Решетка обратного пространства и преобразование Фурье в физике твердого тела.

Введение

Трансформация Фурье решетки реального пространства, важная в физике твердого тела.

В физике взаимная решетка возникает в результате преобразования Фурье другой решетки. Прямая решетка или реальная решетка – это периодическая функция в физическом пространстве, такая как кристаллическая система (обычно решетка Браве). Взаимная решетка существует в математическом пространстве пространственных частот, известном как взаимное пространство или k-пространство, где обозначает волновой вектор. В квантовой физике взаимное пространство тесно связано с импульсным пространством в соответствии с пропорциональностью , где – вектор импульса, а – постоянная Планка, деленная на 2π. Взаимная решетка взаимной решетки эквивалентна исходной прямой решетке, поскольку определяющие уравнения симметричны относительно векторов в реальном и взаимном пространстве. Математически прямые и обратные векторы решетки представляют собой ковариантные и контравариантные векторы соответственно. Взаимная решетка – это множество всех векторов , являющихся волновыми векторами плоских волн в разложении Фурье пространственной функции, периодичность которой совпадает с периодичностью прямой решетки. Каждая плоская волна в этом разложении Фурье имеет одинаковую фазу или фазы, отличающиеся на целое число разностей фаз 2π в каждой точке прямой решетки (то есть, по существу, одинаковую фазу во всех точках прямой решетки). Взаимная решетка играет фундаментальную роль в большинстве аналитических исследований периодических структур, особенно в теории дифракции. В дифракции нейтронов, гелия и рентгеновских лучей, в силу условий Лауэ, разность импульсов между падающими и дифрагированными рентгеновскими лучами кристалла представляет собой вектор взаимной решетки. Дифракционная картина кристалла может быть использована для определения векторов взаимной решетки. Используя этот процесс, можно установить атомное строение кристалла. Зона Бриллюэна является ячейкой Вигнера — Зейца взаимной решетки.

Взаимное пространство

Взаимное пространство (также называемое k-пространством) предоставляет способ визуализации результатов преобразования Фурье пространственной функции. Оно аналогично по роли частотной области, возникающей при преобразовании Фурье функции, зависящей от времени; взаимное пространство – это пространство, в котором преобразование Фурье пространственной функции представляется в виде пространственных частот или волновых векторов плоских волн преобразования Фурье. Область определения самой пространственной функции часто называют реальным пространством. В физических приложениях, таких как кристаллография, как реальное, так и взаимное пространство часто бывают двумерными или трехмерными. Хотя число пространственных измерений этих двух связанных пространств одинаково, сами пространства различаются по размерности величин: если реальное пространство имеет размерность длины (L), то его взаимное пространство имеет размерность обратной длины, то есть L⁻¹ (обратная величина длины). Взаимное пространство играет роль при рассмотрении волн, как классических, так и квантовых. Поскольку синусоидальная плоская волна с единичной амплитудой может быть записана в виде колебательного члена , с начальной фазой , угловым волновым числом и угловой частотой , её можно рассматривать как функцию как и (а изменяющаяся во времени часть – как функцию как и ). Эта взаимодополняющая роль и приводит к их визуализации в дополнительных пространствах (реальном и взаимном). Пространственная периодичность этой волны определяется её длиной волны , где ; следовательно, соответствующее волновое число во взаимном пространстве будет . В трех измерениях соответствующий член плоской волны становится , что упрощается при фиксированном времени до , где – вектор положения точки в реальном пространстве, а – волновой вектор в трехмерном взаимном пространстве. (Величина волнового вектора называется волновым числом.) Константа – это фаза волнового фронта (плоскости постоянной фазы), проходящего через начало координат в момент времени , а – единичный вектор, перпендикулярный этому волновому фронту. Волновые фронты с фазами , где представляет собой любое целое число, образуют набор параллельных плоскостей, равноудаленных на расстояние, равное длине волны .

Reciprocal space (also called k space) provides a way to visualize the results of the Fourier transform of a spatial function. It is similar in role to the frequency domain arising from the Fourier transform of a time dependent function; reciprocal space is a space over which the Fourier transform of a spatial function is represented at spatial frequencies or wavevectors of plane waves of the Fourier transform. The domain of the spatial function itself is often referred to as real space. In physical applications, such as crystallography, both real and reciprocal space will often each be two or three dimensional. Whereas the number of spatial dimensions of these two associated spaces will be the same, the spaces will differ in their quantity dimension, so that when the real space has the dimension length (L), its reciprocal space will of inverse length, so L−1 (the reciprocal of length). Reciprocal space comes into play regarding waves, both classical and quantum mechanical. Because a sinusoidal plane wave with unit amplitude can be written as an oscillatory term , with initial phase , angular wavenumber and angular frequency , it can be regarded as a function of both and (and the time varying part as a function of both and ). This complementary role of and leads to their visualization within complementary spaces (the real space and the reciprocal space). The spatial periodicity of this wave is defined by its wavelength , where ; hence the corresponding wavenumber in reciprocal space will be
In three dimensions, the corresponding plane wave term becomes , which simplifies to at a fixed time , where is the position vector of a point in real space and now is the wavevector in the three dimensional reciprocal space. (The magnitude of a wavevector is called wavenumber.) The constant is the phase of the wavefront (a plane of a constant phase) through the origin at time , and is a unit vector perpendicular to this wavefront. The wavefronts with phases , where represents any integer, comprise a set of parallel planes, equally spaced by the wavelength .

