Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Басқару инженериясындағы жүйенің математикалық моделі
Mathematical model of a system in control engineering
Басқару инженериясында және жүйелерді анықтауда күй кеңістігі бейнелеуі – бірінші реттік дифференциалдық теңдеулер немесе айырмашылық теңдеулер арқылы байланыстырылған кіріс, шығыс және айнымалылар жиынтығы ретінде сипатталатын физикалық жүйенің математикалық моделі. Мұндай айнымалылар, күй айнымалылары деп аталады, уақыт өте келе олардың кез келген сәттегі мәндеріне және кіріс айнымалыларының сырттан берілген мәндеріне байланысты өзгереді. Шығыс айнымалыларының мәндері күй айнымалыларының мәндеріне тәуелді және кіріс айнымалыларының мәндеріне де тәуелді болуы мүмкін. Күй кеңістігі немесе фазалық кеңістік – осьтері күй айнымалыларынан тұратын геометриялық кеңістік. Жүйенің күйі вектор түрінде, яғни күй векторы ретінде бейнеленеді. Егер динамикалық жүйе сызықтық, уақытқа қатысты өзгермейтін және шекті өлшемді болса, дифференциалдық және алгебралық теңдеулер матрицалық түрінде жазылуы мүмкін. Күй кеңістігі әдісі жалпы жүйе теориясының алгебралануымен сипатталады, бұл Кронэкер векторлық-матрицалық құрылымдарын қолдануға мүмкіндік береді. Осы құрылымдардың мүмкіндіктерін модуляцияланған немесе модуляцияланбаған жүйелерді зерттеу үшін тиімді пайдалануға болады. Күй кеңістігі бейнелеуі (сонымен қатар "уақыт домені әдісі" деп те аталады) көптеген кірістері мен шығыстары бар жүйелерді модельдеу және талдау үшін ыңғайлы және жинақы тәсіл ұсынады. Егер кірістер мен шығыстар болса, жүйе туралы барлық ақпаратты кодтау үшін Лаплас түрлендірулерін жазу қажет болар еді. Жиілік домені әдісінен айырмашылығы, күй кеңістігі бейнелеуін пайдалану сызықтық компоненттері және нөлдік бастапқы шарттары бар жүйелермен ғана шектелмейді. Күй кеңістігі моделі экономика, статистика, компьютерлік ғылым, электротехника және нейробиология сияқты салаларда қолданылуы мүмкін. Мысалы, экономиометрияда күй кеңістігі моделі уақыт қатарын тренд пен циклге бөлу, жеке индикаторларды біріктіріп, күрделі индекс құру, бизнес циклының бұрылыс нүктелерін анықтау және жасырын және байқауға келмейтін уақыт қатарларын пайдаланып ЖІӨ-ні бағалау үшін қолданылады. Көптеген қолданулар ағымдағы белгісіз күй айнымалыларын бағалау үшін бұрынғы бақылауларды пайдаланатын Калман сүзгісіне немесе күйді бақылаушыға сүйенеді.
In control engineering and system identification, a state space representation is a mathematical model of a physical system specified as a set of input, output, and variables related by first order differential equations or difference equations. Such variables, called state variables, evolve over time in a way that depends on the values they have at any given instant and on the externally imposed values of input variables. Output variables’ values depend on the state variable values and may also depend on the input variable values. The state space or phase space is the geometric space in which the axes are the state variables. The system state can be represented as a vector, the state vector. If the dynamical system is linear, time invariant, and finite dimensional, then the differential and algebraic equations may be written in matrix form. The state space method is characterized by the algebraization of general system theory, which makes it possible to use Kronecker vector matrix structures. The capacity of these structures can be efficiently applied to research systems with or without modulation. The state space representation (also known as the "time domain approach") provides a convenient and compact way to model and analyze systems with multiple inputs and outputs. With inputs and outputs, we would otherwise have to write down Laplace transforms to encode all the information about a system. Unlike the frequency domain approach, the use of the state space representation is not limited to systems with linear components and zero initial conditions. The state space model can be applied in subjects such as economics, statistics, computer science and electrical engineering, and neuroscience. In econometrics, for example, state space models can be used to decompose a time series into trend and cycle, compose individual indicators into a composite index, identify turning points of the business cycle, and estimate GDP using latent and unobserved time series. Many applications rely on the Kalman Filter or a state observer to produce estimates of the current unknown state variables using their previous observations.
