Кіріспе
Кванттық жүйелер мен процестерге түсетін түрлендірулер класы. Кванттық механикада кванттық операция (сондай-ақ кванттық динамикалық карта немесе кванттық процесс деп те аталады) – кванттық механикалық жүйенің түсетін түрлендірулерінің кең класын сипаттауға қолданылатын математикалық формализм. Бұл тұңғыш рет Джордж Сударшан тығыздық матрицасы үшін жалпы стохастикалық түрлендіру ретінде талқылаған. Кванттық операция формализмі оқшауланған жүйелердің бірлік уақыт эволюциясын немесе симметриялық түрлендірулерін ғана емес, сонымен қатар өлшеудің және қоршаған ортамен уақытша өзара әрекеттесудің әсерін де сипаттайды. Кванттық есептеулер контекстінде кванттық операция кванттық канал деп аталады. Кейбір авторлар "кванттық операция" терминін тығыздық матрицалары кеңістігіндегі толық оң (CP) және ізді арттырмайтын түрлендірулерді білдіру үшін, ал "кванттық канал" терминін олардың ішіндегі қатаң түрде ізді сақтайтындардың кіші жиынын білдіру үшін қолданады. Кванттық операциялар кванттық механикалық жүйенің тығыздық операторы арқылы сипатталады. Нақтырақ айтқанда, кванттық операция – тығыздық операторлары жиынынан өзіне дейін сызықтық, толық оң түрлендіру. Кванттық ақпарат саласында, кванттық операцияның физикалық болуы керек деген қосымша талап жиі қойылады, яғни кез келген күй үшін орындалуы тиіс. Кейбір кванттық процестерді кванттық операция формализмімен толыққандай бейнелеу мүмкін емес; принцип бойынша, кванттық жүйенің тығыздық матрицасы уақыт бойынша толығымен ерікті эволюцияға түсуі мүмкін. Кванттық операциялар кванттық аспаптармен жалпыланады, олар өлшеулер кезінде алынған классикалық ақпаратты, кванттық ақпараттан басқа қамтиды.
In quantum mechanics, a quantum operation (also known as quantum dynamical map or quantum process) is a mathematical formalism used to describe a broad class of transformations that a quantum mechanical system can undergo. This was first discussed as a general stochastic transformation for a density matrix by George Sudarshan. The quantum operation formalism describes not only unitary time evolution or symmetry transformations of isolated systems, but also the effects of measurement and transient interactions with an environment. In the context of quantum computation, a quantum operation is called a quantum channel. Note that some authors use the term "quantum operation" to refer specifically to completely positive (CP) and non trace increasing maps on the space of density matrices, and the term "quantum channel" to refer to the subset of those that are strictly trace preserving. Quantum operations are formulated in terms of the density operator description of a quantum mechanical system. Rigorously, a quantum operation is a linear, completely positive map from the set of density operators into itself. In the context of quantum information, one often imposes the further restriction that a quantum operation must be physical, that is, satisfy for any state
Some quantum processes cannot be captured within the quantum operation formalism; in principle, the density matrix of a quantum system can undergo completely arbitrary time evolution. Quantum operations are generalized by quantum instruments, which capture the classical information obtained during measurements, in addition to the quantum information.
Краус операторлары
Краустың теоремасы (Карл Краустың есімімен аталған) кванттық күйлер арасындағы кванттық операцияларды модельдейтін толық оң бейнелеулерді сипаттайды. Бұл теорема, кез келген мұндай кванттық операцияның күйге әсері әрқашан белгілі бір операторлар жиыны үшін , мұнда – бірлік оператор, түрінде жазылуы мүмкін екенін қамтамасыз етеді.
Теореманың тұжырымдамасы
Теорема. Келсін және – сәйкесінше өлшемдері мен болатын Хилберт кеңістіктері болсын, ал – және арасындағы кванттық операция болсын. Онда, кез келген күй үшін , оларды –ке бейнелейтін матрицалар бар, олар үшін:
Керісінше, егер келесі шарт орындалса, осы формадағы кез келген бейнелеу кванттық операция болып табылады.
