Кіріспе
Шынайы кеңістіктегі тордың Фурье түрлендіруі, қатты дене физикасында маңызды. Физикада, өзара тор басқа тордың Фурье түрлендіруінен туындайды. Тікелей тор немесе нақты тор – физикалық кеңістіктегі кристалл жүйесі (әдетте Браве торлары) сияқты периодты функция. Өзара тор кеңістіктік жиіліктердің математикалық кеңістігінде орналасады, ол өзара кеңістік немесе k кеңістігі деп аталады, мұнда – толқын векторы. Кванттық физикада, өзара кеңістік импульс кеңістігімен пропорционалдық байланыста, мұнда – импульс векторы және – теңкел Планк тұрақтысы. Өзара тордың өзара торы бастапқы тікелей торға тең, себебі анықтамалық теңдеулер нақты және өзара кеңістіктегі векторларға қатысты симметриялы. Математикалық тұрғыдан алғанда, тікелей және өзара тор векторлары сәйкесінше ковариантты және контравариантты векторларды көрсетеді. Өзара тор – бұл барлық векторлардың жиынтығы, олар тікелей тордың периодымен бірдей периодтық кеңістіктік функцияның Фурье қатарындағы жазық толқындардың толқын векторлары болып табылады. Бұл Фурье қатарындағы әрбір жазық толқынның әрбір тікелей тор нүктесінде бірдей фазасы немесе фазаларының есебінен айырмашылығы бар (яғни, барлық тікелей тор нүктелерінде бірдей фаза). Өзара тор көптеген периодтық құрылымдарды талдауларда, әсіресе дифракция теориясында маңызды рөл атқарады. Нейтрон, гелий және рентген сәулелерінің дифракциясында Лауэ шарттарына сәйкес, кристаллдың кіретін және дифракцияланған сәулелері арасындағы импульс айырмашылығы өзара тор векторы болып табылады. Кристаллдың дифракциялық суреті тордың өзара векторларын анықтау үшін қолданылуы мүмкін. Осы процесті пайдаланып, кристаллдың атомдық құрылымын анықтауға болады. Бриллуэн аймағы – өзара тордың Вигнер-Зейц жасушасы.
In physics, the reciprocal lattice emerges from the Fourier transform of another lattice. The direct lattice or real lattice is a periodic function in physical space, such as a crystal system (usually a Bravais lattice). The reciprocal lattice exists in the mathematical space of spatial frequencies, known as reciprocal space or k space, where refers to the wavevector. In quantum physics, reciprocal space is closely related to momentum space according to the proportionality , where is the momentum vector and is the reduced Planck constant. The reciprocal lattice of a reciprocal lattice is equivalent to the original direct lattice, because the defining equations are symmetrical with respect to the vectors in real and reciprocal space. Mathematically, direct and reciprocal lattice vectors represent covariant and contravariant vectors, respectively. The reciprocal lattice is the set of all vectors , that are wavevectors of plane waves in the Fourier series of a spatial function whose periodicity is the same as that of a direct lattice Each plane wave in this Fourier series has the same phase or phases that are differed by multiples of at each direct lattice point (so essentially same phase at all the direct lattice points). The reciprocal lattice plays a fundamental role in most analytic studies of periodic structures, particularly in the theory of diffraction. In neutron, helium and X ray diffraction, due to the Laue conditions, the momentum difference between incoming and diffracted X rays of a crystal is a reciprocal lattice vector. The diffraction pattern of a crystal can be used to determine the reciprocal vectors of the lattice. Using this process, one can infer the atomic arrangement of a crystal. The Brillouin zone is a Wigner–Seitz cell of the reciprocal lattice.
