Введение

Математическая модель системы в теории управления

В теории управления и идентификации систем представление пространства состояний является математической моделью физической системы, задаваемой как набор входных, выходных и переменных, связанных дифференциальными уравнениями первого порядка или разностными уравнениями. Эти переменные, называемые переменными состояния, изменяются во времени таким образом, что зависят от их значений в любой данный момент и от внешне заданных значений входных переменных. Значения выходных переменных зависят от значений переменных состояния и могут также зависеть от значений входных переменных. Пространство состояний или фазовое пространство – это геометрическое пространство, в котором оси соответствуют переменным состояния. Состояние системы может быть представлено в виде вектора, вектора состояния. Если динамическая система линейная, инвариантная во времени и конечномерная, то дифференциальные и алгебраические уравнения можно записать в матричной форме. Метод пространства состояний характеризуется алгебраизацией общей теории систем, что позволяет использовать структуры векторных матриц Кронекера. Возможности этих структур могут эффективно применяться для исследования систем с модуляцией и без нее. Представление пространства состояний (также известное как "подход, основанный на времени") обеспечивает удобный и компактный способ моделирования и анализа систем с несколькими входами и выходами. В случае наличия входов и выходов, в противном случае потребовалось бы записать преобразований Лапласа для кодирования всей информации о системе. В отличие от частотного подхода, использование представления пространства состояний не ограничено системами с линейными компонентами и нулевыми начальными условиями. Модель пространства состояний может применяться в таких областях, как экономика, статистика, информатика, электротехника и нейробиология. В эконометрике, например, модели пространства состояний могут использоваться для разложения временного ряда на тренд и цикл, объединения отдельных индикаторов в составной индекс, определения точек перелома экономического цикла и оценки ВВП с использованием латентных и ненаблюдаемых временных рядов. Многие приложения полагаются на фильтр Калмана или наблюдатель состояния для получения оценок текущих неизвестных переменных состояния на основе предыдущих наблюдений.

Переменные состояния

Внутренние переменные состояния – это наименьшее возможное подмножество переменных системы, способное представить полное состояние системы в любой момент времени. Минимальное количество переменных состояния, необходимое для представления данной системы, , как правило, равно порядку определяющего дифференциального уравнения системы, но не всегда. Если система представлена в форме передаточной функции, минимальное количество переменных состояния равно порядку знаменателя передаточной функции после приведения её к правильной дроби. Важно понимать, что преобразование представления в пространстве состояний в форму передаточной функции может привести к потере части внутренней информации о системе и может дать описание системы, которая является устойчивой, в то время как представление в пространстве состояний неустойчиво в определенных точках. В электрических цепях число переменных состояния часто, хотя и не всегда, равно числу элементов накопления энергии в цепи, таких как конденсаторы и индуктивности. Определяемые переменные состояния должны быть линейно независимыми, то есть ни одна переменная состояния не может быть выражена как линейная комбинация других переменных состояния, иначе система не может быть решена.

Контролируемость

Условие управляемости состояния подразумевает, что с помощью допустимых управляющих воздействий возможно перевести систему из любого начального состояния в любое конечное состояние за конечное время. Непрерывная линейная стационарная модель пространства состояний управляема тогда и только тогда, когда

где ранг – это число линейно независимых строк в матрице, а n – число переменных состояния.

Пример

Для строго правильной системы D равен нулю. Другая довольно распространенная ситуация – когда все состояния являются выходами, то есть y = x, что приводит к C = I, единичной матрице. Это, в свою очередь, приводит к более простым уравнениям, сводя необходимое вычисление собственных значений и собственных векторов к простому .

Нелинейные системы

Более общая форма модели пространства состояний может быть записана в виде двух функций. Первая – уравнение состояния, а вторая – уравнение выхода. Если функция является линейной комбинацией состояний и входных воздействий, то уравнения можно записать в матричной форме, как показано выше. Аргумент функций можно опустить, если система не имеет внешних воздействий (то есть не имеет входов).