Кіріспе
Интерполяцияға арналған кубтық функция. Сандық талдауда кубтық Гермит сплайны немесе кубтық Гермит интерполяторы – әр бөлігі Гермит түрінде, яғни сәйкес домендік аралықтың соңғы нүктелеріндегі мәндері мен бірінші туындылары арқылы анықталатын үшінші дәрежелі полином болатын сплайн. Кубикалық Гермит сплайндары әдетте берілген аргумент мәндерінде берілген сандық деректерді интерполяциялау үшін, үздіксіз функция алу үшін қолданылады. Деректер әрқайсысында қажетті функция мәнінен және туындысынан тұруы керек (егер тек мәндер берілсе, туындылар олардан есептелуі керек). Гермит формуласы әрбір аралыққа жеке қолданылады. Нәтижесіндегі сплайн үздіксіз болады және үздіксіз бірінші туындыға ие болады. Кубикалық полиномдық сплайндарды басқа тәсілдермен де анықтауға болады, ең көп таралғаны – Безиер кубигі. Алайда, бұл екі әдіс бірдей сплайндар жиынтығын қамтамасыз етеді және деректерді Безиер мен Гермит формалары арасында оңай түрлендіруге болады; сондықтан атаулар көбінесе синонимдер ретінде қолданылады. Кубикалық полиномдық сплайндар компьютерлік графикада және геометриялық модельдеуде жазықтықтың немесе үш өлшемді кеңістіктің белгіленген нүктелерінен өтетін қисықтар немесе қозғалыс траекторияларын алу үшін кеңінен қолданылады. Бұл қолданбаларда жазықтықтың немесе кеңістіктің әрбір координатасы жеке параметр t-нің кубикалық сплайн функциясымен жеке интерполяцияланады. Кубикалық полиномдық сплайндар сондай-ақ Эйлер-Бернулли қабырға теориясы сияқты құрылымдық талдау қолданбаларында кеңінен қолданылады. Кубикалық полиномдық сплайндар өлім-жітімді талдау және өлім-жітімді болжау үшін де қолданылған. Кубикалық сплайндарды екі немесе одан көп параметрлердің функцияларына бірнеше тәсілмен кеңейтуге болады. Бикубикалық сплайндар (бикубикалық интерполяция) жиі тұрақты тікбұрышты тордағы деректерді интерполяциялау үшін қолданылады, мысалы, цифрлық кескіндегі пиксельдердің мәндері немесе жер бедеріндегі биіктік деректері. Үш бикубикалық сплайнмен анықталатын бикубикалық бет жапсырмалары компьютерлік графикадағы маңызды құрал болып табылады. Кубикалық сплайндарды компьютерлік графикада csplines деп те атайды. Гермит сплайны Чарльз Гермит құрметіне аталған.
In numerical analysis, a cubic Hermite spline or cubic Hermite interpolator is a spline where each piece is a third degree polynomial specified in Hermite form, that is, by its values and first derivatives at the end points of the corresponding domain interval. Cubic Hermite splines are typically used for interpolation of numeric data specified at given argument values , to obtain a continuous function. The data should consist of the desired function value and derivative at each (If only the values are provided, the derivatives must be estimated from them.) The Hermite formula is applied to each interval separately. The resulting spline will be continuous and will have continuous first derivative. Cubic polynomial splines can be specified in other ways, the Bezier cubic being the most common. However, these two methods provide the same set of splines, and data can be easily converted between the Bézier and Hermite forms; so the names are often used as if they were synonymous. Cubic polynomial splines are extensively used in computer graphics and geometric modeling to obtain curves or motion trajectories that pass through specified points of the plane or three dimensional space. In these applications, each coordinate of the plane or space is separately interpolated by a cubic spline function of a separate parameter t.
Cubic polynomial splines are also used extensively in structural analysis applications, such as Euler–Bernoulli beam theory. Cubic polynomial splines have also been applied to mortality analysis and mortality forecasting. Cubic splines can be extended to functions of two or more parameters, in several ways. Bicubic splines (Bicubic interpolation) are often used to interpolate data on a regular rectangular grid, such as pixel values in a digital image or altitude data on a terrain. Bicubic surface patches, defined by three bicubic splines, are an essential tool in computer graphics. Cubic splines are often called csplines, especially in computer graphics. Hermite splines are named after Charles Hermite.
Кездейсоқ аралықтағы интерполяция
Кез келген аралықта интерполяция жасау, осы аралықты аффиндік (1-дәрежелі) айнымалыны өзгерту арқылы [0,1] аралығына бейнелеу арқылы жүзеге асырылады. Формуласы:
мұнда , және – төменде анықталған негізгі функцияларды білдіреді. Бірлік аралығындағы теңдеумен салыстырғанда, жанама мәндер масштабталған.
Деректер жиынтығын интерполяциялау
Деректер жиынтығы үшін , жоғарыда аталған процедураны әрбір аралыққа қолдану арқылы интерполяциялауға болады, мұнда тангенстердің таңдалуы логикалық болуы керек, яғни бір ұштық нүктесі ортақ аралықтар үшін тангенстер тең болуы тиіс. Содан кейін интерполяцияланған қисық кезең-кезеңмен кубтық Hermite сплайндарынан тұрады және ол жаһандық тұрғыдан үздіксіз дифференциалданады. Тангенстерді таңдау бірегей емес, және бірнеше мүмкіндіктер бар.
The choice of tangents is not unique, and there are several options available.
Кочанек Бартелс
Кочанек-Бартелс сплині — бұл дерек нүктелері , және берілгенде тангенстерді қалай таңдау керектігін жалпылаудың тағы бір түрі, онда үш параметр қолданылуы мүмкін: кернеу, қисықтық және үздіксіздік параметрі.
Монотонды кубтық интерполяция
Егер жоғарыда тізілген түрлердің кез келген кубикалық Hermite шпалы монотонды деректер жиынтығын интерполяциялау үшін қолданылса, интерполяцияланған функция міндетті түрде монотонды болмайды, бірақ тангенстерді түзету арқылы монотондылық сақталуы мүмкін.