Кубические сплайны для интерполяции

Введение

Кубическая функция, используемая для интерполяции

В численном анализе кубический сплайн Эрмита или кубический интерполятор Эрмита — это сплайн, в котором каждый сегмент является полиномом третьей степени, заданным в форме Эрмита, то есть его значениями и первыми производными в конечных точках соответствующего интервала области определения. Кубические сплайны Эрмита обычно используются для интерполяции численных данных, заданных при определенных значениях аргументов, для получения непрерывной функции. Данные должны состоять из желаемого значения функции и производной в каждой точке (если предоставлены только значения, производные должны быть оценены на их основе). Формула Эрмита применяется к каждому интервалу по отдельности. Полученный сплайн будет непрерывным и иметь непрерывную первую производную. Кубические полиномиальные сплайны могут быть заданы другими способами, наиболее распространенным из которых является кубический сплайн Безье. Однако эти два метода обеспечивают один и тот же набор сплайнов, и данные можно легко преобразовать между формами Безье и Эрмита; поэтому эти названия часто используются как синонимы. Кубические полиномиальные сплайны широко используются в компьютерной графике и геометрическом моделировании для получения кривых или траекторий движения, проходящих через заданные точки плоскости или трехмерного пространства. В этих приложениях каждая координата плоскости или пространства интерполируется отдельно кубической сплайн-функцией от отдельного параметра t. Кубические полиномиальные сплайны также широко используются в приложениях структурного анализа, таких как теория балок Эйлера-Бернулли. Кубические полиномиальные сплайны также применяются к анализу смертности и прогнозированию смертности. Кубические сплайны могут быть расширены на функции двух или более параметров несколькими способами. Бикубические сплайны (бикубическая интерполяция) часто используются для интерполяции данных на регулярной прямоугольной сетке, например, значений пикселей в цифровом изображении или данных о высоте на местности. Бикубические поверхностные патчи, определяемые тремя бикубическими сплайнами, являются важным инструментом в компьютерной графике. Кубические сплайны часто называют c-сплайнами, особенно в компьютерной графике. Сплайны Эрмита названы в честь Шарля Эрмита.

In numerical analysis, a cubic Hermite spline or cubic Hermite interpolator is a spline where each piece is a third degree polynomial specified in Hermite form, that is, by its values and first derivatives at the end points of the corresponding domain interval. Cubic Hermite splines are typically used for interpolation of numeric data specified at given argument values , to obtain a continuous function. The data should consist of the desired function value and derivative at each (If only the values are provided, the derivatives must be estimated from them.) The Hermite formula is applied to each interval separately. The resulting spline will be continuous and will have continuous first derivative. Cubic polynomial splines can be specified in other ways, the Bezier cubic being the most common. However, these two methods provide the same set of splines, and data can be easily converted between the Bézier and Hermite forms; so the names are often used as if they were synonymous. Cubic polynomial splines are extensively used in computer graphics and geometric modeling to obtain curves or motion trajectories that pass through specified points of the plane or three dimensional space. In these applications, each coordinate of the plane or space is separately interpolated by a cubic spline function of a separate parameter t.
Cubic polynomial splines are also used extensively in structural analysis applications, such as Euler–Bernoulli beam theory. Cubic polynomial splines have also been applied to mortality analysis and mortality forecasting. Cubic splines can be extended to functions of two or more parameters, in several ways. Bicubic splines (Bicubic interpolation) are often used to interpolate data on a regular rectangular grid, such as pixel values in a digital image or altitude data on a terrain. Bicubic surface patches, defined by three bicubic splines, are an essential tool in computer graphics. Cubic splines are often called csplines, especially in computer graphics. Hermite splines are named after Charles Hermite.

Интерполяция на произвольном интервале

Интерполяция на произвольном интервале выполняется путем отображения этого интервала на [0, 1] с помощью аффинного (линейного) преобразования переменной. Формула имеет вид

где , а обозначает базисные функции, определенные ниже. Следует отметить, что значения касательных были масштабированы на по сравнению с уравнением на единичном интервале.

Интерполяция набора данных

Набор данных для , может быть интерполирован путем применения описанной выше процедуры к каждому интервалу, при этом касательные выбираются согласованно, то есть касательные для интервалов, имеющих общие конечные точки, должны быть равны. Интерполированная кривая тогда состоит из кусочно-кубических эрмитовых сплайнов и является глобально непрерывно дифференцируемой в . Выбор касательных не является единственным, и существует несколько возможных вариантов.

Кочанек Бартелс

Сплайн Кочанека — Бартельса является дальнейшим обобщением способа выбора касательных, заданных точками данных , и , с тремя возможными параметрами: натяжение, смещение и параметр обеспечения непрерывности.

Монотонная кубическая интерполяция

Если кубический сплайн Эрмита любого из вышеперечисленных типов используется для интерполяции монотонного набора данных, интерполированная функция не обязательно будет монотонной, однако монотонность можно сохранить, корректируя касательные.