Өзара кеңістік
Қайталама кеңістік (әрі қарай k кеңістігі деп аталады) кеңістіктік функцияның Фурье түрлендіруінің нәтижелерін визуализациялауға мүмкіндік береді. Ол уақытқа тәуелді функцияның Фурье түрлендіруінен туындайтын жиілік доменінің атқаратын рөліне ұқсас; қайталама кеңістік – кеңістіктік функцияның Фурье түрлендіруі кеңістіктік жиіліктерде немесе Фурье түрлендіруінің жазық толқындарының толқындық векторларында бейнеленетін кеңістік. Ғарыштық функцияның өзі көбінесе нақты кеңістік деп аталады. Физикалық қолданыстарда, мысалы, кристаллографияда, нақты және қайталама кеңістіктер көбінесе екі немесе үш өлшемді болады. Бұл екі байланысты кеңістіктің кеңістіктік өлшемдерінің саны бірдей болғанымен, кеңістіктер олардың сан мөлшерімен ерекшеленеді, сондықтан нақты кеңістіктің өлшемі ұзындық (L) болса, оның қайталама кеңістігі кері ұзындықта болады, яғни L⁻¹ (ұзындықтың кері шамасы). Қайталама кеңістік классикалық және кванттық механикалық толқындармен байланысты қолданылады. Бірлік амплитудасы бар синусоидты жазық толқын, бастапқы фазасы φ, бұрыштық толқын саны k және бұрыштық жиілігі ω болатын термін ретінде жазылуы мүмкін болғандықтан, оны φ және k-ның (және уақытқа өзгеретін бөлігі φ және k-ның функциясы ретінде) функциясы ретінде қарастыруға болады. Бұл φ және k-ның толықтыратын рөлі олардың толықтыратын кеңістіктерде (нақты кеңістік және қайталама кеңістік) визуализациялануына әкеледі. Бұл толқынның кеңістіктік периоды оның толқын ұзындығы λ арқылы анықталады, мұндағы k = 2π/λ; сондықтан қайталама кеңістіктегі сәйкес толқын саны үш өлшемде болады, ал сәйкес жазық толқын термині E = A * exp(i(k⋅r - ωt)) болады, бұл белгілі бір уақыт t кезінде E = A * exp(i(k⋅r)) түріне дейін қарапайымдастырылады, мұндағы r – нақты кеңістіктегі нүктенің радиус-векторы және k – үш өлшемді қайталама кеңістіктегі толқындық вектор. (Толқындық вектордың модулі толқын саны деп аталады.) Тұрақты φ – толқын фронтының фазасы (тұрақты фаза жазықтығы) t уақытындағы бастапқы нүкте арқылы және φ – осы толқын фронтына перпендикуляр бірлік вектор. φ + 2πn фазасы бар толқын фронттары (мұндағы n – кез келген бүтін сан) толқын ұзындығы λ арқылы бір-бірінен тең арақашықтықта орналасқан параллель жазықтықтар жиынтығын құрайды.
In three dimensions, the corresponding plane wave term becomes , which simplifies to at a fixed time , where is the position vector of a point in real space and now is the wavevector in the three dimensional reciprocal space. (The magnitude of a wavevector is called wavenumber.) The constant is the phase of the wavefront (a plane of a constant phase) through the origin at time , and is a unit vector perpendicular to this wavefront. The wavefronts with phases , where represents any integer, comprise a set of parallel planes, equally spaced by the wavelength .
Өзара торап
Жалпы алғанда, геометриялық тор – кеңістіктегі нүктелердің (төбелердің) шексіз, реттелген жиынтығы, оны векторлық түрде Брауэстің торы ретінде модельдеуге болады. Кейбір торлар қисық болуы мүмкін, яғни олардың басты сызықтары тік бұрыш жасауы міндетті емес. Өзара кеңістікте, өзара тор – нақты кеңістіктегі бастапқы тікелей тордың периодтығымен сәйкес келетін кез келген функцияның Фурье қатарындағы жазық толқындардың толқындық векторларының жиынтығы ретінде анықталады. Басқаша айтқанда, толқындық вектор өзара тордың төбесі болып табылады, егер ол нақты кеңістіктегі жазық толқынға сәйкес келсе, оның фазасы кез келген уақытта тікелей тордың барлық төбелерінде бірдей (немесе толық санға қатысты айырмашылығы бар) болады. Үш өлшемді өзара торды құрудың бір эвристикалық тәсілі – тікелей тордың төбесінің радиус-векторын жазу , мұнда – төбелерді анықтайтын толық сандар, ал – тордың сипаттамалық сызықтық тәуелсіз бастапқы трансляциялық векторлары (немесе қысқаша бастапқы векторлар). Онда бірегей жазық толқын (теріс бірлікке дейін) болады, оның толқындық фронты бастапқы нүктеден өтеді және нүктелеріндегі тікелей тордың төбелерінен өтеді, ал оның іргелес толқындық фронты (фазасы бұрынғы толқындық фронттан өтетінге қарағанда ерекшеленеді) нүктесінен өтеді. Оның бұрыштық толқындық векторы келесідей болады , мұнда – осы екі іргелес толқындық фронтқа перпендикуляр бірлік векторы, ал толқын ұзындығы теңдеуді қанағаттандыруы керек , яғни – екі толқындық фронт арасындағы қашықтыққа тең. Осылайша, құрылымы бойынша және индекстер бойынша циклды өте отырып, сол әдіс үш толқындық векторды береді , мұнда – Кронекер дельтасы, ол тең болғанда 1-ге, ал басқа жағдайда 0-ге тең. Бұл үш бастапқы толқындық векторды немесе өзара тордың үш бастапқы трансляциялық векторын құрайды, олардың әрқайсысының төбелері келесідей болады , мұнда – толық сандар. Өзара тор да Брауэстің торы болып табылады, өйткені ол бастапқы векторлардың толық сандық комбинацияларынан құрылады, яғни , және бұл жағдайда. Оңай алгебралық амалдар көрсетіп береді, өзара тордағы толқындық векторы бар кез келген жазық толқын үшін, тікелей тордағы кез келген нүкте мен бастапқы нүкте арасындағы жалпы фазалық ығыс мәнінің еселігі болады (көбейткіш нөл болса, ол нөлге тең болуы мүмкін), сондықтан толқындық векторы бар жазық толқынның фазасы тікелей тордың барлық төбелерінде бірдей болады, жоғарыда келтірілген өзара тордың анықтамасына сәйкес. (Өзара тордағы кез келген толқындық вектор әрқашан осы формада болса да, бұл туындылауы ынталандырушы, қатаң емес, өйткені ол басқа мүмкіндіктердің жоқ екенін дәлелдеуді қалдырды.) Бриллюэн аймағы – қатты дене физикасында Блох теоремасының арқасында маңызды рөл атқаратын өзара тордың элементарлық жасушасы (дәлірек айтқанда, Вигнер-Зейц жасушасы). Таза математикада сызықтық формалардың дуалдық кеңістігі және дуалдық тор өзара кеңістік пен өзара тордың абстрактілірек жалпыламаларын ұсынады.
Cycling through the indices in turn, the same method yields three wavevectors with , where the Kronecker delta equals one when and is zero otherwise. The comprise a set of three primitive wavevectors or three primitive translation vectors for the reciprocal lattice, each of whose vertices takes the form , where the are integers. The reciprocal lattice is also a Bravais lattice as it is formed by integer combinations of the primitive vectors, that are , , and in this case. Simple algebra then shows that, for any plane wave with a wavevector on the reciprocal lattice, the total phase shift between the origin and any point on the direct lattice is a multiple of (that can be possibly zero if the multiplier is zero), so the phase of the plane wave with will essentially be equal for every direct lattice vertex, in conformity with the reciprocal lattice definition above. (Although any wavevector on the reciprocal lattice does always take this form, this derivation is motivational, rather than rigorous, because it has omitted the proof that no other possibilities exist.) The Brillouin zone is a primitive cell (more specifically a Wigner–Seitz cell) of the reciprocal lattice, which plays an important role in solid state physics due to Bloch's theorem. In pure mathematics, the dual space of linear forms and the dual lattice provide more abstract generalizations of reciprocal space and the reciprocal lattice.
Түрлі кристаллдардан жасалған өзара торлар
Кубтық кристалл жүйесі үшін өзара торлар былай болады.
Қарапайым кубтық тор
Қарапайым кубтық Бравейс торсы, қабырғасы a болатын кубтық примитивтік ұяшыққа ие, оның керісінде де қарапайым кубтық тор болады, қабырғасы 1/a (немесе кристаллографтардың анықтамасы бойынша 2π/a) болатын кубтық примитивтік ұяшықпен. Сондықтан кубтық тор өзіне-өзі дуалды деп аталады, өйткені оның кері кеңістіктегі және нақты кеңістіктегі симметриясы бірдей.
Бетке ортақталған кубтық (FCC) тор
FCC торларына кері тор – денеге ортақталған кубтық (BCC) тор, оның куб жағы… FCC қосылысының бірлік ұяшығын қарастырыңыз. FCC-нің бастапқы бірлік ұяшығын анықтаңыз; яғни, бір тор нүктесі бар ұяшықты табыңыз. Енді бастапқы бірлік ұяшықтың бір төбесін координаталардың басы ретінде қабылдаңыз. Нақты тордың негізгі векторларын анықтаңыз. Содан кейін белгілі формулалар бойынша кері тордың негізгі векторларын есептеуге болады. FCC-нің кері тор векторлары BCC нақты тордың негізгі векторларын көрсетеді. Нақты BCC тордың негізгі векторлары және FCC тордың кері векторлары бағыты жағынан ұқсас, бірақ шамалары әртүрлі.
Consider an FCC compound unit cell. Locate a primitive unit cell of the FCC; i. e., a unit cell with one lattice point. Now take one of the vertices of the primitive unit cell as the origin. Give the basis vectors of the real lattice. Then from the known formulae, you can calculate the basis vectors of the reciprocal lattice. These reciprocal lattice vectors of the FCC represent the basis vectors of a BCC real lattice. The basis vectors of a real BCC lattice and the reciprocal lattice of an FCC resemble each other in direction but not in magnitude.
