Кіріспе
Өзгергіштердің белгісіздіктерінің оларға негізделген функцияның белгісіздігіне әсері, белгісіздіктің уақыт бойынша таралуы. Статистикада белгісіздіктің таралуы (немесе қателіктердің таралуы) – бұл өзгергіштердің белгісіздіктерінің (немесе қателіктерінің, дәлірек айтқанда, кездейсоқ қателіктерінің) оларға негізделген функцияның белгісіздігіне тигізетін әсері. Егер өзгергіштер эксперименттік өлшемдердің мәндері болса, олардың функциядағы өзгергіштердің комбинациясынан туындайтын белгісіздіктері болады, бұл өлшем шектеулеріне (мысалы, құралдың дәлдігіне) байланысты туындайды. Белгісіздік u әр түрлі жолдармен өрнектелуі мүмкін. Оны абсолюттік қате Δx арқылы анықтауға болады. Белгісіздіктерді салыстырмалы қателік (Δx)/x арқылы да анықтауға болады, ол әдетте проценттік көрсеткішпен жазылады. Көбінесе, шаманың белгісіздігі стандартты ауытқу σ арқылы сандық түрде көрсетіледі, ол дисперсияның оң квадрат түбірі болып табылады. Содан кейін шаманың мәні мен оның қатесі x ± u интервалы түрінде көрсетіледі. Дегенмен, белгісіздікті сипаттаудың ең жалпы жолы – оның ықтималдық таралуын анықтау. Егер өзгергіштің ықтималдық таралуы белгілі болса немесе болжамдауға болады, теориялық тұрғыдан оның кез келген статистикалық көрсеткіштерін алуға болады. Атап айтқанда, өзгергіштің нақты мәнін табуға болатын аймақты сипаттау үшін сенімділік шектерін анықтауға болады. Мысалы, қалыпты таралымға жататын бір өлшемді өзгергіштің 68% сенімділік шектері орташа x мәнінен ± бір стандартты ауытқу σ шамасында орналасады, яғни x ± σ аймағы шамамен 68% жағдайларда нақты мәнді қамтиды. Егер белгісіздіктер өзара байланысты болса, ковариацияны ескеру қажет. Өзара байланыс екі түрлі себептен туындауы мүмкін. Біріншіден, өлшем қателері өзара байланысты болуы мүмкін. Екіншіден, негізгі мәндер популяция бойынша өзара байланысты болған жағдайда, топтық орташа көрсеткіштердегі белгісіздіктер де өзара байланысты болады. Жалпы жағдайда, егер сызықты емес функция белгісіз параметрлерді өзгертетін болса (өзара байланысты немесе басқа), белгісіздікті тарату және нәтижесінде сандық ықтималдық таралуын/статистикасын анықтау үшін стандартты құралдар Монте-Карло әдісі отбасына жататын үлгі алу әдістері болып табылады. Өте көп көлемді деректер немесе күрделі функциялар үшін қате таралуын есептеу өте қиын болуы мүмкін, сондықтан алмастыратын модель немесе параллель есептеу стратегиясы қажет болуы мүмкін. Кейбір нақты жағдайларда, белгісіздік таралуын есептеуді қарапайым алгебралық процедуралар арқылы орындауға болады. Мұндай сценарийлер төменде сипатталған.
the propagation of uncertainty through time
In statistics, propagation of uncertainty (or propagation of error) is the effect of variables' uncertainties (or errors, more specifically random errors) on the uncertainty of a function based on them. When the variables are the values of experimental measurements they have uncertainties due to measurement limitations (e. g., instrument precision) which propagate due to the combination of variables in the function. The uncertainty u can be expressed in a number of ways. It may be defined by the absolute error Δx. Uncertainties can also be defined by the relative error (Δx)/x, which is usually written as a percentage. Most commonly, the uncertainty on a quantity is quantified in terms of the standard deviation, σ, which is the positive square root of the variance. The value of a quantity and its error are then expressed as an interval x ± u. However, the most general way of characterizing uncertainty is by specifying its probability distribution. If the probability distribution of the variable is known or can be assumed, in theory it is possible to get any of its statistics. In particular, it is possible to derive confidence limits to describe the region within which the true value of the variable may be found. For example, the 68% confidence limits for a one dimensional variable belonging to a normal distribution are approximately ± one standard deviation σ from the central value x, which means that the region x ± σ will cover the true value in roughly 68% of cases. If the uncertainties are correlated then covariance must be taken into account. Correlation can arise from two different sources. First, the measurement errors may be correlated. Second, when the underlying values are correlated across a population, the uncertainties in the group averages will be correlated. In a general context where a nonlinear function modifies the uncertain parameters (correlated or not), the standard tools to propagate uncertainty, and infer resulting quantity probability distribution/statistics, are sampling techniques from the Monte Carlo method family. For very expansive data or complex functions, the calculation of the error propagation may be very expansive so that a surrogate model or a parallel computing strategy may be necessary. In some particular cases, the uncertainty propagation calculation can be done through simplistic algebraic procedures. Some of these scenarios are described below.