Реципрочная решетка

В общем, геометрическая решетка — это бесконечный, регулярный массив вершин (точек) в пространстве, который может быть векторно смоделирован как решетка Браве. Некоторые решетки могут быть косыми, что означает, что их основные линии не обязательно должны быть перпендикулярны друг другу. Во взаимном пространстве взаимная решетка определяется как множество волновых векторов плоских волн в ряде Фурье любой функции, чья периодичность совместима с периодичностью исходной прямой решетки в реальном пространстве. Эквивалентно, волновой вектор является вершиной взаимной решетки, если он соответствует плоской волне в реальном пространстве, фаза которой в любой данный момент времени одинакова (фактически отличается на целое число) во всех вершинах прямой решетки. Один из эвристических подходов к построению взаимной решетки в трех измерениях заключается в записи вектора положения вершины прямой решетки как , где — целые числа, определяющие вершину, а — линейно независимые примитивные векторы трансляции (или кратко — примитивные векторы), характеризующие решетку. Тогда существует единственная плоская волна (с точностью до множителя -1), чей волновой фронт, проходящий через начало координат , содержит точки прямой решетки в и , а смежный волновой фронт (фаза которого отличается от предыдущего фронта, проходящего через начало координат, на или ) проходит через . Его угловой волновой вектор имеет вид , где — единичный вектор, перпендикулярный этим двум смежным волновым фронтам, а длина волны должна удовлетворять условию , что означает, что равно расстоянию между двумя волновыми фронтами. Следовательно, по построению и , и, перебирая индексы поочередно, тот же метод дает три волновых вектора с , где дельта Кронекера равна единице, когда и нулю в противном случае. Эти векторы образуют набор из трех примитивных волновых векторов или трех примитивных векторов трансляции для взаимной решетки, каждая из вершин которых имеет вид , где — целые числа. Взаимная решетка также является решеткой Браве, поскольку она формируется целочисленными комбинациями примитивных векторов, то есть , , и в данном случае. Простая алгебра показывает, что для любой плоской волны с волновым вектором на взаимной решетке, полный сдвиг фазы между началом координат и любой точкой на прямой решетке кратен (может быть равен нулю, если множитель равен нулю), поэтому фаза плоской волны с будет по существу одинаковой для каждой вершины прямой решетки, что соответствует определению взаимной решетки, приведенному выше. (Хотя любой волновой вектор на взаимной решетке всегда имеет такую форму, этот вывод является мотивационным, а не строгим, поскольку в нем отсутствует доказательство того, что других возможностей не существует.) Зона Бриллюэна — это примитивная ячейка (точнее, ячейка Вигнера — Зейца) взаимной решетки, которая играет важную роль в физике твердого тела благодаря теореме Блоха. В чистой математике двойственное пространство линейных форм и двойная решетка предоставляют более абстрактные обобщения взаимного пространства и взаимной решетки.

In general, a geometric lattice is an infinite, regular array of vertices (points) in space, which can be modelled vectorially as a Bravais lattice. Some lattices may be skew, which means that their primary lines may not necessarily be at right angles. In reciprocal space, a reciprocal lattice is defined as the set of wavevectors of plane waves in the Fourier series of any function whose periodicity is compatible with that of an initial direct lattice in real space. Equivalently, a wavevector is a vertex of the reciprocal lattice if it corresponds to a plane wave in real space whose phase at any given time is the same (actually differs by with an integer ) at every direct lattice vertex. One heuristic approach to constructing the reciprocal lattice in three dimensions is to write the position vector of a vertex of the direct lattice as , where the are integers defining the vertex and the are linearly independent primitive translation vectors (or shortly called primitive vectors) that are characteristic of the lattice. There is then a unique plane wave (up to a factor of negative one), whose wavefront through the origin contains the direct lattice points at and , and with its adjacent wavefront (whose phase differs by or from the former wavefront passing the origin) passing through Its angular wavevector takes the form , where is the unit vector perpendicular to these two adjacent wavefronts and the wavelength must satisfy , means that is equal to the distance between the two wavefronts. Hence by construction and
Cycling through the indices in turn, the same method yields three wavevectors with , where the Kronecker delta equals one when and is zero otherwise. The comprise a set of three primitive wavevectors or three primitive translation vectors for the reciprocal lattice, each of whose vertices takes the form , where the are integers. The reciprocal lattice is also a Bravais lattice as it is formed by integer combinations of the primitive vectors, that are , , and in this case. Simple algebra then shows that, for any plane wave with a wavevector on the reciprocal lattice, the total phase shift between the origin and any point on the direct lattice is a multiple of (that can be possibly zero if the multiplier is zero), so the phase of the plane wave with will essentially be equal for every direct lattice vertex, in conformity with the reciprocal lattice definition above. (Although any wavevector on the reciprocal lattice does always take this form, this derivation is motivational, rather than rigorous, because it has omitted the proof that no other possibilities exist.) The Brillouin zone is a primitive cell (more specifically a Wigner–Seitz cell) of the reciprocal lattice, which plays an important role in solid state physics due to Bloch's theorem. In pure mathematics, the dual space of linear forms and the dual lattice provide more abstract generalizations of reciprocal space and the reciprocal lattice.

