Кіріспе

Сандық талдаудағы тізбекті жеделдету әдісі

Сандық талдауда Ричардсон экстраполяциясы – белгілі бір шаманың жуықтамалы мәндер тізбегінің жуықтасу жылдамдығын арттыруға қолданылатын тізбекті жеделдету әдісі. Мұның мәнісінде, егер шаманың бірнеше мәні үшін мәні белгілі болса, онда экстраполяция арқылы осы мәндерді бағалауға болады. Бұл әдіс 20-шы ғасырдың басында осы техниканы енгізген Льюис Фрай Ричардсонның есімімен аталады, бірақ бұл идеяны Кристиан Гюйгенс өзінің есептеулерінде бұрыннан білген. Біркхофф пен Ротаның айтуынша, "практикалық есептеулерде оның тиімділігін бағалау өте қиын". Ричардсон экстраполяциясының практикалық қолданыстарына Ромберг интеграциясы жатады, ол Ричардсон экстраполяциясын трапеция тәсіліне қолданады, сондай-ақ қалыпты дифференциалдық теңдеулерді шешуге арналған Булирш–Стоер алгоритміне де қолданылады.

Мақсаты

Ричардсон экстраполяциясы – бұл қателік формуласын -ден -ге өзгерту арқылы жақындауын жақсарту процесі. Сондықтан, -ты -мен алмастыру арқылы, қадам өлшемі бірдей болғанда, уақытша қателік -ден -ге дейін азайтылды. -ның -дан дәлірек бағалау болып табылатын жалпы үлгі пайда болады. Осы процестің арқасында біз қателіктің ең үлкен мүшесін, яғни -ты алып тастау арқылы жақындауын жақсарттық. Бұл процесті қайталау арқылы одан да жақсы жақындаулар алу үшін көбірек қателік мүшелерін жоюға болады.

Қасиеттері

Ричардсон экстраполяциясын сызықтық реттілік түрлендіру ретінде қарастыруға болады. Сонымен қатар, жалпы формула (тұмбалау қатесінің жетекші қадамдық тәртібі) оның мәні де, мәні де алдын ала белгісіз болған жағдайда бағалау үшін қолданылуы мүмкін. Мұндай тәсіл белгісіз конвергенция жылдамдығын анықтау үшін пайдалы болуы мүмкін. Үш түрлі қадам өлшемдері , , және берілгенде, нақты қатынас шамалас қатынасқа әкеледі (мұнда нотация шатастыру тудыруы мүмкін екенін ескеріңіз, жоғарыдағы теңдеудегі екі О әрқайсысы тек қадам өлшемінің жетекші тәртібін көрсетеді, бірақ олардың нақты түрі әртүрлі, сондықтан екі О-ның өзара алынуы шамамен ғана дұрыс). Бұл қатынас , және үшін сандық түрде шешілуі мүмкін. Егер және таңдалса, бұл шамалас қатынас және үшін оңай шешілетін квадрат теңдеуге дейін тобыққандалады.