Кіріспе
Функцияны кесілген қуат қатары арқылы жуықтау
Есептеуде Тейлор теоремасы берілген нүктеде белгілі бір рет дифференциалданатын функцияны, дәрежесі полином арқылы жуықтайды, ол Тейлор полиномы деп аталады. Тегіс функция үшін Тейлор полиномы – функцияның Тейлор қатарының белгілі ретке дейін қысқартылған түрі. Бірінші ретті Тейлор полиномы функцияның сызықтық жуықтамасы, ал екінші ретті Тейлор полиномы көбінесе квадраттық жуықтама деп аталады. Тейлор теоремасының бірнеше нұсқасы бар, олардың кейбіреулері функцияның Тейлор полиномымен жуықтау қатесін нақты бағалайды. Тейлор теоремасы математик Брук Тейлордың есімімен аталған, ол 1715 жылы оның бір нұсқасын тұжырымдаған, бірақ нәтижеге қатысты ертерек нұсқа 1671 жылы Джеймс Грегори тарапынан айтылған. Тейлор теоремасы кіріспе деңгейдегі есептеу курстарында оқытылады және математикалық анализдің негізгі құралдарының бірі болып табылады. Ол экспоненциалдық және тригонометриялық функциялар сияқты көптеген трансценденттік функциялардың мәндерін дәл есептеуге арналған қарапайым арифметикалық формулаларды ұсынады. Бұл аналитикалық функцияларды зерттеудің бастапқы нүктесі болып табылады және математиканың әртүрлі салаларында, сондай-ақ сандық талдау мен математикалық физикада маңызды рөл атқарады. Тейлор теоремасы көп айнымалы және векторлық функциялар үшін де жалпыланады. Ол кейбір алғашқы есептеу машиналарын құруға математикалық негіз берді: Чарльз Бэббидждің айырмашылық машинасы олардың Тейлор қатарының алғашқы 7 мүшесін сандық интегралдау арқылы синус, косинус, логарифм және басқа трансценденттік функцияларды есептеді.
Қалғаны үшін нақты формулалар
f функциясының тұрақтылығы туралы күшейтілген болжамдар бойынша Тейлор полиномының Rk қалдық мүшесіне қатысты бірнеше нақты формулалар бар, олардың ең көп таралғандары төмендегідей. Тейлор теоремасының бұл жетілдірілуі көбінесе орташа мән теоремасы арқылы дәлелденеді, содан да осылай аталады. Сонымен қатар, бұл орташа мән теоремасының өзі екенін ескеріңіз, сондай-ақ басқа да ұқсас өрнектер де кездеседі. Мысалы, егер G(t) функциясы жабық аралықта үздіксіз болса және ашық аралықта нөлдік емес туындыға ие болса, онда кейбір саны үшін және аралығында:
Бұл формула Лагранж және Коши формаларын қалдық мүшесінің ерекше жағдайлары ретінде қамтиды және Кошидің орташа мән теоремасын қолдану арқылы төменде дәлелденеді. Лагранж формасы шартында, ал Коши формасы шартында алынады. Қалдық мүшесінің интегралды формасы туралы мәлімдеме алдыңғыларына қарағанда күрделірек, және толыққанды түсіну үшін Лебег интеграл теориясын білу қажет. Дегенмен, егер f функциясының (k+1)-ші туындысы [a, x] жабық аралығында үздіксіз болса, онда бұл Риман интегралы мағынасында да орындалады. f функциясының және аралығындағы жабық аралықта абсолютті үздіксіздігіне байланысты, оның туындысы f, L функциясы ретінде бар, және нәтижені интегралдың негізгі теоремасы мен бөліктеп интегралдау арқылы ресми есептеулермен дәлелдеуге болады.
The statement for the integral form of the remainder is more advanced than the previous ones, and requires understanding of Lebesgue integration theory for the full generality. However, it holds also in the sense of Riemann integral provided the (k + 1)th derivative of f is continuous on the closed interval [a,x]. Due to absolute continuity of f on the closed interval between and , its derivative f exists as an L function, and the result can be proven by a formal calculation using fundamental theorem of calculus and integration by parts.
Кешенді талдаудағы Тейлор теоремасы
Тейлор теоремасы күрделі жазықтықтың U ⊂ C ашық жиынында күрделі дифференциалданатын f: C → C функцияларына да жалпыланады. Дегенмен, күрделі анализдегі басқа жалпы теоремалармен салыстырғанда оның пайдалылығы төмендеу. Атап айтқанда, күрделі дифференциалданатын f: U → C функциялары үшін байланысты нәтижелердің күштірек нұсқаларын Коши интегралдық формуласын қолдану арқылы алуға болады. r > 0 болсын, сонда жабық диск B(z, r) ∪ S(z, r) жиыны U жиынына кіретіндей болсын. Онда, S(z, r) шеңберінің 1 = γ(t) = z + re^(it) оң бағыттағы параметрленуін пайдаланып Коши интегралдық формуласы келесідей болады.
