Введение
Класс преобразований, которым могут подвергаться квантовые системы и процессы.
В квантовой механике квантовая операция (также известная как квантовая динамическая карта или квантовый процесс) — это математический формализм, используемый для описания широкого класса преобразований, которым может подвергнуться квантово-механическая система. Впервые это было рассмотрено Джорджем Сударшаном как общее стохастическое преобразование для матрицы плотности. Формализм квантовой операции описывает не только унитарную эволюцию во времени или преобразования симметрии изолированных систем, но и эффекты измерения и кратковременных взаимодействий с окружающей средой. В контексте квантовых вычислений квантовая операция называется квантовым каналом. Следует отметить, что некоторые авторы используют термин «квантовая операция» для обозначения полностью положительных (CP) отображений, не увеличивающих след, на пространстве матриц плотности, а термин «квантовый канал» — для обозначения подмножества тех, которые строго сохраняют след. Квантовые операции формулируются в терминах описания оператора плотности квантово-механической системы. Строго говоря, квантовая операция — это линейное, полностью положительное отображение из множества операторов плотности в себя. В контексте квантовой информации часто накладывается дополнительное ограничение, что квантовая операция должна быть физической, то есть удовлетворять условию для любого состояния. Некоторые квантовые процессы не могут быть описаны в рамках формализма квантовой операции; в принципе, матрица плотности квантовой системы может претерпевать совершенно произвольную эволюцию во времени. Квантовые операции обобщаются квантовыми инструментами, которые, помимо квантовой информации, учитывают классическую информацию, полученную в ходе измерений.
Some quantum processes cannot be captured within the quantum operation formalism; in principle, the density matrix of a quantum system can undergo completely arbitrary time evolution. Quantum operations are generalized by quantum instruments, which capture the classical information obtained during measurements, in addition to the quantum information.
Операторы Крауса
Теорема Крауса (названа в честь Карла Крауса) характеризует полностью положительные отображения, моделирующие квантовые операции между квантовыми состояниями. Неформально, теорема гарантирует, что действие любой такой квантовой операции на состояние всегда может быть представлено в виде , для некоторого набора операторов, удовлетворяющих , где — единичный оператор.
Заявление теоремы
Теорема. Пусть и будут гильбертовыми пространствами размерности и соответственно, а – квантовой операцией между и . Тогда существуют матрицы, отображающие в такие, что для любого состояния ,
Обратно, любое отображение этой формы является квантовой операцией при условии, что .
Матрицы называются операторами Крауса (иногда они также известны как операторы шума или операторы ошибок, особенно в контексте квантовой обработки информации, где квантовая операция представляет собой шумные эффекты, вносящие ошибки, вызванные воздействием окружающей среды). Теорема о факторизации Стинспринга распространяет вышеуказанный результат на произвольные сепарабельные гильбертовы пространства H и G. Там S заменяется оператором следового класса, а – последовательностью ограниченных операторов.
Conversely, any map of this form is a quantum operation provided
The matrices are called Kraus operators. (Sometimes they are known as noise operators or error operators, especially in the context of quantum information processing, where the quantum operation represents the noisy, error producing effects of the environment.) The Stinespring factorization theorem extends the above result to arbitrary separable Hilbert spaces H and G. There, S is replaced by a trace class operator and by a sequence of bounded operators.
Единица эквивалентности
Матрицы Крауса не определяются однозначно квантовой операцией в общем случае. Например, различные разложения матрицы Чой на факторы Холецкого могут приводить к разным наборам операторов Крауса. Следующая теорема утверждает, что все системы матриц Крауса, представляющие одну и ту же квантовую операцию, связаны унитарным преобразованием:
Теорема. Пусть – (не обязательно сохраняющая след) квантовая операция на конечномерном гильбертовом пространстве H, с двумя представляющими последовательностями матриц Крауса и . Тогда существует унитарная операторная матрица такая, что
В бесконечномерном случае это обобщается на связь между двумя минимальными представлениями Стинспринга. Это следствие теоремы Стинспринга, утверждающей, что все квантовые операции могут быть реализованы унитарной эволюцией после присоединения подходящей вспомогательной системы (ансиллы) к исходной системе.