Бұл матрицалар Краус операторлары деп аталады. (Кейде оларды шу операторлары немесе қате операторлары деп те атайды, әсіресе кванттық ақпаратты өңдеу контекстінде, онда кванттық операция қоршаған ортаның шулы, қателіктер тудыратын әсерлерін көрсетеді.) Stinespring факторлау теоремасы жоғарыдағы нәтижені кез келген ажыратылатын Хилберт кеңістіктері Х және G-ға дейін кеңейтеді. Онда S іздік сынып операторымен және шектелген операторлар тізбегімен ауыстырылады.
Conversely, any map of this form is a quantum operation provided
The matrices are called Kraus operators. (Sometimes they are known as noise operators or error operators, especially in the context of quantum information processing, where the quantum operation represents the noisy, error producing effects of the environment.) The Stinespring factorization theorem extends the above result to arbitrary separable Hilbert spaces H and G. There, S is replaced by a trace class operator and by a sequence of bounded operators.
Бірліктегі баламалық
Краус матрицалары, әдетте, кванттық операция бойынша бірегей түрде анықталмайды. Мысалы, Чой матрицасының әртүрлі Холецкий факторландырулары Краус операторларының әртүрлі жиынтығын тудыруы мүмкін. Келесі теорема бір кванттық операцияны көрсететін Краус матрицаларының барлық жүйелері бірлік түрлендіру арқылы байланысты екенін көрсетеді:
Theorem. Let be a (not necessarily trace preserving) quantum operation on a finite dimensional Hilbert space H with two representing sequences of Kraus matrices and Then there is a unitary operator matrix such that
In the infinite dimensional case, this generalizes to a relationship between two minimal Stinespring representations. It is a consequence of Stinespring's theorem that all quantum operations can be implemented by unitary evolution after coupling a suitable ancilla to the original system.
Теорема. Шекті өлшемді Хилберт кеңістігінде (қажетті түрде ізді сақтамайтын) кванттық операция болсын, және оны Краус матрицаларының екі тізбегі арқылы бейнелеуге болады. Онда, бірлік оператор матрицасы табылады, осылайша, шексіз өлшемді жағдайда бұл екі минималды Стинспринг бейнелеуі арасындағы қатынасқа жалпыланады. Стинспринг теоремасының салдары ретінде, барлық кванттық операциялар бастапқы жүйеге қосымша ансилланы біріктіргеннен кейін бірлік эволюция арқылы іске асырылуы мүмкін.
Theorem. Let be a (not necessarily trace preserving) quantum operation on a finite dimensional Hilbert space H with two representing sequences of Kraus matrices and Then there is a unitary operator matrix such that
In the infinite dimensional case, this generalizes to a relationship between two minimal Stinespring representations. It is a consequence of Stinespring's theorem that all quantum operations can be implemented by unitary evolution after coupling a suitable ancilla to the original system.
Ескертпелер
Бұл нәтижелерді толық оң трансформациялар туралы Чой теоремасынан да шығаруға болады, ол толық оң шекті өлшемді трансформацияны ізге қатысты бірегей Гермиттік оң тығыздық операторы (Чой матрицасы) арқылы сипаттайды. Берілген каналдың барлық мүмкін Краус бейнелеулерінің ішінде Краус операторларының ортогоналдық қатынасымен ерекшеленетін канондық форма бар. Мұндай ортогоналды Краус операторларының канондық жиынтығын сәйкес Чой матрицасын диагональдау және оның өзіндік векторларын шаршы матрицаларға түрлендіру арқылы алуға болады. Сонымен қатар, Чой теоремасының шексіз өлшемді алгебралық жалпыламасы бар, ол "толық оң трансформациялар үшін Белавкиннің Радон-Никодим теоремасы" деп аталады, ол тығыздық операторын үстем толық оң трансформацияға (эталондық каналға) қатысты кванттық каналдың "Радон-Никодим туындысы" ретінде анықтайды. Ол кванттық каналдар үшін салыстырмалы адалдық және өзара ақпаратты анықтау үшін қолданылады.
