Введение

Приближение функции усечённым степенным рядом

В математическом анализе теорема Тейлора даёт приближение функции, дифференцируемой раз, в окрестности заданной точки полиномом степени , называемым полиномом Тейлора -го порядка. Для гладкой функции полином Тейлора является усечением ряда Тейлора функции до порядка . Полином Тейлора первого порядка является линейным приближением функции, а полином Тейлора второго порядка часто называют квадратичным приближением. Существует несколько версий теоремы Тейлора, некоторые из которых дают явные оценки погрешности приближения функции её полиномом Тейлора. Теорема Тейлора названа в честь математика Брука Тейлора, который сформулировал одну из её версий в 1715 году, хотя более ранняя версия результата уже упоминалась Джеймсом Грегори в 1671 году. Теорема Тейлора преподаётся в вводных курсах математического анализа и является одним из основных элементарных инструментов математического анализа. Она предоставляет простые арифметические формулы для точного вычисления значений многих трансцендентных функций, таких как экспоненциальная функция и тригонометрические функции. Это отправная точка изучения аналитических функций и фундаментальный инструмент в различных областях математики, а также в численном анализе и математической физике. Теорема Тейлора также обобщается на многомерные и векторнозначные функции. Она послужила математической основой для некоторых выдающихся ранних вычислительных машин: дифференциальная машина Чарльза Бэббиджа вычисляла синусы, косинусы, логарифмы и другие трансцендентные функции путём численного суммирования первых 7 членов их ряда Тейлора.

Явные формулы для остатка

При более строгих предположениях о регулярности функции f существуют несколько точных формул для остаточного члена Rk полинома Тейлора, наиболее распространенными из которых являются следующие. Эти уточнения теоремы Тейлора обычно доказываются с помощью теоремы о среднем значении, отсюда и название. Кроме того, следует отметить, что это как раз теорема о среднем значении, когда Также можно найти другие подобные выражения. Например, если G(t) непрерывна на замкнутом интервале и дифференцируема с ненулевой производной на открытом интервале между и , то

для некоторого числа между и . Эта формулировка охватывает формы остатка Лагранжа и Коши как частные случаи и доказывается ниже с использованием теоремы о среднем значении Коши. Форма Лагранжа получается при , а форма Коши – при . Утверждение об интегральной форме остатка более сложное, чем предыдущие, и требует понимания теории интегрирования Лебега для полной общности. Однако оно также справедливо в смысле интеграла Римана, при условии, что (k+1)-я производная f непрерывна на замкнутом интервале [a, x]. Благодаря абсолютной непрерывности f на замкнутом интервале между и , ее производная f существует как L-функция, и результат может быть доказан формальным вычислением с использованием основной теоремы исчисления и интегрирования по частям.

Теорема Тейлора в комплексном анализе

Теорема Тейлора обобщается на функции f : C → C, которые комплексно дифференцируемы в открытом подмножестве U ⊂ C комплексной плоскости. Однако её полезность меркнет по сравнению с другими общими теоремами в комплексном анализе. А именно, для комплексно дифференцируемых функций f : U → C можно вывести более строгие версии связанных результатов, используя формулу интеграла Коши следующим образом. Пусть r > 0 такое, что замкнутый диск B(z, r) ∪ S(z, r) содержится в U. Тогда формула интеграла Коши с положительной параметризацией γ(t) = z + reit круга S(z, r) даёт

Здесь все подынтегральные выражения непрерывны на круге S(z, r), что оправдывает дифференцирование под знаком интеграла. В частности, если f комплексно дифференцируема на открытом множестве U, то она фактически бесконечно много раз комплексно дифференцируема на U. Также получаются оценки Коши для любого z ∈ U и r > 0, таких что B(z, r) ∪ S(z, r) ⊂ U. Эти оценки подразумевают, что комплексный ряд Тейлора

для f сходится равномерно на любом открытом диске с центром в точке к некоторой функции Tf. Кроме того, используя формулы контурного интегрирования для производных f(z),

получается, что любая комплексно дифференцируемая функция f в открытом множестве U ⊂ C на самом деле является комплексно аналитической. Всё, что здесь сказано о вещественно аналитических функциях, также относится к комплексно аналитическим функциям, при этом открытый интервал I заменяется открытым подмножеством U ⊂ C, а центрированные интервалы (a − r, a + r) заменяются дисками с центром в точке c радиуса r, то есть B(c, r). В частности, разложение Тейлора имеет вид

где остаточный член Rk является комплексно аналитическим. Методы комплексного анализа предоставляют некоторые мощные результаты относительно разложений Тейлора. Например, используя формулу интеграла Коши для любой положительно ориентированной кривой Жордана, параметризующей границу области , можно получить выражения для производных, как указано выше, и немного изменив вычисление для Tf(z) = f(z), можно получить точную формулу

Важная особенность здесь заключается в том, что качество приближения полиномом Тейлора на области определяется значениями функции f на границе. Аналогично, применяя оценки Коши к выражению ряда для остатка, можно получить равномерные оценки