Денесі орталықталған кубтық (BCC) тор
BCC торға қарсы тор FCC тор болып табылады, оның қабырғасы . Дәлелдеуге болады, 90 градус бұрышпен арақатысы бар (куб, тетрагональ, орторомб) Бравестің торлары ғана кері тор үшін бастапқы ауысу векторларына ие, , олардың нақты кеңістіктегі векторларына параллель.
It can be proven that only the Bravais lattices which have 90 degrees between (cubic, tetragonal, orthorhombic) have primitive translation vectors for the reciprocal lattice, , parallel to their real space vectors.
Қарапайым алты бұрышты тор
Қарапайым алтыбұрышты Брауэстің торшасы тор тұрақтыларымен және басқа қарапайым алтыбұрышты торшасы тор тұрақтыларымен, тура торшаға қатысты c осі бойынша 90° бұрылған. Сондықтан қарапайым алтыбұрышты тор өзіне-өзі жұп болады, өзара кеңістіктегі және нақты кеңістіктегі симметриясы бірдей. Осы қарапайым алтыбұрышты Брауэстің торшасы үшін бастапқы аударма векторлары:
Екі жақты тордың жалпылауы
Нақты векторлық кеңістіктегі L берілген решеті үшін математикада абстрактілік қос тор тұжырымдамасының екі нұсқасы бар, шекті өлшемді. Біріншісі, кері тор құрылымын тікелей жалпылайтын, Фурье талдауын қолданады. Оны Понтрагиннің дуалдылығы арқылы қарапайым түрде беруге болады. V-ның V^-ға дейінгі дуалдық тобы да нақты векторлық кеңістік болып табылады, ал оның L-дың L^-ға дейінгі дуалдық жабық кіші тобы V^-дағы решет болып шығады. Сондықтан L^ – екі жақты тордың табиғи үміткері, басқа векторлық кеңістікте (сол өлшемде). Екінші аспект V-де Q квадраттық формасының болуында көрінеді; егер ол дегенерацияланбаса, онда V-нің V* дуалдық кеңістігін V-мен сәйкестендіруге мүмкіндік береді. V* пен V-нің арақатынасы ішкі емес; ол V-де Haar өлшемін (көлем элементін) таңдауға байланысты. Бірақ екеуінің сәйкестендіруін ескере отырып, бұл скалярға дейін жақсы анықталған, Q-ның болуы V-де қалып L-ға қатысты қос тор туралы айтуға мүмкіндік береді. Математикада, абельдік жергілікті компактты топологиялық топтағы G-дегі берілген решеттің L қос решеті – G-дің дуалдық тобының L* кіші тобы болып табылады, ол L-дың әрбір нүктесінде бірге тең болатын барлық үздіріссіз сипаттардан тұрады.
In mathematics, the dual lattice of a given lattice L in an abelian locally compact topological group G is the subgroup L∗ of the dual group of G consisting of all continuous characters that are equal to one at each point of L.
In discrete mathematics, a lattice is a locally discrete set of points described by all integral linear combinations of linearly independent vectors in Rn. The dual lattice is then defined by all points in the linear span of the original lattice (typically all of Rn) with the property that an integer results from the inner product with all elements of the original lattice. It follows that the dual of the dual lattice is the original lattice. Furthermore, if we allow the matrix B to have columns as the linearly independent vectors that describe the lattice, then the matrix has columns of vectors that describe the dual lattice.
Дискретті математикада решет – Rn-дегі сызықтық тәуелсіз векторлардың барлық бүтін сызықтық комбинацияларымен сипатталатын дискретті нүктелердің жергілікті жиыны. Онда қос решет бастапқы решеттің сызықтық кеңістігіндегі (әдетте Rn-нің барлығы) барлық нүктелермен анықталады, олардың бастапқы решеттің барлық элементтерімен ішкі көбейтіндісінен бүтін сан шығады. Осыдан қос решеттің дуалы бастапқы решет болып табылады. Сонымен қатар, егер B матрицасында решетті сипаттайтын сызықтық тәуелсіз векторлар бағандар ретінде болса, онда матрицада қос решетті сипаттайтын векторлар бағандары болады.
In mathematics, the dual lattice of a given lattice L in an abelian locally compact topological group G is the subgroup L∗ of the dual group of G consisting of all continuous characters that are equal to one at each point of L.
In discrete mathematics, a lattice is a locally discrete set of points described by all integral linear combinations of linearly independent vectors in Rn. The dual lattice is then defined by all points in the linear span of the original lattice (typically all of Rn) with the property that an integer results from the inner product with all elements of the original lattice. It follows that the dual of the dual lattice is the original lattice. Furthermore, if we allow the matrix B to have columns as the linearly independent vectors that describe the lattice, then the matrix has columns of vectors that describe the dual lattice.