Мемлекеттік айнымалылар
Ішкі күй айнымалылары – кез келген сәтте жүйенің толық күйін сипаттауға қабілетті жүйелік айнымалылардың ең кіші мүмкін жиынтығы. Белгілі бір жүйені бейнелеу үшін қажетті күй айнымалыларының ең аз саны, әдетте жүйенің анықтамалық дифференциалдық теңдеуінің ретіне тең болады, бірақ міндетті емес. Егер жүйе трансферт функциясы түрінде берілсе, онда күй айнымалыларының ең аз саны – трансферт функциясының бөлшесін қысқартқаннан кейін қалған атаушының ретіне тең болады. Маңыздысы, күй кеңістігіндегі жүйені трансферт функциясы түріне түрлендіру жүйе туралы кейбір ішкі ақпаратты жоғалтуы мүмкін, сондай-ақ күй кеңістігіндегі жүйе белгілі бір нүктелерде тұрақсыз болса, тұрақты жүйенің сипаттамасын беруі мүмкін. Электр тізбектерінде күй айнымалыларының саны көбінесе, бірақ әрқашан емес, конденсаторлар мен индукторлар сияқты тізбектегі энергия сақтайтын элементтердің санымен сәйкес келеді. Анықталған күй айнымалылары сызықтық тәуелсіз болуы керек, яғни, ешбір күй айнымалысын басқа күй айнымалыларының сызықтық комбинациясы түрінде жазуға болмайды, әйтпесе жүйенің шешімі табылмауы мүмкін.
The internal state variables are the smallest possible subset of system variables that can represent the entire state of the system at any given time. The minimum number of state variables required to represent a given system, , is usually equal to the order of the system's defining differential equation, but not necessarily. If the system is represented in transfer function form, the minimum number of state variables is equal to the order of the transfer function's denominator after it has been reduced to a proper fraction. It is important to understand that converting a state space realization to a transfer function form may lose some internal information about the system, and may provide a description of a system which is stable, when the state space realization is unstable at certain points. In electric circuits, the number of state variables is often, though not always, the same as the number of energy storage elements in the circuit such as capacitors and inductors. The state variables defined must be linearly independent, i. e., no state variable can be written as a linear combination of the other state variables, or the system cannot be solved.
Басқару мүмкіндігі
Мемлекеттік басқару шарты рұқсат етілген кірістер арқылы кез келген бастапқы мәннен кез келген соңғы мәнге шекті уақыт аралығында күйді өзгертуге мүмкіндік береді. Үзіліссіз уақыт инвариантты сызықтық күй кеңістігі моделі тек қана егер басқарылатын болса, онда ранг – матрицадағы сызықтық тәуелсіз қатарлардың саны, ал n – күй айнымалыларының саны болады.
The state controllability condition implies that it is possible – by admissible inputs – to steer the states from any initial value to any final value within some finite time window. A continuous time invariant linear state space model is controllable if and only if
where rank is the number of linearly independent rows in a matrix, and where n is the number of state variables.
Мысал
Қатаң түрде дұрыс жүйе үшін D нөлге тең. Тағы бір жиі кездесетін жағдай — барлық күйлер шығыстар, яғни y = x, нәтижесінде C = I, бірлік матрицасы (Identity matrix) шығады. Бұл одан әрі қарапайым теңдеулерге алып келеді.
For a strictly proper system D equals zero. Another fairly common situation is when all states are outputs, i. e. y = x, which yields C = I, the Identity matrix. This would then result in the simpler equations
Бұл қажетті өзіндік жіктелуді тек ғана . дейін азайтады.
This reduces the necessary eigendecomposition to just .
Сызықтық емес жүйелер
Мемлекеттік кеңістік моделінің жалпы түрі екі функция түрінде жазылуы мүмкін. Біріншісі – күй теңдеуі, ал екіншісі – шығыс теңдеуі. Егер функция күйлер мен кірістердің сызықтық комбинациясы болса, онда теңдеулер жоғарыда көрсетілгендей матрицалық түрінде жазылуы мүмкін. Егер жүйе сыртқы күштерден тәуелсіз болса (яғни, кірістері болмаса), функцияларға аргумент қоюдың қажеті жоқ.
The more general form of a state space model can be written as two functions. The first is the state equation and the latter is the output equation. If the function is a linear combination of states and inputs then the equations can be written in matrix notation like above. The argument to the functions can be dropped if the system is unforced (i. e., it has no inputs).