Сызықтық емес комбинациялар
Егер f x айнымалыларының сызықтық емес комбинациясы болса, айнымалылардың барлық сайыс келетін мәндерін қамтитын интервалдарды есептеу үшін интервалдық тарату жүргізілуі мүмкін. Ықтималдық тәсілде f функциясы көбінесе бірінші реттік Тейлор қатарының жуықтауы арқылы сызықтық етуі керек, бірақ кейбір жағдайларда, өнімдердің дисперсиясы сияқты, кеңейтуге тәуелді емес нақты формулалар алынуы мүмкін. Тейлор кеңеюі былай болады:
мұндағы – fk-нің i-ші айнымалы бойынша екінші ретті туындысы, x векторының барлық компоненттерінің орташа мәнінде есептелген. Немесе матрицалық жазбада:
мұндағы J – Якобиан матрицасы. f0 тұрақты шама болғандықтан, ол f қатесіне әсер етпейді. Сондықтан, қате таралуы жоғарыдағы сызықтық жағдайға сәйкес келеді, бірақ сызықтық коэффициенттер Aki және Akj екінші ретті туындылармен алмастырылады. Матрицалық жазбада:
Яғни, функцияның Якобиан матрицасы аргументтің дисперсия-ковариациялық матрицасының қатарлары мен бағандарын түрлендіру үшін қолданылады. Бұл сызықтық жағдайдағы матрицалық өрнекке тең.
Ескертулер мен ескертулер
Сызықтық емес функциялардың қателік бағалаулары, кесілген қатарлық кеңейтімді пайдалану себепті дұрыс емес. Бұл дұрыс еместің дәрежесі функцияның табиғатына байланысты. Мысалы, log(1+x) үшін есептелген қателіктегі дұрыс еместік x өскен сайын артады, себебі x-ке жасалған кеңейтім тек x нөлге жақын болғанда ғана жақсы жуықтау болып табылады. Күрделі сызықтық емес функциялар үшін, белгісіздікті таратуға арналған бес түрлі ықтималдық тәсіл бар; толық мәліметтер үшін «Белгісіздікті сандық бағалау» қараңыз.
Өзара және ауысқан өзара
Кері немесе өзара шаманың ерекше жағдайында, егер стандартты қалыпты үлестіруге сәйкес келсе, нәтижесіндегі үлестіру – өзара стандартты қалыпты үлестіру болады және анықталған дисперсиясы жоқ. Дегенмен, егер жалпы қалыпты үлестіруге сәйкес келсе, ауысқан өзара функцияның сәл жалпы жағдайында, полюс пен орташа мән арасындағы айырмашылық нақты сан болса, онда орташа және дисперсиялық статистикалар негізгі мән ретінде бар болады.
Қалыптастыру
Қатынастар да қиындық тудырады; қалыпты жуықтаулар белгілі бір шарттарда қолданылады.
Корреляцияның айырмашылықтарға әсері
Егер A және B өзара байланысты болмаса, олардың айырмасы A - B олардың екеуінен де артық дисперсияға ие болады. Оң корреляцияның күшеюі айырманың дисперсиясын азайтады, бірдей дисперсиясы бар толық корреляцияланған айнымалылар үшін дисперсия нөлге жуықтайды. Ал теріс корреляция, байланыс жоқ жағдаймен салыстырғанда, айырманың дисперсиясын одан да арттырады. Мысалы, f = A - A өзін-өзі шегеруде тек егер айнымалы толық автокорреляцияланған болса ғана нөлдік дисперсияға ие болады. Егер A корреляцияланбаған болса, онда шығыс дисперсиясы кіріс дисперсиясының екі есесіне тең болады. Ал егер A толық антикорреляцияланған болса, онда кіріс дисперсиясы шығыста төрт есеге артады (жоғарыдағы кестеде f = aA - aA үшін назар аударыңыз).