Числа Писота — Виджаярагхавана

Введение

Тип алгебраического целого числа
В математике число Пизота — Виджаярагхавана, также называемое просто числом Пизота или числом PV, является действительным алгебраическим целым числом, большим 1, все галуа-сопряжённые которого имеют абсолютное значение меньше 1. Эти числа были открыты Акселем Туэ в 1912 году и повторно открыты Г. Х. Харди в 1919 году в контексте диофантовой аппроксимации. Они получили широкую известность после публикации диссертации Шарля Пизо в 1938 году. Они также возникают в задаче единственности для рядов Фурье. Тирукканнапурам Виджаярагаван и Рафаэль Салем продолжили их изучение в 1940-х годах. Числа Салема — это тесно связанное множество чисел. Характерным свойством чисел PV является то, что их степени приближаются к целым числам экспоненциально быстро. Пизо доказал замечательное обратное утверждение: если α > 1 — действительное число, такое, что последовательность, измеряющая расстояние от его последовательных степеней до ближайшего целого числа, является суммируемой в квадрате, или принадлежит пространству ℓ₂ , то α является числом Пизо (и, в частности, алгебраическим). Опираясь на эту характеристику чисел PV, Салем показал, что множество S всех чисел PV замкнуто. Его минимальный элемент — кубическая иррациональность, известная как пластическое отношение. Многое известно о точках накопления S. Наименьшая из них — золотое сечение.

Определение и свойства

Алгебраическое целое степени n — это корень α необратимого мо́нического многочлена P(x) степени n с целыми коэффициентами, являющегося его минимальным многочленом. Другие корни P(x) называются сопряжёнными к α. Если α > 1, но все остальные корни P(x) — действительные или комплексные числа с абсолютной величиной, меньшей 1, так что они лежат строго внутри единичной окружности на комплексной плоскости, то α называется числом Пизота, числом Пизота — Виджаярагхавана или просто PV-числом. Например, золотое сечение φ ≈ 1.618 — это действительное квадратичное целое число, большее 1, при этом абсолютная величина его сопряжённого −φ−1 ≈ −0.618 меньше 1. Следовательно, φ является числом Пизота. Его минимальный многочлен — x² − x − 1.

Элементарные свойства

Каждое целое число, большее 1, является PV-числом. И наоборот, каждое рациональное PV-число является целым числом, большим 1. Если α – иррациональное PV-число, минимальный полином которого заканчивается на k, то α больше, чем |k|. Если α является PV-числом, то его степени α^k также являются PV-числами для всех положительных целых показателей k.

Каждое поле действительных алгебраических чисел K степени n содержит PV-число степени n. Это число является образующим для поля. Множество всех PV-чисел степени n в K замкнуто относительно умножения. При заданном верхнем ограничении M и степени n существует лишь конечное число PV-чисел степени n, меньших M.

Каждое PV-число является числом Перрона (действительное алгебраическое число, большее единицы, все сопряженные которого имеют меньшую абсолютную величину).