Кіріспе
n сандар көбейтіндісінің n-ші түбірі
Математикада геометриялық орташа – нақты сандардың шекті жиынтығының орталық тенденциясын олардың мәндерінің көбейтіндісін пайдалану арқылы көрсететін орташа шама (арифметикалық орташадан айырмашылығы – олардың қосындысын пайдалану). Геометриялық орташа n сандардың көбейтіндісінің n-ші түбірі ретінде анықталады, яғни a1, a2, …, an сандар жиынтығы үшін геометриялық орташа келесідей анықталады:
немесе, балама түрінде, логарифмдік масштабтағы арифметикалық орташа ретінде:
Көбінесе сандар теріс емес болып шектеледі, теріс сандардың нақты түбірлері болмауымен байланысты қиындықтарды болдырмау үшін, ал логарифмдерді қолдануға мүмкіндік беру үшін олар жиі оң болып шектеледі. Қай жағдайда болсын, геометриялық орташа бір немесе бірнеше мәндері нөлге тең болатын кез келген деректер жиынтығы үшін нөлге тең болады. Геометриялық орташа деректер жиынтығының басқа мүшелерімен салыстырғанда бір немесе бірнеше мәндері нөлге өте жақын болған жағдайда орталық тенденцияның сенімді емес өлшемі болуы мүмкін. Мысалы, 2 және 8 екі санның геометриялық орташасы олардың көбейтіндісінің квадрат түбіріне тең, яғни. 4, 1 және 1/32 үш санның геометриялық орташасы олардың көбейтіндісінің куб түбіріне (1/8) тең, яғни 1/2. Геометриялық орташа жиі сандары бірге көбейтілетін немесе экспоненциалды сипатқа ие жиынтықтар үшін қолданылады, мысалы, өсу көрсеткіштерінің жиынтығы: адам халқының көрсеткіштері немесе уақыт өте келе қаржылық инвестициялардың пайыздық мөлшерлемелері. Бұл сондай-ақ салыстырмалы бағалауда да қолданылады, онда жылдамдық өсу коэффициенттерінің орташасын есептеу үшін ерекше пайдалы: өйткені 0,5x (екі есе баяу) және 2x (екі есе жылдам) орташасы 1-ге тең (яғни жалғыз жылдамдық өсу жоқ). Мысалы, егер бір адам 1000 доллар акцияға салып, 5 жыл қатарынан +10%, 12%, +90%, 30% және +25% жылдық табысқа ие болса, соңғы инвестиция құны 1609 долларға жетеді. Жылдық пайыздық өзгерістердің арифметикалық орташасы 16,6% құрайды. Алайда, бұл мән өкілді емес. Егер бастапқы инвестиция жылына 16,6% өссе, 5 жылдан кейін оның құны 2155 долларға жетер еді. Шындығында, орташа өсу пайызын анықтау үшін қатарынан келетін жылдық өсу коэффициенттерінің геометриялық ортасын есептеу қажет (1.1, 0.88, 1.9, 0.7, 1.25). Бұл 1,0998 мәнін береді, бұл жылдық орташа өсу 9,98% құрайды. 9,98% өсумен 1000 доллар инвестиция 5 жыл ішінде 1609 доллар соңғы инвестициялық құнына жетер еді. Бұл жағдайда геометриялық орташа дұрыс, өйткені инвестиция өсуі қосымша емес, көбейту арқылы жүзеге асырылады. Геометриялық орташаны геометриялық тұрғыдан түсінуге болады. Екі санның геометриялық орташасы және – қабырғаларының ұзындығы және болатын тіктөртбұрыштың ауданына тең болатын шаршының бір қабырғасының ұзындығы. Сол сияқты, үш санның геометриялық орташасы , және – үш қабырғасының ұзындығы берілген үш санға тең болатын тікбұрышты параллелепипедтің көлеміне тең болатын кубтың бір қабырғасының ұзындығы. Геометриялық орташа – арифметикалық орташа және гармониялық орташамен бірге үш классикалық пифагорлық орташаның бірі. Барлық оң деректер жиынтығында кем дегенде бір жұп тең емес мәндер болған жағдайда, гармониялық орташа әрқашан үш ортаның ең кішісі, ал арифметикалық орташа әрқашан ең үлкені, ал геометриялық орташа әрқашан олардың арасында болады (арифметикалық және геометриялық орташа теңсіздігіне қараңыз).