Here all the integrands are continuous on the circle S(z, r), which justifies differentiation under the integral sign. In particular, if f is once complex differentiable on the open set U, then it is actually infinitely many times complex differentiable on U. One also obtains the Cauchy's estimates
for any z ∈ U and r > 0 such that B(z, r) ∪ S(c, r) ⊂ U. These estimates imply that the complex Taylor series
of f converges uniformly on any open disk with into some function Tf. Furthermore, using the contour integral formulas for the derivatives f(c),
so any complex differentiable function f in an open set U ⊂ C is in fact complex analytic. All that is said for real analytic functions here holds also for complex analytic functions with the open interval I replaced by an open subset U ∈ C and a centered intervals (a − r, a + r) replaced by c centered disks B(c, r). In particular, the Taylor expansion holds in the form
where the remainder term Rk is complex analytic. Methods of complex analysis provide some powerful results regarding Taylor expansions. For example, using Cauchy's integral formula for any positively oriented Jordan curve which parametrizes the boundary of a region , one obtains expressions for the derivatives as above, and modifying slightly the computation for 1=Tf(z) = f(z), one arrives at the exact formula
The important feature here is that the quality of the approximation by a Taylor polynomial on the region is dominated by the values of the function f itself on the boundary Similarly, applying Cauchy's estimates to the series expression for the remainder, one obtains the uniform estimates
Мұндағы барлық интегралдар S(z, r) шеңберінің бойында үзіліссіз, бұл интегралдың ішінде дифференциалдауға мүмкіндік береді. Атап айтқанда, егер f функциясы U ашық жиынында бір рет күрделі дифференциалданатын болса, онда ол U жиынында шексіз көп рет күрделі дифференциалданады. Сондай-ақ, кез келген z ∈ U және r > 0 үшін Коши бағалауларын аламыз, яғни B(z, r) ∪ S(z, r) ⊂ U. Бұл бағалаулар f функциясының күрделі Тейлор қатары Tf функциясына кез келген ашық дискте біркелкі жақындайды дегенді білдіреді. Сонымен қатар, f'(c) туындылары үшін контурлық интеграл формулаларын қолдану арқылы, U ⊂ C ашық жиынындағы кез келген күрделі дифференциалданатын f функциясы шындығында күрделі аналитикалық болып табылады. Нақты аналитикалық функциялар үшін айтылғандардың бәрі күрделі аналитикалық функциялар үшін де қолданылады, мұнда ашық аралық I ашық U ⊂ C жиынымен, ал орталық аралықтар (a − r, a + r) c центріндегі жабық дисктер B(c, r)мен алмастырылады. Атап айтқанда, Тейлор кеңеюі қалдық мүшесі Rk күрделі аналитикалық болатын келесі формада болады. Күрделі анализ әдістері Тейлор кеңеюіне қатысты күшті нәтижелер береді. Мысалы, аймақтың шекарасын параметрлейтін кез келген оң бағытталған Жордан қисығы үшін Коши интегралдық формуласын қолдану арқылы, жоғарыда көрсетілгендей туындылар үшін өрнектерді аламыз, ал 1 = Tf(z) = f(z) үшін есептеуді сәл өзгерту арқылы нақты формулаға жетеміз.
Here all the integrands are continuous on the circle S(z, r), which justifies differentiation under the integral sign. In particular, if f is once complex differentiable on the open set U, then it is actually infinitely many times complex differentiable on U. One also obtains the Cauchy's estimates
for any z ∈ U and r > 0 such that B(z, r) ∪ S(c, r) ⊂ U. These estimates imply that the complex Taylor series
of f converges uniformly on any open disk with into some function Tf. Furthermore, using the contour integral formulas for the derivatives f(c),
so any complex differentiable function f in an open set U ⊂ C is in fact complex analytic. All that is said for real analytic functions here holds also for complex analytic functions with the open interval I replaced by an open subset U ∈ C and a centered intervals (a − r, a + r) replaced by c centered disks B(c, r). In particular, the Taylor expansion holds in the form
where the remainder term Rk is complex analytic. Methods of complex analysis provide some powerful results regarding Taylor expansions. For example, using Cauchy's integral formula for any positively oriented Jordan curve which parametrizes the boundary of a region , one obtains expressions for the derivatives as above, and modifying slightly the computation for 1=Tf(z) = f(z), one arrives at the exact formula
The important feature here is that the quality of the approximation by a Taylor polynomial on the region is dominated by the values of the function f itself on the boundary Similarly, applying Cauchy's estimates to the series expression for the remainder, one obtains the uniform estimates
Мұндағы маңызды ерекшелік – аймақтағы Тейлор полиномымен жуықтаудың сапасы аймақтың шекарасындағы f функциясының мәндерімен анықталады. Сол сияқты, қалдыққа арналған қатар өрнегіне Коши бағалауларын қолдану арқылы біркелкі бағалаулар алынады.
Here all the integrands are continuous on the circle S(z, r), which justifies differentiation under the integral sign. In particular, if f is once complex differentiable on the open set U, then it is actually infinitely many times complex differentiable on U. One also obtains the Cauchy's estimates
for any z ∈ U and r > 0 such that B(z, r) ∪ S(c, r) ⊂ U. These estimates imply that the complex Taylor series
of f converges uniformly on any open disk with into some function Tf. Furthermore, using the contour integral formulas for the derivatives f(c),
so any complex differentiable function f in an open set U ⊂ C is in fact complex analytic. All that is said for real analytic functions here holds also for complex analytic functions with the open interval I replaced by an open subset U ∈ C and a centered intervals (a − r, a + r) replaced by c centered disks B(c, r). In particular, the Taylor expansion holds in the form
where the remainder term Rk is complex analytic. Methods of complex analysis provide some powerful results regarding Taylor expansions. For example, using Cauchy's integral formula for any positively oriented Jordan curve which parametrizes the boundary of a region , one obtains expressions for the derivatives as above, and modifying slightly the computation for 1=Tf(z) = f(z), one arrives at the exact formula
The important feature here is that the quality of the approximation by a Taylor polynomial on the region is dominated by the values of the function f itself on the boundary Similarly, applying Cauchy's estimates to the series expression for the remainder, one obtains the uniform estimates