Замечания
Эти результаты также могут быть получены из теоремы Чой о полностью положительных отображениях, характеризующей полностью положительное конечномерное отображение единственным эрмитовым положительным оператором плотности (матрицей Чой) относительно следа. Среди всех возможных представлений Крауса для заданного канала существует каноническая форма, выделяющаяся соотношением ортогональности операторов Крауса. Такой канонический набор ортогональных операторов Крауса можно получить, диагонализируя соответствующую матрицу Чой и преобразуя ее собственные векторы в квадратные матрицы. Существует также бесконечномерное алгебраическое обобщение теоремы Чой, известное как "теорема Белавкина о Радоне-Никодиме для полностью положительных отображений", которая определяет оператор плотности как "производную Радона-Никодима" квантового канала относительно доминирующего полностью положительного отображения (опорного канала). Она используется для определения относительных верностей и взаимной информации для квантовых каналов.
Квантовые измерения
Квантовые операции могут быть использованы для описания процесса квантового измерения. Ниже представлено описание измерения в терминах самосопряжённых проекций на сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве H, то есть в терминах PVM (мера, задаваемая проекторами). В общем случае измерения могут выполняться с использованием неортогональных операторов посредством понятий POVM. Неортогональный случай представляет интерес, поскольку он может повысить общую эффективность квантового прибора.
Бинарные измерения
Квантовые системы могут быть измерены путем последовательного задания вопросов, на которые можно ответить только «да» или «нет». Этот набор вопросов можно рассматривать как выбор из ортодополненной решетки Q высказываний в квантовой логике. Эта решетка эквивалентна пространству самосопряженных проекций на сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве H.
Consider a system in some state S, with the goal of determining whether it has some property E, where E is an element of the lattice of quantum yes no questions. Measurement, in this context, means submitting the system to some procedure to determine whether the state satisfies the property. The reference to system state, in this discussion, can be given an operational meaning by considering a statistical ensemble of systems. Each measurement yields some definite value 0 or 1; moreover application of the measurement process to the ensemble results in a predictable change of the statistical state. This transformation of the statistical state is given by the quantum operation
Here E can be understood to be a projection operator.
Рассмотрим систему, находящуюся в некотором состоянии S, с целью определения, обладает ли она некоторым свойством E, где E является элементом решетки квантовых вопросов типа «да/нет». Измерение в данном контексте означает воздействие на систему некоторой процедуры для установления, удовлетворяет ли состояние данному свойству. Упоминание состояния системы в данном обсуждении может быть наделено операциональным смыслом, если рассматривать статистический ансамбль систем. Каждое измерение дает определенное значение – 0 или 1; более того, применение процесса измерения к ансамблю приводит к предсказуемому изменению статистического состояния. Это преобразование статистического состояния описывается квантовой операцией. Здесь E можно понимать как оператор проекции.
Consider a system in some state S, with the goal of determining whether it has some property E, where E is an element of the lattice of quantum yes no questions. Measurement, in this context, means submitting the system to some procedure to determine whether the state satisfies the property. The reference to system state, in this discussion, can be given an operational meaning by considering a statistical ensemble of systems. Each measurement yields some definite value 0 or 1; moreover application of the measurement process to the ensemble results in a predictable change of the statistical state. This transformation of the statistical state is given by the quantum operation
Here E can be understood to be a projection operator.
Неполностью положительные карты
Шаджи и Сударшан утверждали в статье, опубликованной в журнале Physical Review Letters, что при внимательном изучении полная позитивность не является необходимым условием для адекватного описания открытой квантовой эволюции. Их вычисления демонстрируют, что при заданных начальных корреляциях между наблюдаемой системой и средой отображение, действующее только на систему, не обязательно является даже положительным. Однако, оно оказывается не положительным лишь для состояний, не удовлетворяющих предположению о характере этих начальных корреляций. Таким образом, они показывают, что для всестороннего понимания квантовой эволюции необходимо рассматривать и не полностью положительные отображения.