The geometric mean is often used for a set of numbers whose values are meant to be multiplied together or are exponential in nature, such as a set of growth figures: values of the human population or interest rates of a financial investment over time. It also applies to benchmarking, where it is particularly useful for computing means of speedup ratios: since the mean of 0.5x (half as fast) and 2x (twice as fast) will be 1 (i. e., no speedup overall). Suppose for example a person invests 1000 dollars in shares and achieves annual returns of +10%, 12%, +90%, 30% and +25% over 5 consecutive years to give a final investment value of 1,609 dollars. The arithmetic mean of the annual percent changes is 16.6%. However, this value is unrepresentative. If the initial investment, grew by 16.6% per annum, it would be worth 2155 dollars after 5 years. In fact, to find the average percentage growth it is necessary compute the geometric mean of the successive annual growth ratios (1.1, 0.88, 1.9, 0.7, 1.25). This gives a value of 1.0998 which corresponds to an annual average growth of 9.98%. It can be readily verified that an investment of 1000 dollars which grows by 9.98% over five years would achieve a final investment value of 1,609 dollars. In this case, the geometric mean is appropriate because investment growth is multiplicative rather than additive. The geometric mean can be understood in terms of geometry. The geometric mean of two numbers, and , is the length of one side of a square whose area is equal to the area of a rectangle with sides of lengths and Similarly, the geometric mean of three numbers, , , and , is the length of one edge of a cube whose volume is the same as that of a cuboid with sides whose lengths are equal to the three given numbers. The geometric mean is one of the three classical Pythagorean means, together with the arithmetic mean and the harmonic mean. For all positive data sets containing at least one pair of unequal values, the harmonic mean is always the least of the three means, while the arithmetic mean is always the greatest of the three and the geometric mean is always in between (see Inequality of arithmetic and geometric means.)
Арифметикалық орташа көрсеткішпен салыстыру
Оң сандардың бос емес деректер жиынының геометриялық орташасы әрқашан олардың арифметикалық орташасынан кем немесе тең болады. Теңдік тек қана деректер жиынындағы барлық сандар бірдей болғанда ғана орын алады; әйтпесе, геометриялық орташа кіші болады. Мысалы, 2 және 3 сандарының геометриялық орташасы 2,45-ке тең, ал олардың арифметикалық орташасы 2,5-ке тең. Атап айтқанда, егер бір-бірінен өзгеше сандар жиыны орташаны сақтайтын таралуға түсетін болса – яғни, жиын элементтері бір-бірінен көбірек "алшақтаса", бірақ арифметикалық орташа өзгермейтін болса – олардың геометриялық орташасы кемиді.
Орташа өсу қарқыны
Көп жағдайда геометриялық орташа белгілі бір шаманың орташа өсу қарқынын анықтау үшін ең жақсы өлшем болып табылады. (Мысалы, егер бір жылы сату 80%-ға, ал келесі жылы 25%-ға өссе, соңғы нәтиже 50% тұрақты өсу қарқынымен бірдей болады, себебі 1,80 және 1,25 сандарының геометриялық орташасы 1,50-ге тең.) Орташа өсу қарқынын анықтау үшін әр қадамда өлшенген өсу қарқындарының көбейтіндісін алудың қажеті жоқ. Шаманы бастапқы күйден соңғы күйге дейінгі қадамдар саны ретінде беріңіз. Бір-бірінен кейін жүргізілген өлшеулер арасындағы өсу қарқыны болса, осы өсу қарқындарының геометриялық орташасы:
Пропорционалдық өсу
Геометриялық орташа пропорционалды өсімді сипаттау үшін арифметикалық орташадан тиімді, экспоненциалды өсім (тұрақты пропорционалды өсім) және өзгермелі өсім үшін де. Бизнесте өсім қарқынының геометриялық орташасы жылдық орташа өсім қарқыны (CAGR) деп белгілі. Өсімнің геометриялық орташа көрсеткіші кезеңдер бойынша бірдей соңғы мәнді беретін эквивалентті тұрақты өсім қарқынын көрсетеді. Апельсин ағашы бір жылы 100 апельсин берсе, ал келесі жылдары 180, 210 және 300 апельсин берсе, онда өсім әр жыл сайын тиісінше 80%, 16,6666% және 42,8571% болады. Арифметикалық орташаны қолдану 46,5079% (80% + 16,6666% + 42,8571%, содан кейін бұл соманы 3-ке бөлу) сызықтық орташа өсімді есептейді. Дегенмен, егер 100 апельсинден бастап, оны жыл сайын 46,5079% өсірсек, нәтиже 300 емес, 314 апельсин болады, сондықтан сызықтық орташа жылдық өсімді арттырып көрсетеді. Оның орнына геометриялық орташаны қолдану қажет. 80% өсім 1,80 еселеуге сәйкес келеді, сондықтан біз 1,80, 1,166666 және 1,428571 сандарының геометриялық орташасын аламыз, яғни; осылайша, жылдық "орташа" өсім 44,2249% құрайды. Егер 100 апельсинден бастап, жыл сайын 44,2249% өсірсек, нәтиже 300 апельсинге тең болады.