Кванттық өлшеу
Кванттық операциялар кванттық өлшеу процесін сипаттау үшін пайдаланылуы мүмкін. Төмендегі мәліметтер бөлінетін кешенді Хилберт кеңістігіндегі өзіне-өзі қосымша проекциялар арқылы өлшеуді түсіндіреді, яғни PVM (Проекциялық өлшем) арқылы. Жалпы жағдайда, өлшеулер ортогоналды емес операторларды POVM (Операторлық өлшем) ұғымдары арқылы қолдану арқылы жүзеге асырылуы мүмкін. Ортогоналды емес жағдай қызығушылық тудырады, себебі ол кванттық құралдың жалпы тиімділігін жақсартуға мүмкіндік береді.
Бинарлық өлшеулер
Кванттық жүйелер "иә" және "жоқ" сұрақтарының тізбегін қолдану арқылы өлшенуі мүмкін. Бұл сұрақтар жиынтығы кванттық логикадағы Q ортокомплементтелген торынан таңдалған деп түсіндіріледі. Бұл тор, ажыратылатын кешенді Хилберт кеңістігі H-дегі өзін-өзі қосатын проекциялар кеңістігіне эквивалентті.
Consider a system in some state S, with the goal of determining whether it has some property E, where E is an element of the lattice of quantum yes no questions. Measurement, in this context, means submitting the system to some procedure to determine whether the state satisfies the property. The reference to system state, in this discussion, can be given an operational meaning by considering a statistical ensemble of systems. Each measurement yields some definite value 0 or 1; moreover application of the measurement process to the ensemble results in a predictable change of the statistical state. This transformation of the statistical state is given by the quantum operation
Here E can be understood to be a projection operator.
Жүйені белгілі бір S күйінде қарастырайық, мақсаты – оның E қасиетіне ие екенін анықтау, мұнда E кванттық "иә, жоқ" сұрақтары торының бір элементе болып табылады. Осы контексте өлшеу – жүйені күйдің қасиетті қанағаттандыратынын немесе қанағаттандырмайтынын анықтау үшін белгілі бір процедураға ұсынуды білдіреді. Бұл талқылауда жүйе күйіне сілтеме жасау жүйелердің статистикалық жиынтығын қарастыру арқылы операциялық мағынаға ие болуы мүмкін. Әрбір өлшеу 0 немесе 1 нақты мәнін береді; сонымен қатар, өлшеу процесін жиынтыққа қолдану статистикалық күйде болжамды өзгеріске әкеледі. Бұл статистикалық күйдің өзгеруі кванттық операция арқылы беріледі. Мұнда E проекция операторы ретінде түсіндірілуі мүмкін.
Consider a system in some state S, with the goal of determining whether it has some property E, where E is an element of the lattice of quantum yes no questions. Measurement, in this context, means submitting the system to some procedure to determine whether the state satisfies the property. The reference to system state, in this discussion, can be given an operational meaning by considering a statistical ensemble of systems. Each measurement yields some definite value 0 or 1; moreover application of the measurement process to the ensemble results in a predictable change of the statistical state. This transformation of the statistical state is given by the quantum operation
Here E can be understood to be a projection operator.
Толық оң емес карталар
Шажи мен Сударшан Physical Review Letters журналындағы мақаласында, мұқият қарастырғанда толық позитивтілік ашық кванттық эволюцияны дұрыс бейнелеу үшін міндетті шарт емес екенін айтты. Олардың есептеулері, егер байқалатын жүйе мен орта арасындағы белгілі бір бастапқы байланыстардан бастаса, жүйеге ғана шектелген эволюциялық картаның міндетті түрде оң болуы қажет емес екенін көрсетеді. Бірақ, бұл тек бастапқы байланыстардың түрі туралы болжамға сай келмейтін күйлер үшін ғана орын алады. Осылайша, кванттық эволюцияны толыққанды түсіну үшін толық позитивті емес карталарды да қарастыру қажет екенін олар көрсетті.