Реципрочные решетки из различных кристаллов

Взаимные решетки для кубической кристаллической системы имеют следующий вид.

Простая кубическая решетка

Простая кубическая решетка Браве с кубической примитивной ячейкой со стороной *a* имеет в качестве обратной простой кубической решетки с кубической примитивной ячейкой со стороной 1/*a* (или 2π/*a* в определении кристаллографа). Таким образом, кубическая решетка является самодвойственной, обладая той же симметрией во взаимном пространстве, что и в прямом пространстве.

Кубическая решетка с центральным лицом (FCC)

Взаимная решетка для гранецентрированной кубической (FCC) решетки является объемно-центрированной кубической (BCC) решеткой, с длиной ребра куба равной… Рассмотрите элементарную ячейку FCC-соединения. Определите примитивную ячейку FCC, то есть ячейку с одной точкой решетки. Выберите одну из вершин примитивной ячейки в качестве начала координат. Укажите базисные векторы реальной решетки. Затем, используя известные формулы, вычислите базисные векторы взаимной решетки. Эти векторы взаимной решетки FCC представляют собой базисные векторы реальной решетки BCC. Базисные векторы реальной решетки BCC и взаимной решетки FCC совпадают по направлению, но различаются по величине.

Кубическая решетка с центром тела (BCC)

Взаимная решетка для гранецентрированной кубической (ГЦК) решетки является обратной решеткой для объемно-центрированной кубической (ОЦК) решетки, с длиной стороны куба равной . Можно доказать, что только решетки Браве, имеющие углы в 90 градусов (кубические, тетрагональные и орторомбические), обладают примитивными векторами трансляции для обратной решетки, , параллельными соответствующим векторам прямого пространства.

Простая шестиугольная решетка

Взаимная решетка к простой гексагональной решетке Браве с постоянными решетки *a* и *c* является другой простой гексагональной решеткой с постоянными решетки *a* и *c*, повернутой на 90° вокруг оси *c* относительно прямой решетки. Следовательно, простую гексагональную решетку называют самодвойственной, поскольку она обладает той же симметрией в обратном пространстве, что и в прямом пространстве. Примитивные векторы трансляции для этой простой гексагональной решетки Браве:

Обобщение двойной решетки

В математике существует две версии абстрактной концепции двойной решетки для заданной решетки L в реальном векторном пространстве V конечной размерности. Первая, которая непосредственно обобщает построение взаимной решетки, использует анализ Фурье. Ее можно просто сформулировать в терминах дуальности Понтрягина. Двойственная группа V^ к V снова является реальным векторным пространством, а ее замкнутая подгруппа L^, двойственная к L, оказывается решеткой в V^. Следовательно, L^ является естественным кандидатом на роль двойной решетки, но в другом векторном пространстве (той же размерности). Другой аспект проявляется при наличии квадратичной формы Q на V; если она невырождена, то позволяет отождествить двойственное пространство V* пространства V с самим V. Связь между V* и V не является внутренней; она зависит от выбора меры Хаара (элемента объема) на V. Однако, при заданном отождествлении двух пространств, которое в любом случае определено с точностью до скаляра, наличие Q позволяет говорить о двойной решетке к L, оставаясь в пределах V.

В математике двойная решетка заданной решетки L в абелевой локально компактной топологической группе G является подгруппой L* двойственной группы G, состоящей из всех непрерывных характеров, принимающих значение 1 в каждой точке L.

В дискретной математике решетка – это локально дискретное множество точек, описываемое всеми целочисленными линейными комбинациями линейно независимых векторов в Rn. Двойная решетка затем определяется всеми точками в линейной оболочке исходной решетки (обычно во всем Rn), обладающими свойством, что скалярное произведение с любым элементом исходной решетки является целым числом. Отсюда следует, что двойственная к двойственной решетке является исходной решеткой. Более того, если матрица B имеет столбцы, состоящие из линейно независимых векторов, описывающих решетку, то матрица, столбцы которой являются векторами, описывающими двойную решетку.