Қаржылық
Геометриялық орташа қаржы индекстерін есептеу үшін уақыт-уақыт пайдаланылып келген (орташалау индекстің компоненттері бойынша жүзеге асырылады). Мысалы, бұрын FT 30 индексі геометриялық орташаны қолданған. Ол сондай-ақ ТТІ (Тұтынушы бағасы индексі) есептеуінде және Ұлыбритания мен Еуропалық Одақта жақында енгізілген инфляцияның "RPIJ" көрсеткішінде қолданылады. Бұл, индекстің өзгеруін арифметикалық орташаға қарағанда төмендетуге әкеледі. АДИ (Адам даму индексі) есептеу үшін қолданылатын барлық мәндер нормаланбаған; олардың кейбіреулері мынадай формада болады. Бұл геометриялық орташаны таңдауды жоғарыдағы "Қасиеттері" бөлімінен күткеннен гөрі нашарлайды. Теңсіздікке қарсы 1.0 параметрі бар Аткинсон индексімен байланысты тең бөлінген әл-ауқатқа эквивалент табыс – табыстардың геометриялық орташасы. Бірден өзгеше мәндер үшін эквиваленттік мән – элементтер санына бөлінген Lp нормасы, мұнда p теңсіздікке қарсы параметрдің бірінен кеміне тең.
Көлденең қатынастары
[[Файл:Dr. Kerns Powers, SMPTE 16 9 өлшемді алу.svg|thumb|right|Кернс Пауэрс қолданған көспект қатынастарындағы тең ауданды салыстыру, SMPTE 16:9 стандартын шығару үшін. Пауэрс тапқан мән 4:3 (1.33:1) және CinemaScope (2.35:1) ең шекті көспект қатынастарының геометриялық орташасына дәл келеді, бұл кездейсоқ түрде жақын. Аралық қатынастар нәтижеге әсер етпейді, тек екі ең шекті қатынастар ғана маңызды. 16:9 және 4:3 қатынастарына осы геометриялық орташа әдісін қолданғанда шамамен 14:9 ( ) көспект қатынасы шығады, ол да осы қатынастардың арасындағы келісім ретінде қолданылады. Бұл жағдайда 14:9 – бұл және , себебі 14 – 16 және 12-нің арифметикалық орташасы, ал нақты геометриялық орташа – бұл. Арифметикалық және геометриялық орташалар шамамен тең, өйткені екі сан да бір-біріне жеткілікті жақын (2%-дан кем айырмашылық).
Қағаз пішімдері
Геометриялық орташа көрсеткіш B және C сериялы қағаз форматтарын есептеу үшін де қолданылады. Форматтың ауданы, A0 және A1 қағаздары аудандарының геометриялық орташасына тең болады. Мысалы, B1 қағазының ауданы , өйткені ол A0 және A1 қағаздары аудандарының геометриялық орташасы. Осы принцип C сериясына да қатысты, оның ауданы A және B сериялары аудандарының геометриялық орташасы болып табылады. Мысалы, C4 форматының ауданы A4 және B4 қағаздары аудандарының геометриялық орташасына тең. Бұл қатынастың бір артықшылығы – A4 парақ C4 конвертке сыяды, ал олар екеуі де B4 конвертке сыяды.
The same principle applies with the C series, whose area is the geometric mean of the A and B series. For example, the C4 format has an area which is the geometric mean of the areas of A4 and B4. An advantage that comes from this relationship is that an A4 paper fits inside a C4 envelope, and both fit inside a B4 envelope.
Басқа қолданбалар
Спектрлік тегістілік: сигналдарды өңдеуде спектрлік тегістілік – спектрдің қаншалықты тегіс немесе тікенекті екенін көрсететін өлшем. Ол қуат спектрінің геометриялық орташасының арифметикалық орташасына қатынасы ретінде анықталады. Жарықтандырудан қорғайтын жабындар: Екі ортаның (сыну индекстері n0 және n2) арасындағы шағылысуды азайту қажет болғанда, жарықтандырудан қорғайтын жабынның оптимал сыну индексі n1 геометриялық орташамен анықталады. Субтрактивті түс араластыру: Бояу қоспаларының спектрлік шағылысу қисығы (бірдей түс күшімен, мөлдірлікпен және сұйылту дәрежесімен) бояулардың жеке шағылысу қисықтарының геометриялық орташасына шамамен тең болады, бұл қисықтар олардың спектріндегі әрбір толқын ұзындығында есептеледі. Кескін өңдеу: Геометриялық орташа сүзгісі кескін өңдеуде шуды басуға арналған сүзгі ретінде қолданылады. Еңбек сыйақысы: 1875 жылы Иоганн фон Тюнен еңбек берушінің капиталын пайдалана отырып, ең төменгі жалақы мен еңбектің нарықтық құнының геометриялық орташасын табиғи жалақы деп ұсынды.