K-дегі n дәрежелі барлық PV сандарының жиыны көбейту бойынша жабық. Жоғары шек M және n дәрежесі берілгенде, M-ден кіші n дәрежелі PV сандарының саны шектеулі.
Every real algebraic number field K of degree n contains a PV number of degree n. This number is a field generator. The set of all PV numbers of degree n in K is closed under multiplication. Given an upper bound M and degree n, there are only finitely many of PV numbers of degree n that are less than M.
Every PV number is a Perron number (a real algebraic number greater than one all of whose conjugates have smaller absolute value).
Кез келген PV саны – Перрон саны (бірден үлкен нақты алгебралық сан, оның барлық түйіндестерінің абсолюттік шамасы кіші).
Every real algebraic number field K of degree n contains a PV number of degree n. This number is a field generator. The set of all PV numbers of degree n in K is closed under multiplication. Given an upper bound M and degree n, there are only finitely many of PV numbers of degree n that are less than M.
Every PV number is a Perron number (a real algebraic number greater than one all of whose conjugates have smaller absolute value).